Marathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ]

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ได้ $\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$ ครับ

ถูกมั้ยอ่ะครับ ไม่ค่อยมั่นใจเลยอ่ะ

ไม่ได้เข้ามาวันนึงครับ คุณjsompisมาช่วยยืนยันก็ต้องถูกสิครับ
แต่ผมไม่กล้าบอกว่า "รีบพิมพ์ไปหน่อย ลืมตรวจทานครับ คำตอบเลยไม่สวยเลย" อโหสิกรรมให้ผมนะครับ

[กิตติ]

กำหนดให้$M,N$เป็นตัวเลขโดดที่มีค่า$1-9$ และการเขียน$MN$หมายถึงเลขสองหลักที่นำเลขโดดมาเขียน
ถ้า$MN$หารด้วย 3เหลือเศษ 1 และ$NM$หารด้วย 3เหลือเศษ 1
จงหาคู่ของ$M,N$ที่ทำให้$M^N+N^M$หารด้วย3ลงตัว
คำตอบของคุณJSompis....ถูกต้องครับ
วิธีของผมไม่ใช้mod เพราะผมไม่ถนัด อันแรกผมตัดจำนวนสองหลักที่ขึ้นต้นด้วยเลข$3,6,9$ออกไปก่อน เพราะไม่ว่าเลขหลังจะเป็นเลขอะไร ก็หารด้วย3ไม่ลงตัว เลขในชุดนี้ได้แก่$31,34,37,61,64,67,91,94,97$ และมันก็น่าแปลกว่าตัวเลขชุดนี้ก็เข้าเกณฑ์ที่ว่าสลับหลักแล้วก็ยังหารด้วย3เหลือเศษ 1
ต่อไปผมลองมองชุดตัวเลข$13,16,19,43,46,49,73,76,79$:ซึ่งมีตัวเลขในหลักหน่วยเป็น$3,6,9$ดังนั้นมันก็เข้าลักษณะเดียวกับข้อแรก
ดังนั้นเหลือตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วย$2,5,8$....ลองคิดเล่นๆว่า $2^3+1=9$เป็นเลขที่หารด้วย3ลงตัว ...มาดูคู่$28,82$ จะได้ว่า$2^8+8^2=2^8+2^6=2^6(2^2+1)$ ซึ่ง3ไม่ลงตัว และเลข$28,82$ไม่เข้าเกณฑ์ที่โจทย์หาด้วย.ลองมาดู $2^5+5^2 =2^5+(3+2)^2$ ซึ่งพจน์ที่ไม่มีเลข3 คือ$2^5+2^2 =2^2(2^3+1)$ซึ่งหารด้วย3ลงตัว ดังนั้นจำนวน$25,52$จึงเข้าเกณฑ์
สำหรับ$8^5+5^8=(6+2)^5+(3+2)^8$ จะมีพจน์ที่ไม่มีเลข3คือ$2^5+2^8=2^5(2^3+1)$ ซึ่ง3หารลงตัว ดังนั้น$58,85$จึงใช้ได้
สำหรับ$22,55,88$นั้นไม่เข้าเกณฑ์เพราะว่า ลองดู$8^8+8^8=2\times 8^2=2(3+2)^2$ พจน์ที่ไม่มีเลข3 มีพจน์เดียวคือ $2(2^2)$ซึ่งแน่นอนว่า 3หารไม่ลงตัว เช่นเดียวกับกรณีของ$22,55$
จึงได้คู่เป็น$58,85,25,52$
วิธีผมอาจจะถึกไปหน่อย คงใช้ความรู้แค่ระดับม.ต้นน่าจะพอไขได้ ผมคิดว่าในความรู้ระดับสูงขึ้นน่าจะมีวิธีแก้ได้สั้นกว่านี้ คงต้องให้ท่านผู้รู้ได้ไขความลับนี้ครับ ผมเองความรู้ไม่ถึงขั้นครบ คิดเล่นๆสนุกๆครับ