ตะลุยโจทย์ Integrate

[Mastermander]

$$ \int e^x\sin 2x\ dx = \frac{-e^x\cos 2x}{2} +\frac{1}{2}\int e^x\cos 2x \ dx $$
by parts :$ \int e^x\cos 2x\ dx$
=$ \frac{e^x\sin 2x}{2}-\frac{1}{2}\int e^x\sin 2x \ dx $
กลับไปแทนในสมการเดิม
$$ \int e^x\sin 2x\ dx = \frac{-e^x\cos 2x}{2} +\frac{e^x\sin2x}{4}-\frac{1}{4}\int e^x\sin 2x \ dx $$
$$ \frac{5}{4}\int e^x\sin 2x \ dx =\frac{-e^x\cos 2x}{2} +\frac{e^x\sin2x}{4} $$
$$\int e^x\sin 2x \ dx =\frac{e^x\sin2x}{5}-\frac{2e^x\cos 2x}{5}$$

Generalize that
$$\int e^{ax}\sin (bx)\ dx=\frac{e^x[a\sin(bx)-b\cos(bx)]}{a^2+b^2}$$

[Mastermander]

$ \because 2\sin a\cos b = \sin(a+b)+\sin(a-b) $
$$ \int \sin mx\cos nx \; dx=\frac{1}{2}\int \sin(m+n)x+\sin(m-n)x\,dx $$
$$ =\frac{1}{2(m+n)}\int \sin (m+n)x\;d\big((m+n)x\big)+\frac{1}{2(m-n)}\int\sin (m-n)x\,d\big((m-n)x\big) $$
$$ =-\frac{\cos(m+n)x}{2(m+n)}-\frac{\cos(m-n)x}{2(m-n)} $$

ตกลงมันถูกหรือเปล่าครับ ไม่มีใครมา Comment เลย

[nongtum]

กะว่าจะรอคำตอบอีกข้อก่อนค่อยตอบ แต่มาตอบก่อนดีกว่า
สองข้อแรกที่ทำมาทำถูกครับ แต่ตกค่าคงตัวเพราะมันเป็นอินทิกรัลไม่จำกัดเขต แต่ยังไม่ได้เช็คว่าทำไมคำตอบข้อสามที่ทดเก็บไว้ถึงไม่ตรงกันกับค่าจากตาราง อ้อ พอจะหาเจอข้อบกพร่องของโจทย์ข้อสามเจอไหมเอ่ย แล้วอย่างไรจึงจะถูก

[Mastermander]

\[ \int \frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}} \]คิดอย่างไรครับ

[warut]

โจทย์ข้อนี้ (ซึ่งผมเห็นมาตั้งแต่ตอนที่มีคนเอามาโพสต์ที่ วิชาการ.คอม แล้วล่ะ) ไม่สามารถหาคำตอบออกมาในรูปแบบง่ายๆได้ครับ

[Mastermander]

แล้วมันคิดอย่างไรครับ ผมคิดตั้งนานก็ไม่ออก แทนค่าตรีโกณแล้วก็ติดรากที่ 2 อยู่ดี

มีวิธีคิดอย่างไรครับ หรือว่าไม่สามารถอินทิเกรตได้

[warut]

ถ้าจะทำจริงๆ ก็กระจาย $$ (1+x^4)^{-1/4} $$ โดยใช้ binomial theorem ออกเป็น power series แล้วก็ integrate term by term ครับ

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
จัดให้สามข้อย่อยครับ
1. $$\int_0^1 \frac{x^3e^{x^2}}{(x^2+1)^2}\ dx$$

เฉลยหน่อยครับ

[nongtum]

ข้อแรกเอามาจาก PROBLEM 21 : ในหน้านี้ครับ (ในเฉลยเป็นแบบไม่จำกัดเขต)

[M@gpie]

วิธีในเวบนั้น ยอดจริงๆครับ เปลี่ยนตัวแปรเหนือมากๆ ผมขอเสนอให้อีกวิธี
\[ \text{Let : } x^2 = u \rightarrow dx = \frac{du}{2x} \]
จะได้ว่า \[ \int \frac{x^3e^{x^2}}{(x^2+1)^2}dx = \frac{1}{2}\int \frac{ue^u}{(u+1)^2}du=\frac{1}{2}\int ue^u d(\frac{-1}{u+1}) = \frac{1}{2}(\frac{-ue^u}{u+1} + \int \frac{ue^u+e^u}{u+1} du) = \frac{1}{2}(\frac{-ue^u}{u+1} + e^u) + C\]
\[ \text{Solution : }\; \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{2}\frac{-x^2e^{x^2}}{x^2+1} + \frac{1}{2}e^{x^2} + C \]

[passer-by]

ไหนๆ น้อง Mastermander ก็ทำโจทย์คุณ Warut ข้อที่เป็น ln(x) ไปแล้ว ก็ลองทำข้อนี้ต่อดูมั้ยครับ

จะได้อารมณ์ต่อเนื่อง

$$ \int_0^1 \ln(x)\ln(1-x)\, dx $$

p.s. รู้สึกว่าจะมีคนเคยถามข้อนี้ไปแล้วใน webboard ดังนั้นอย่าเพิ่งแอบดูเฉลยก่อนนะครับ

[Mastermander]

[passer-by]

สงสัยจะต้อง Hint ซะแล้ว

(1) คำตอบที่ได้จากข้อก่อนหน้าของคุณ Warut นำมาใช้กับข้อนี้ด้วย

(2) 1+x+x²+... นำไปสู่อะไรบางอย่าง

(3) ข้อนี้ไม่ต้อง By part และ ประเด็นอยู่ที่ ln(1-x)

ใบ้ให้ชนิดที่ว่า ช่วยสุดๆ โดยเฉพาะข้อ 2 คือ Hint ที่สำคัญมากๆของข้อนี้

ขอให้คิดออกเร็วๆนะครับน้อง

[Mastermander]

คิดไม่ออกแล้วอะครับ

[passer-by]

ข้อนี้โฟกัสไปที่ ln(1-x) ครับ

เราพบว่า $ \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+... $ เมื่อ |x| < 1

ถ้าอินทิเกรต ตลอดสมการ ดังบรรทัดด้านล่าง พบว่า

$$ \begin{array}{lcr} \displaystyle{\int_0^x \frac{1}{1-t}\, dt =\int_0^x 1+t+t^{2}+... \,dt} \\ \displaystyle{-\ln(1-x) =\sum_{k=1}^ {\infty} \frac{x^{k}}{k}} \end{array} $$

จากนั้น แทนลงไปในโจทย์ จะได้
$ \begin{array}{rlc} \displaystyle{\int_0^1 \ln(x)\ln(1-x) \,dx = - \int_0^1 \ln(x)(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k})\,dx}\\ \displaystyle{=-\int_0^1 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}\ln(x)}{k} \,dx} \\ \displaystyle{= -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \int_0^1 x^{k}\ln(x) \,dx}\\ \displaystyle{= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}(\frac{1}{(k+1)^{2}})}\end{array} $

(บรรทัดสุดท้าย ได้จากคำตอบคุณ Warut

$ \displaystyle{ \int x^{n}\ln(x)\,dx = \frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}- \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}+c} $)

ที่เหลือลองทำต่อเองดูนะครับ คำตอบบอกเลยแล้วกัน ว่าเท่ากับ $ 2-\frac{\pi^{2}}{6} $

(ใบ้ให้ว่า ใช้ telescopic และ well-known p-series)