ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[littledragon]

12.กระจายก่อนครับ
$(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+c)^{2}\leq 4(a^2+b^2+c^2)$
$a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+a^2+2ac+c^2\leq 4a^2+4b^2+4c^2$
จะได้ว่า $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\geq 0$
ต่อไปจะพิสูจน์ว่า $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\geq 0$เป็นจริง
จัดรูปจะได้ว่า $(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\geq 0$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ

[คณิตศาสตร์]

ข้อ 13.ต้องกระจายด้วยเปล่าแต่มานเยอะจัง

[คณิตศาสตร์]

เช็คข้อ13.ให้หน่อยครับ (กระจายแล้วได้ผลจริงๆถึงมานจะเยอะก็กระจายง่ายๆเลย)

$a^2+b^2+c^2\leqslant a^2+b^2-c^2+2ab-2bc-2ac+b^2+c^2-a^2+2bc-2ac-2ab+c^2+a^2-b^2+2ac-2ab-2bc$
$a^2+b^2+c^2\leqslant a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc$
$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\leqslant a^2+b^2+c^2$
$2ab+2ac+2bc\leqslant 0$
$ab+bc+ca\leqslant 0$
ใช้โคชี
$ab+bc+ca\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2+a^2}$
$ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$
แบบนี้เปล่าครับผมยังงงๆอยู่

[คณิตศาสตร์]

ตอนโคชีมานต้องติดเครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับใช่มั๊ยผมเลยงงข้อที่เฉลยข้อ 9 ครับ

[warutT]

ข้อ 11 ครับ
case 1 $a=0$ or $b=0$ or $c=o$
$a+b+c \leq \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab};0 \leq 0 $ it's obviously.
case 2 $a,b,c \not= 0$
from Cauchy-Schwarz Inequality
$abc(a+b+c)=ab \cdot ca+ab \cdot bc+bc \cdot ca \leq \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$
from Cauchy-Schwarz Inequality
$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=(a^2b^2)+(b^2c^2)+(c^2a^2) \leq \sqrt{a^4+b^4+c^4}\sqrt{a^4+b^4+c^4}=a^4+b^4+c^4$
$\therefore abc(a+b+c) \leq a^4+b^4+c^4$
from $a,b,c \not= 0 ;a+b+c \leq \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}$
$\therefore a+b+c \leq \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

เช็คข้อ13.ให้หน่อยครับ (กระจายแล้วได้ผลจริงๆถึงมานจะเยอะก็กระจายง่ายๆเลย)

$a^2+b^2+c^2\leqslant$ $a^2+b^2-c^2$$+2ab-2bc-2ac+$$b^2+c^2-a^2$$+2bc-2ac-2ab+$$c^2+a^2-b^2$$+2ac-2ab-2bc$

$a^2+b^2+c^2\leqslant a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc$

$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\leqslant a^2+b^2+c^2$

$2ab+2ac+2bc\leqslant 0$

$ab+bc+ca\leqslant 0$

ใช้โคชี

$ab+bc+ca\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2+a^2}$

$ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$

แบบนี้เปล่าครับผมยังงงๆอยู่

ส่วนสีแดงยังไม่ถูกครับ ลองไปเช็คอีกรอบ คิดว่าได้แนวคิดแล้วล่ะ แต่คิดเลขผิดนิดหน่อย

โจทย์ชุดนี้เน้นความอึดครับ ไม่ต้องใช้เทคนิคซับซ้อนอะไรเลย

[warutT]

ข้อ 10 ครับ

Solution

From Cauchy-Schwarz Inequality
$abc(a+b+c) = ab \cdot ca+ab \cdot bc+bc \cdot ca \leq \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$
$abc(a+b+c) \leq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$
$3abc(a+b+c)-2abc(a+b+c) \leq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2$
$3abc(a+b+c) \leq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)+2abc(a+b+c)$
$3abc(a+b+c) \leq (ab+bc+ca)^2$ ตามต้องการครับ

ปล.ถ้าเป็นไปได้ รบกวนขอโจทย์คละเรื่องโดยไม่ใบ้วิธีได้ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ปล.ถ้าเป็นไปได้ รบกวนขอโจทย์คละเรื่องโดยไม่ใบ้วิธีได้ไหมครับ

จัดให้ครับ $a,b,c>0$

14. $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

15. $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\geq a+b+c$

16. $\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leq\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

17. $\dfrac{1}{\sqrt{2a}}+\dfrac{1}{\sqrt{2b}}+\dfrac{1}{\sqrt{2c}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}$

18. $a+b+c\leq \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}$

[คณิตศาสตร์]

แก้เป็น $a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac+b^2+c^2+a^2+2bc-2ac-2ab+a^2+c^2+b^2+ac-2ab-2bc$
จะได้
$a^2+b^2+c^2\leqslant 3a^2+3b^2+3c^2-2ac-2ab-2bc$
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\leqslant 3a^2+3b^2+3c^2$
$2ab+2bc+2ca\leqslant 2a^2+2b^2+2c^2$
$ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$ จากโคชีที่ผมพิสูจน์

แบบนี้เปล่าครับ อธิบายข้อ11.ก็ดีครับยังไม่เข้าใจผมเอา abc คูณทั้ง2ข้างแล้วยังไม่ออกครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

แก้เป็น $a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac+b^2+c^2+a^2+2bc-2ac-2ab+a^2+c^2+b^2+ac-2ab-2bc$
จะได้
$a^2+b^2+c^2\leqslant 3a^2+3b^2+3c^2-2ac-2ab-2bc$
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\leqslant 3a^2+3b^2+3c^2$
$2ab+2bc+2ca\leqslant 2a^2+2b^2+2c^2$
$ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$ จากโคชีที่ผมพิสูจน์

แบบนี้เปล่าครับ อธิบายข้อ11.ก็ดีครับยังไม่เข้าใจผมเอา abc คูณทั้ง2ข้างแล้วยังไม่ออกครับ

ถูกแล้วครับ

ข้อ 11 ทำเหมือนน้อง warutT ครับ ใช้โคชีสองครั้ง

ลองทำข้อ 14-18 ต่อได้เลยครับ

[warutT]

ข้อ 16 ครับ
From Cauchy-Schwarz Inequality
$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{b}+\sqrt{c})+(\sqrt{c}+\sqrt{a}) \leq \sqrt{1+1}\sqrt{a+b}+\sqrt{1+1}\sqrt{b+c}+\sqrt{1+1}\sqrt{c+a}=\sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$
จาก $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \leq \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$
$\therefore \sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \leq \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
$\therefore \sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}) \leq \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

[warutT]

ข้อ 15 ครับ

Solution

from $\frac{a^2}{b},\frac{b^2}{c},\frac{c^2}{a}$
$\therefore a,b,c \not= 0$
From Cauchy-Schwarz Inequality
$a+b+c=\frac{a}{\sqrt{b}}\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{c}}\sqrt{c}+\frac{c}{\sqrt{a}}\sqrt{a} \leq \sqrt{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}}\sqrt{a+b+c}$
From $a,b,c \not= 0;\sqrt{a+b+c} \not= 0$
$\therefore \sqrt{a+b+c} \leq \sqrt{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}}$
$\therefore a+b+c \leq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$ จบการพิสูจน์
(Hidden ไว้ คนอื่นจะได้ฝึกทำครับ )

[warutT]

ข้อ 14 ครับ

Solution

From Cauchy-Schwarz Inequality
$ab+bc+ca \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2$
$2(ab+bc+ca) \leq 2(a^2+b^2+c^2)$
$2ab+2bc+2ca \leq 3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2)$
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \leq 3(a^2+b^2+c^2)$
$(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$
จบการพิสูจน์

[dektep]

ข้อ 14. ลองดูอีกวิธีครับ

soln

$a(1)+b(1)+c(1) \le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
$\therefore (a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

[warutT]

ข้อ 18 $a,b,c>0$ หรือปล่าวครับ เพราะเป็นลบแล้วมันไม่ได้ครับ