มาเล่นกัน ^.^!!

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ทิ้งไว้นาน ไม่ค่อยว่างครับ
ผมได้ $x_1^n+x_2^n = \frac{(2cos\frac{n\pi}{6})(cis\frac{3n\pi}{2})}{tan^nt}$
เอาเบาๆก่อน ^^
25. จงหาค่า x จากสมการ $3cosx+4sinx = 5$

เบาจริงๆด้วย เล่นกันอยู่สองคน ฮ่าๆๆ

$\frac{3}{5}\cos{x}+\frac{4}{5}\sin{x} = 1$

กำหนดให้ $\sin{\theta} = \frac{3}{5}$ ---> $\cos{\theta} = \frac{4}{5}$

จะได้ $\sin{\theta}\cos{x}+\cos{\theta}\sin{x} = 1$

$\sin{(\theta+x)} = \sin{\frac{\pi}{2}}$

$x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}{\frac{3}{5}}$

เอาเบาๆด้วย

26. ให้ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ คือรากเชิงซ้อนทั้งหมดของสมการ

$$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$$

จงหาค่าของ $\frac{1}{x_1-1} + \frac{1}{x_2-1} + \frac{1}{x_3-1} + \frac{1}{x_4-1} + \frac{1}{x_5-1} + \frac{1}{x_6-1}$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ทิ้งไว้นาน ไม่ค่อยว่างครับ
ผมได้ $x_1^n+x_2^n = \frac{(2cos\frac{n\pi}{6})(cis\frac{3n\pi}{2})}{tan^nt}$
เอาเบาๆก่อน ^^
25. จงหาค่า x จากสมการ $3cosx+4sinx = 5$

ขอวิธีคิดได้ไหมครับ คุณ [SIL] หรือจากคนอื่นก็ได้นะครับ
ขอบคุณครับ

[[SIL]]

ใช้มุขนี้อ่ะครับ
$acosx+bsinx = c$
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
ให้ a,b เป็นด้านประกอบมุมฉากส่วนจะเลือกใครอยู่ประชิดมุม $\theta$ ก็แล้วแต่ครับ
เลือก $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = cos\theta$ จะได้สมการใหม่เป็น
$cos\theta cosx+sin\theta sinx = cos(x-\theta) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

เบาจริงๆด้วย เล่นกันอยู่สองคน ฮ่าๆๆ

$\frac{3}{5}\cos{x}+\frac{4}{5}\sin{x} = 1$

กำหนดให้ $\sin{\theta} = \frac{3}{5}$ ---> $\cos{\theta} = \frac{4}{5}$

จะได้ $\sin{\theta}\cos{x}+\cos{\theta}\sin{x} = 1$

$\sin{(\theta+x)} = \sin{\frac{\pi}{2}}$

$x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}{\frac{3}{5}}$

เอาเบาๆด้วย

26. ให้ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ คือรากเชิงซ้อนทั้งหมดของสมการ

$$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$$

จงหาค่าของ $\frac{1}{x_1-1} + \frac{1}{x_2-1} + \frac{1}{x_3-1} + \frac{1}{x_4-1} + \frac{1}{x_5-1} + \frac{1}{x_6-1}$

ขออภัยครับช่วงนั้นมันก่อนสอบมิดเทอมพอดี+งานเยอะ วันนี้สอบเสร็จแล้ว
คิดออกมาได้ -3 อ่ะครับ วิธีทำก็เดอร์มัวฟ์ + การจับคู่ แต่มีวิธีสั้นๆหรือป่าวครับพอดีของผมมันถึกแฮะ
จำได้ว่าคล้า่ยข้อสอบ สอวน. ปีนึงของศูนย์สวนอ่ะครับ (เอา -1 คูณเข้าโจทย์)

27. ให้ $x,y,z \in R$ จงหาค่าสูงสุดของ $z$ เมื่อ
$x+y+z = 5$
$xy+yz+zx = 3$

[nooonuii]

26. เรารู้ว่ารากทั้งหมดคือรากที่ $7$ ของ $1$

ดังนั้นทุกตัวจะมีค่าสัมบูรณ์เป็น $1$

เนื่องจากพหุนามมีส.ป.ส. เป็นจำนวนจริงทั้งหมด

รากทั้งหมดจะมีคู่ conjugate

รวมทั้งหมดมี $3$ คู่

แต่

$\dfrac{1}{z-1}+\dfrac{1}{\overline{z}-1}=-1$

ดังนั้นตอบ $-3$ ครับ

[[SIL]]

ขอบคุณครับ

[Ne[S]zA]

ปลุกซะหน่อย
กำหนดให้ $k_i \in \mathbb{R} ^+$ สำหรับทุกๆ $i=1,2,3,...$ ซึ่งทำให้
$$\sum_{i = 1}^{50} k_i\log_{2553}(2i+1)=2010$$
จงหาค่าของ
$$\int x^2\log_{2010}(k_1+k_2+k_3+...+k_{50})dx $$

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ปลุกซะหน่อย
กำหนดให้ $k_i \in \mathbb{R} ^+$ สำหรับทุกๆ $i=1,2,3,...$ ซึ่งทำให้
$$\sum_{i = 1}^{50} k_i\log_{2553}(2i+1)=2010$$
จงหาค่าของ
$$\int x^2\log_{2010}(k_1+k_2+k_3+...+k_{50})dx $$

จัดรูปผลรวม ด้านบนจะได้ว่า

$3^{k_1}\bullet 5^{k_2}\bullet 7^{k_3}\bullet .... \bullet 101^{k_{50}} = 2553^{2010}$

แต่ $2553^{2010} = (3^{2010})(23^{2010})(37^{2010})$

ดังนั้น $k_1+k_2+...+k_{50} = 6030$

$$\int x^2\log_{2010}(k_1+k_2+k_3+...+k_{50})dx = \frac{1}{3}x^3\log_{2010}(6030) + c$$

$$=\frac{1}{3}x^3(1+\log_{2010}3) + c$$

[Ne[S]zA]

ถูกแล้วครับ

[jabza]

เล่นด้วยคนคับ ขอข้อต่อไปๆๆ

[Ne[S]zA]

จงหาจำนวนคู่อันดับ $(a,b)$ ทั้งหมดซึ่งทำให้
$$(a+bi)^{2010}=a-bi$$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

2010 คู่อันดับครับ น่าจะต้องเข้าใจกฎของเดอมัวร์ล่ะนะครับ

[Ne[S]zA]

ขอวิธีคิดได้มั้ยครับ
เพราะผมว่านาจะตอบ 2011
ปล.เอามาจาก text แปลงมาอ่ะครับโจทย์มันเป็น 2002

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

555 ถ้าอย่างนั้น ก็ลองกรณีโจทย์นี้ครับ
$(a+bi)^2$= (a-bi)ว่ามีกี่คำตอบครับ

[Ne[S]zA]

กรณี $|z|=0$ ละครับ