มาช่วยกันเฉลยอสมการ Vasc Warm-up problem set

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ขอบคุณครับ
เเล้วเราต้องเเสดง ว่ามันเป็น Concave หรือ Convex เเน่อะ่ครับ งง

อันนี้เป็น concave function ครับ Jensen ก็ยังใช้ได้อยู่แต่อสมการจะกลับข้างกันจากกรณี convex function ครับ

[จูกัดเหลียง]

อ่อ ครับ
ขอบคุณมากๆ เลย

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

34. $a,b,c\geq 0$

$$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (ab+bc+ca)^3$$

My Solution

โดย อสมการโฮลเดอร์ จะได้

$\displaystyle (\sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{bc}\sqrt[3]{b^2}\sqrt[3]{c^2}+\sqrt[3]{ca}\sqrt[3]{c^2}\sqrt[3]{a^2}) \le \sqrt[3]{(ab+a^2+b^2)(b^2+c^2+bc)(a^2+ac+c^2)}$

$\displaystyle (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) \ge (ab+bc+ca)^3$

[BLACK-Dragon]

16. $a,b,c \ge 0$

$$4(a+b+c)^3 \ge 27(ab^2+bc^2+ca^2+abc)$$

ข้อนี้ไม่ค่อยมั่นใจอ่ะครับมันถึกหน่อย

Unsure

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2)+6abc$

นั่นคือเราจะต้องพิสูจน์ว่า

$4a^3+4b^3+4c^3+12(a^2b+b^2c+c^2a) \ge 15(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc$

$4a^3+4b^3+4c^3+12(a^2b+b^2c+c^2a) \ge 4(a^2b+b^2a+c^2a)+12(a^2b+b^2a+c^2a)=16(a^2b+b^2a+c^2a)$

และโดยไม่เสียนัย $a\ge b \ge c$

$15(a^2b+b^2a+c^2a)+a^2b+b^2a+c^2a \ge 15(ab^2+ba^2+ca^2)+a^2b+b^2a+c^2a$

$15(ab^2+ba^2+ca^2)+a^2b+b^2a+c^2a \ge 15(ab^2+ba^2+ca^2)+3abc$

$$4a^3+4b^3+4c^3+12(a^2b+b^2c+c^2a) \ge 15(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc$$

[BLACK-Dragon]

17. $a,b,c \ge 0 ,a+b+c=3$

$$\dfrac{1}{2ab^2+1}+\dfrac{1}{2bc^2+1}+\dfrac{1}{2ca^2+1} \ge 1$$

My Solution

กระจายออกมาให้หมด ทำให้เราต้องพิสูจน์ว่า

$ab^2+bc^2+ca^2+1 \ge 4a^3b^3c^3$

$ab^2+bc^2+ca^2+1 \ge 1+3abc \ge 4a^3b^3c^3 $

$1+3abc-4a^3b^3c^3=(1-abc)(2abc+1)^2 \ge 0$

[Keehlzver]

ข้อที่ 16 สมมติ WLOG ไม่ได้ครับ อสมการไม่มีสมมาตร

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อที่ 16 สมมติ WLOG ไม่ได้ครับ อสมการไม่มีสมมาตร

ขอบคุณครับ เดี๋ยวจะลองไปคิดใหม่แล้วมีเงื่อนไขอะไรมากกว่านี้อีกหรือเปล่าครับ

[BLACK-Dragon]

48.$a,b,c \ge 0 , a^2+b^2+c^2=3$

$$12+9abc \ge 7(ab+bc+ca)$$

Hide

ให้ $a+b+c=S,abc=T$

$ab+bc+ca = \dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}= \dfrac{S^2-3}{2}$

นั่นคือเราจะต้องพิสูจน์ว่า

$$45+18T \ge 7S^2$$

จากอสมการ Schur จะได้

$$a^3+b^3+c^3+3abc \ge \sum_{sym} a^2b \Leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca ) $$
$$S^3+9T \ge 4S\left(\,\dfrac{S^2-3}{2}\right) \Leftrightarrow 9T+6S \ge S^3$$

$$18T+12S+45-7S^2 \ge 2S^3+45-7S^2\Leftrightarrow 18T+45-7S^2 \ge 2S^3-7S^2-12S+45$$

เราต้องพิสูจน์

$$2S^3-7S^2-12S+45 \ge 0$$

ตอนนี้ยังคิดไม่ออก เดี๋ยวจะลองมาทำต่อ

$$2S^3-7S^2-12S+45=(S-3)(2S^2-S-15)=(S-3)^2(2S+5) \ge 0$$

[BLACK-Dragon]

50. $a,b,c >0 ,abc=1$

$$(a+b)(b+c)(c+a)+7 \ge 5(a+b+c)$$

My Solution

ให้ $S=a+b+c$ จะได้ว่า

$(a+b)(b+c)(c+a)+7 = S^3-(a+b+c)S^2+(ab+bc+ca)S-abc+7=(ab+bc+ca)S+6$

นั่นคือเราต้องพิสูจน์ว่า

$$S(ab+bc+ca-5)+6 \ge 0$$

$$(a+b+c)(ab+bc+ca-5)+6 \ge 3(ab+bc+ca-5)+6 \ge 0 <<< ตรงนี้ไม่ชัวร์นะครับ$$

ปล. กระทู้เงียบจัง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$(a+b+c)(ab+bc+ca-5)+6 \ge 3(ab+bc+ca-5)+6 \ge 0$

ปล. กระทู้เงียบจัง

สีแดงจริงไหม

[BLACK-Dragon]

ขอบคุณครับ จริงๆไม่มั่นใจอยู่แล้ว

แต่ลองลงดูให้ มีใครมาตอบบ้างขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ในเมื่อปลุกขึ้นมาแล้วก็ลองทำหน่อยดีกว่า

ไม่ได้ทำโจทย์อสมการมาหลายเดือนแล้วลืมหมดเลย

50. $a,b,c >0 ,abc=1$

$$(a+b)(b+c)(c+a)+7 \ge 5(a+b+c)$$

My Wrong Solution

จะพิสูจน์ว่า $(a+b+c)(ab+bc+ca)+6\geq 5(a+b+c)$

จากอสมการ $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)$

จะได้ $ab+bc+ca\geq \sqrt{3(a+b+c)}$

จึงได้ว่า $(a+b+c)(ab+bc+ca)+6\geq (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}+6$

ให้ $t=\sqrt{3(a+b+c)}$

โดย AM-GM พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $t\geq 3$

เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า

$(a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}+6\geq 5(a+b+c)$

$t^3-5t^2+18\geq 0$

$(t-3)(t^2-2t+6)\geq 0$ <---ผิดครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$t^3-5t^2+18\geq 0$

$(t-3)(t^2-2t+6)\geq 0$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง

เเยก ตปก. ผิดป่าวครับ ( ผมก็ทำคล้ายๆเเบบนี้เเหละ เเต่มันเป็น $t^2-2t-6$ ซึ่งมีโอกาสน้อยกว่า $0$ นิดนึงอ่ะครับ = =" )
ปล. อีกอย่าง สีเเดงก็จริงเเล้วนี่ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเยก ตปก. ผิดป่าวครับ ( ผมก็ทำคล้ายๆเเบบนี้เเหละ เเต่มันเป็น $t^2-2t-6$ ซึ่งมีโอกาสน้อยกว่า $0$ นิดนึงอ่ะครับ = =" )
ปล. อีกอย่าง สีเเดงก็จริงเเล้วนี่ครับ

ขอบคุณที่ช่วยตรวจให้ครับ ผิดจริงๆ สีแดงจริงยังไงครับโปรดชี้แจง

[จูกัดเหลียง]

#59 ผมว่ามัน $ab+bc+ca\ge 3\rightarrow 3(ab+bc+ca-5)+6\ge 3(3-5)+6=0$
ผมว่าเราคิดมากกันไปเองอ่ะครับ 555