อนุกรมอนันต์2

[warut]

ก็มีค่าเป็นสองเท่าของอนุกรมอันที่แล้วไงครับ

[Mastermander]

มาได้อย่างไรครับ ?
ขอ Hint หน่อยครับ

[warut]

ก็ลองเอา 2 คูณอนุกรมอันที่แล้วดูสิครับ

[Mastermander]

ขอบคุณครับ (นึกเรื่องง่ายๆแค่นี้ไม่ออก )



we know that $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$$
converges to $\frac{\pi-1}{2}$. and now I want to know series

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n}$$

converges to ...?


O.K. now I know that

$$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n}=-\frac{\ln(2-2\cos1)}{2}}$$

but,I don't know how to proof.

[warut]

This is probably could be done with the "$C+iS$" method, where $$ C= \cos \theta + \frac{\cos 2\theta}{2} + \frac{\cos 3\theta}{3} + \cdots $$
Hope someone will show us how to prove it rigorously.

[Mastermander]

prove
$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} $$
$$ \sum \frac{\cos n}{n}=\frac12(\sum \frac{e^{in}}{n}+ \sum \frac{e^{-in}}{n}) $$
$$ =\frac12\bigg(-\ln(1-e^i)-\ln(1-e^{-i})\bigg)=-\frac{\ln(2-2\cos1)}{2} $$
$$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n}=-\frac{\ln(2-2\cos1)}{2}}$$

[warut]

Why is $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in}}{n} = -\ln(1-e^i) \, ? $$

[Mastermander]

คุณ warut มีอะไรแอบแฝงรึเปล่าครับ

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x t^{n-1} dt$$
$$=\int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} t^{n-1} \ dt $$
$$=\int_0^x \frac{dt}{1-t}=-\ln(1-x)$$

[warut]

ถ้าที่มาของสูตรเป็นอย่างที่ว่า $x$ ก็ต้องเป็นจำนวนจริงครับ ปัญหามันอยู่ที่วิธีพิสูจน์มันไม่ rigorous น่ะครับ ถึงแม้ว่าจะได้คำตอบออกมาถูกต้องก็ตาม

[Mastermander]

ต้องทำอย่างไรครับ

[warut]

ก็น่านนะสิครับ ผมคิดว่าถ้าจะทำก็คงต้องกระจาย Maclaurin's series ของ $ \ln (1-z) $ แล้วแสดงว่าอนุกรมนี้ใช้ได้ที่จุด $ z= e^{i\theta} \ne 1 $ ด้วย โดยใช้ Abel's Theorem และความจริงที่ว่าอนุกรม $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n} $$ ลู่เข้าเมื่อ $ \theta \ne 0 $ ซึ่งน่าจะพิสูจน์ได้โดยแยกออกเป็น real & imaginary parts แล้วใช้ Dirichlet's Test มั้งครับ

แต่น่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้นะ คนอื่นช่วยคิดหน่อยสิครับ นะนะนะ

[M@gpie]

การกระจาย $\ln (1-z)$ Laurent's Series จะช่วยได้ไหมครับ ??
ผมคิดว่าอาจจะการันตีการลู่เข้าได้ดีกว่าโดยไม่ต้อง test

[warut]

มันก็ได้อนุกรมเดียวกันแหละครับ เพราะที่จุด $z=0$ ไม่ได้เป็น singularity

ปัญหาของการลู่เข้ามันอยู่ที่ขอบของ circle of convergence $|z|<1$ น่ะครับ

[passer-by]

บังเอิญไปเจอมาครับ

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi-x}{2} \quad ,0 < x < 2\pi $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{n} = -\ln \mid 2\sin\frac{x}{2}\mid \quad ,0 < x < 2\pi $$

ที่มา มาจาก Fourier expansion ของฟังก์ชันทางขวามือครับ

และรู้สึกว่า จาก Fourier series อันล่าง จะได้ อินทิเกรตสวยๆ บางอย่างติดมาด้วย นั่นคือ

$$ \int_0^{\pi} \ln(\sin x)\cos(2nx) \,\,dx = \frac{-\pi}{2n} $$ ซึ่งผมยังไม่ได้ลองอินทิเกรตด้วยมือนะครับ แค่ checkจากคอมแล้วพบว่าเป็นตัวนี้

[warut]

ขอบคุณครับ Fourier series อันบนนั่นผมรู้จัก แต่ของอันล่างนี่ฟังก์ชันทางด้านขวามัน unbounded (สังเกตที่จุด $x=0$) แล้วมันจะหา Fourier series ได้เหรอครับ ผมเคยหาแต่ Fourier series ของฟังก์ชันง่ายๆ แล้วแบบนี้จะถือว่าเป็น piecewise continuous รึเปล่า ใครทราบช่วยบอกทีครับ

ถ้าหากว่ามันเป็น Fourier series จริงๆ เราจะได้ว่าคำตอบอันหนึ่งสำหรับคำถามของคุณ Mastermander คือการกระจาย Fourier series ของฟังก์ชันดังกล่าว แต่ก็ยังต้อง integrate ตัวนั้นให้ได้ด้วยนะครับ