SHORTLIST TMO (7th) เฉพาะคำถาม

[De4t]-[NotE]

sigma cyc คืออะไรเหรอครับ
ช่วยบอกที

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ De4t]-[NotE

sigma cyc คืออะไรเหรอครับ
ช่วยบอกที

ยกตัวอย่างแทนละกันนะครับ $\Sigma cyc \frac{a^3b^3}{c^5}\leqslant a+b+c$

จะเป็น $\frac{a^3b^3}{c^5}+\frac{b^3c^3}{a^5}+\frac{c^3a^3}{b^5}\leqslant a+b+c$

คือเป็นการบวกของพจน์ที่เรียงวนๆอะครับ (อธิบายแปลกๆ )

[De4t]-[NotE]

ขอบคุณครับ

[PP_nine]

ลองดูตัวอย่างนี้ครับ (มาจาก topics in inequalities ของ hojoolee)

cyc ก็คือเปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น z เปลี่ยน z เป็น x
sym ก็คือเปลี่ยน x,y,z สลับกันจนครบทุกตัวแปรกันหมด

[No.Name]

วิธีทำ

$a^4+b^4+c^4 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge abc(a+b+c)$

$a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$

$(a^4b^4c^4)(a^4+b^4+c^4) \ge a^5b^5c^5(a+b+c)$

$(a^4b^4c^4)(a^4+b^4+c^4) \le a^8b^8+b^8c^8+c^8a^8$

$a^8b^8+b^8c^8+c^8a^8 \ge a^5b^5c^5(a+b+c)$

$\dfrac{a^3b^3}{c^5}+\dfrac{b^3c^3}{a^5}+\dfrac{c^3a^3}{b^5} \ge a+b+c$

[No.Name]

$n^{13}-n \equiv 0 \pmod{2} $

$n^{13}-n \equiv 0 \pmod{3} $

$n^{13}-n \equiv 0 \pmod{5} $

$n^{13}-n \equiv 0 \pmod{7} $

$n^{13}-n \equiv 0 \pmod{13} $

ทั้งหมดนี้เป็นทุกๆ จำนวนนับ $ n \ge 2$

เนื่องจาก $a_2=2^{13}-2=8192$

จะได้ว่า $(a_1,a_2,...a_{100})=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

[No.Name]

จากสมการ $2x^2+2x+1=0$ จะได้ว่า $x=\dfrac{-1\pm i }{2}$

และ $x+1= \dfrac{1 \pm i}{2}$ และจะได้ว่า $(x+1)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\cos \dfrac{\pi}{4} \pm i\sin\dfrac{\pi}{4})$
$(x+1)^n=(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^n(\cos \dfrac{n\pi}{4} \pm i\sin\dfrac{n\pi}{4})$

เนื่องจาก $r$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า $i\sin\dfrac{n\pi}{4}=0$ จะได้ว่า $n=4k$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ

และจะได้ว่า

$$(\dfrac{1}{\sqrt{2}^{4k}})(-1)^k-r=0$$

จะได้ $r=(\dfrac{1}{4})^k(-1)^k$ และ $n=4k$

[No.Name]

สมการ $x^{17}-x^{19}+...-35=0$ มีรากทั้งหมด 17 ตัว และให้รากทั้งหมดนั้นคือ $a_1,a_2,...a_{17}$ (ได้มาอันนึงไม่รู้ว่าถูกเปล่า)

ให้ $a_1=\pm 5,a_2=\pm 7$ ถ้าทั้งรากทั้งสองเครื่องหมายต่างกัน จะบวกกันไม่ถึง 19 และถ้าคำตอบเป็นลบก็เป็นไปไม่ได้

และจะได้รากที่เหลือเป็น $\pm 1$ และจะได้$a_1=5,a_2=7$ ต้องหาอีก 7 ให้ n และ k เป็นจำนวนเต็มบวก

$n+k=15$ และ $n-k=7$ จะได้ n=11 ,k=4

$a_1=5,a_2=7$ และ $a_3=a_4=...=a_{13}=1$ และ $a_{14}=...=a_{17}=-1$

ไม่แน่ใจว่ามีแค่นี้หรือเปล่านะครับ

[Amankris]

#51
ขาดประเด็นสำคัญไปครับ

นั่นคือ ต้องแสดงว่า $\gcd(a_i)\le2730$

[No.Name]

#54

เวลาต้องพิสูจน์ ผมไม่รู้จะเริ่มตรงไหนอ่ะครับ แล้วทำอย่างไรครับ

อีกปัญหาเกี่ยวกับการใช้ modulo

$2011^{\phi 100}\equiv 2011^{40} \equiv 01 \pmod{100}$

ทั้งที่มันมีตัวที่น้อยกว่า

$2011^{10} \equiv 01 \pmod{100}$

ถ้าสมมุติเลขเยอะๆ เราจะพิสูจน์อย่างไรครับว่าตัวไม่มีตัวที่น้อยกว่านี้ เช่น

$3^{4000} \equiv 0001 \pmod{10000}$

แต่จริงเลขที่น้อยที่สุดคือ 500 เราจะพิสูจน์อย่างไรหรอครับว่า 500 เนี่ยน้อยสุดแล้ว

[Amankris]

#55

Hint

ดู $a_2$

ส่วนที่ถามมานะครับ
ลองอ่านเรื่อง Order กับ Primitive root

[No.Name]

#56

ขอบคุณมากๆเลยครับ (ตั้งนาน)

[Amankris]

#51
ขออีกนิดนะ

แล้วสรุป หรม. แบบนั้นได้อย่างไรครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#51
ขออีกนิดนะ

แล้วสรุป หรม. แบบนั้นได้อย่างไรครับ

หรม ของมันต้องไม่เกิน $a_2$ แน่นอน

ถ้า หรม. ของผมที่ทำไว้เนี่ยคูณอีก 3 ก็เกินแล้ว

เพราะฉะนั้นจึงได้แค่คูณ 2 แต่ถ้า หรมเป็น $4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

จะได้เป็นไปไม่ได้ เช่น $4\nmid a_6$

[Amankris]

#59
ก็เหลือกรณีคูณ 3 ไงครับ - -" ที่ไม่ได้แสดงไว้