ข้อสอบ TME ม.3 2555

[กิตติ]

ข้อ 28...ผมคิดตามรูปที่สองของลุงBanker ใช้เรื่องตรีโกณของสามเหลี่ยมที่มีมุมร่วมกัน จริงๆก็เหมือนสามเหลี่ยมคล้าย ตามรูป



จะได้ว่า
$\frac{x}{y} =\frac{6}{y+3} =\frac{7}{y+7} $
$\frac{6}{y+3} =\frac{7}{y+7}$
$6(y+7)=7(y+3)$
$42=y+21$
$y=21$
เหมือนตามที่ลุงBankerทำ แต่ผมไม่ได้สนใจการหาความสูงของต้นที่เตี้ยที่สุด เพราะไม่หาก็พอหาความยาวของเงาได้ โจทย์กำหนดว่าเงาของทั้งสามต้นตกที่เดียวกัน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 28...ผมคิดตามรูปที่สองของลุงBanker ใช้เรื่องตรีโกณของสามเหลี่ยมที่มีมุมร่วมกัน จริงๆก็เหมือนสามเหลี่ยมคล้าย ตามรูป



จะได้ว่า
$\frac{x}{y} =\frac{6}{y+3} =\frac{7}{y+7} $
$\frac{6}{y+3} =\frac{7}{y+7}$
$6(y+7)=7(y+3)$
$42=y+21$
$y=21$
เหมือนตามที่ลุงBankerทำ แต่ผมไม่ได้สนใจการหาความสูงของต้นที่เตี้ยที่สุด เพราะไม่หาก็พอหาความยาวของเงาได้ โจทย์กำหนดว่าเงาของทั้งสามต้นตกที่เดียวกัน

ดูเหมือนว่า เงายาวไม่เท่ากันครับ

ตอนแรก ปลายเงาห่างจากต้นเตี้ย 23 เมตร ส่วน 4 ปีต่อมาปลายเงายาวแค่ 21 เมตรจากต้นเตี้ย

(โจทย์กำหนดเป็นอัตราส่วนเดียวกัน ไม่ได้บอกว่าจุดปลายเงาอยู่ที่เดียวกัน เพราะถ้าอยู่ที่เดียวกัน ก็ไม่ต้องหาของ 4 ปีถัดมา)

ส่วนที่ว่าไม่ต้องหาความสูงของต้นเตี้นถูกแล้วครับ ผมทำเยิ่นเย้อเอง

[กิตติ]

ประเด็นที่ลุงBankerเขียนก็น่าคิด เพราะโจทย์กำหนดดังนี้
1.ต้นไม้โตแบบตรงตั้งฉากกับพื้นดิน พื้นดินเรียบเป็นระนาบเดียวกัน
อันนี้เข้าใจได้ว่า กำหนดเพื่อให้ใช้เรื่องของสามเหลี่ยมได้
2.เมื่อเวลาผ่านไป 4 ปี ความยาวของเงากับความยาวของวัตถุยังสัมพันธ์กันเช่นเดิม
ตรงนี้ผมเข้าใจว่า กำหนดให้มุมในการวัดคงที่ ถ้าไม่งั้นพระอาทิตย์ตอนเช้ากับตอนบ่ายก็ทำให้เกิดเงาที่ยาวต่างกัน
กำหนดอัตราส่วนให้คงที่ เป็นการกำหนดให้มุมคงที่เวลาวัด น่าจะเป็นมุมที่แสงส่องมาที่ยอดไม้ แต่ก็งงว่าเมื่อมุมมันคงที่ ต้นไม้สูงขึ้น เงาก็ควรจะยาวตาม เพื่อคงค่าของมุมให้คงที่ตามโจทย์กำหนด
3.ณ เวลาปัจจุบัน เงาของยอดต้นไม้ทั้งสามต้นตกที่ตำแหน่งเดียวกัน หลังจากผ่านไป 4 ปี
ตรงนี้ผมเข้าใจว่ากำหนดไว้เพื่อให้ใช้คุณสมบัติสามเหลี่ยมคล้ายได้ เพื่อให้เกิดสามเหลี่ยมรูปใหญ่และเล็กที่คล้ายกัน

ตรงข้อ 2 กำหนดมาแล้ว ผมยังงง ไม่เข้าใจจุดประสงค์ของการกำหนด ขอเวลานั่งคิดก่อน ยังนึกไม่ออก

[banker]

$20 \pi = 2 \pi (r+x)$

$r = 10-x$


$280 \pi = \pi [(r+2x)^2 - r^2]$

$x^2+xr = 70$

$x^2 +x(10-x) = 70$

$x = 7 \ $เซนติเมตร

[banker]

พื้นที่แรเงา $ = xy - \frac{1}{2}x(y-x)$

$= xy - \frac{1}{2}xy +\frac{1}{2}x^2$

$ = \frac{1}{2}xy + \frac{1}{2}x^2$

$ = \frac{1}{2}x(x+y) = Ax(x+By)$

$ A = \frac{1}{2}, \ \ B = 1$

$10AB = 10(\frac{1}{2})(1) = 5$

[banker]

centriod คือจุดตัดของเส้นมัยฐาน ซึ่งจะแบ่งเส้นมัธยฐานเป็นอัตราสาวน 2 : 1

จะได้ว่า $GE = \frac{20}{3}$

$AE = 2 \times7 = 14 \ \ \to AC = AB = 28 $

$\frac{GE}{DF} = \frac{\frac{20}{3}}{DF} = \frac{2}{3}$

$DF = 10 $

$AB +DF = 28+10 = 38$

[banker]

พื้นที่ทั้งหมด = $4\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = 36 $

พื้นที่สีขาวเท่ากับ $9+3+4.5+1.5 = 18$

พื้นที่แรเงาเท่ากับ $ 36-18 = 18 \ $ตารางหน่วย

[banker]

centriod คือจุดตัดของเส้นมัยฐาน ซึ่งจะแบ่งเส้นมัธยฐานเป็นอัตราสาวน 2 : 1

$สามเหลี่ยม ADE : สามเหลี่ยม ABC = 2^2 : 3^2 = 4 : 9 $

จะได้ว่า สามเหลี่ยม ADE = 36 ตารางเซนติเมตร ---> สามเหลี่ยม AGE = 18 ตารางเซนติเมตร

--> สามเหลี่ยม GME = 9 ตารางเซนติเมตร ....(อัตราส่วนด้าน = 2 :1)

[banker]

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือสี่เหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันทุกด้าน

$x^\circ = 70^\circ \ \ \ \to x = 70 \ \ \ $(สามเหลี่ยมหน้าจั่ว)

$5y-3 = 12 \ \ \to y = 3$

$x+y = 70+3 = 73$

[banker]

$a = 4 -\sqrt{2} $

$b = 4+ \sqrt{2} $

$a+b = 8$

[banker]

โดยสามเหลี่ยมคล้าย อัตราส่วน 2 : 1 จะได้ ED = 3

พื้นที่สามเหลี่ยม $ DEF = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \ $ตารางเซนติเมตร

[banker]

สามเหลี่ยม ADF $ \ \ \ m^2+p^2 = 16+8x+x^2$

สามเหลี่ยม CEF $ \ \ \ q^2+n^2 = x^2$

สามเหลี่ยม AEF $ \ \ \ q^2+m^2 = 32$

สามเหลี่ยม CDF $ \ \ \ p^2+n^2 = 16$

$16+8x+x^2 + x^2 = 32+16$

$x^2+4x-16 = 0$

$x = 2\sqrt{5} -2$

$AD = 4 + 2\sqrt{5} -2 = 2 + 2\sqrt{5} = 2 + \sqrt{20} = p + \sqrt{q} $

$p + q = 2 + 20 = 22$

[banker]

a = ด้านสั้น, b = ด้านยาว

$\frac{1}{2} = \frac{a^2}{b^2}$

$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{3x}{3\sqrt{2}x } $

$3x+3\sqrt{2}x = 18+18\sqrt{2} $

x = 6

สามเหลี่ยมรูปเล็กว่ามีด้านยาว 6 เซนติเมตร

[banker]

$(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+a$

$ (x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+a$

ให้ $x^2+8x = m$

$ (m+7)(m+15)+a$

$m^2+22m+105+ \color{red}{a}$

$m^2+22m+105+ \color{red}{16}$

$m^2+22m+121$

$(m+11)^2$

ตอบ a = 16

[banker]

ข้อนี้น่าสนใจดีครับ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

$\sqrt{81} + \sqrt{(-7)^2} \div \sqrt{\frac{49}{16}} - (-6)^2$

$ = \sqrt{(9)(9)} + \left[\sqrt{(-7)(-7)} \times \sqrt{\frac{16}{49}}\right] - (6)$

$ = 9 +(-7) (\frac{4}{7}) -6$

$ = 9-4-6 = -1$


หรือว่า $ \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = + 7 $


สรุปว่า

$ = 9 +(7) (\frac{4}{7}) -6 = 7$


ตอบ 7 ครับ