มาช่วยกันเฉลยอสมการ Vasc Warm-up problem set

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#59 ผมว่ามัน $ab+bc+ca\ge 3\rightarrow 3(ab+bc+ca-5)+6\ge 3(3-5)+6=0$
ผมว่าเราคิดมากกันไปเองอ่ะครับ 555

ทำแบบนี้เหรอครับ

$(a+b+c)(ab+bc+ca-5)+6\geq 3(ab+bc+ca-5)+6$

[จูกัดเหลียง]

ใช่เเล้วมั้งครับ (ได้ป่าวหว่า 555)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ทำแบบนี้เหรอครับ

$(a+b+c)(ab+bc+ca-5)+6\geq 3(ab+bc+ca-5)+6$

ถ้า $ab+bc+ca<5$ จะเกิดอะไรขึ้นครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้า $ab+bc+ca<5$ จะเกิดอะไรขึ้นครับ

อ่อ เข้าใจเเล้วครับ งั้นเราจะ Soln ยังไงดี - -*

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้า $ab+bc+ca<5$ จะเกิดอะไรขึ้นครับ

ผมคิดแบบนี้อ่ะครับ ค่าต่ำสุดของ $ab+bc+ca \ge 3$ เกิดขึ้นเมื่อ $a=b=c=1$ และเมื่อ $a=b=c=1$

$a+b+c$ ค่าต่ำสุดก็คือ $3$ มันทำให้ เกิดค่าต่ำสุดของ $(a+b+c)(ab+bc+ca-5) \ge -6 $ อ่ะครับ

[จูกัดเหลียง]

21) $ab+bc+ca=3$
prove that $$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge \frac{3}{2}$$
My sol_n
let $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$ then $x+y+z=3$ and $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$ then $f$ is convex
It's remain to show that
$$\sum_{cyc} \frac{x^2}{x^2+1}\ge \frac{3}{2}$$
by Jensen's it's true

[จูกัดเหลียง]

20.Let $ab+bc+ca=3$
Prove $$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le 1$$

my_Sol_n
Use $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$ then $x+y+z=3$
It's Equavalent to $$\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}=\sum_{cyc} \frac{1}{1+2x^2}\ge 1 $$

Proved by Jensen's Where $f(x)=\frac{1}{1+2x^2}$

[จูกัดเหลียง]

62.Let $a,b,c \in \mathbb{R^+}$ and $ a+b+c=3$
Prove $$\frac{1}{6-ab}+\frac{1}{6-bc}+\frac{1}{6-ca}\le \frac{3}{5}$$

My_(Wrong)Soln
let $x=ab,y=bc,z=ca$
Then $x+y+z \le \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$ and $x,y,z<6$
Use $f(x)=\frac{1}{6-x}\rightarrow $ $f$ is concave function
Then By Jensen's Get
$$\frac{1}{6-x}+\frac{1}{6-y}+\frac{1}{6-z}\le \frac{3}{6-(\frac{x+y+z}{3})}\le \frac{3}{5}$$ By use $x+y+z\le 3$

[จูกัดเหลียง]

คือ ผมมีโจทย์อันนึงที่(ของ Vasc นี่เเหละ)สวยมากเลยครับเเต่ทำไม่ได้ (รบกวนท่านเทพ noonuii เเล้วกันนะครับ)
44.Let $a,b,c\in \mathbb{R^+}$
Prove that $$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge 3$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

44.Let $a,b,c\in \mathbb{R^+}$
Prove that $$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge 3$$

ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมเหรอครับ ถ้ามีแค่นี้คงไม่จริงครับเพราะมันไม่ homogeneous

เช่น $a=0.05,b=0.95,c=0.95$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมเหรอครับ ถ้ามีแค่นี้คงไม่จริงครับเพราะมันไม่ homogeneous

เช่น $a=0.05,b=0.95,c=0.95$

สงสัยคุณ จูกัดเหลียง คงลอกโจทย์มาไม่ครบครับมี

$a^2+b^2+c^2=3$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Use $f(x)=\frac{1}{6-x}\rightarrow $ $f$ is concave function

เท่าที่เช็คดู $f$ เป็น convex function นะ

[จูกัดเหลียง]

#72 จิงด้วยครับ 555

[BLACK-Dragon]

51. $a,b,c \ge 0$

$$\dfrac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\dfrac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\dfrac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)} \le \dfrac{1}{a+b+c}$$

My Solution

อยากจะบอกว่าข้อนี้สวยงามมากๆๆๆๆๆๆ ครับ

$(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2) \ge a^2(a+b+c)^2$

$\dfrac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)} \le \dfrac{a}{(a+b+c)^2}$

$\dfrac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\dfrac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\dfrac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)} \le \dfrac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\dfrac{1}{a+b+c}$

[Amankris]

#66,#67,#68

ทำแบบนี้ ถึงถูกก็ได้คะแนนน้อยครับ

ถ้าจะใช้ Jensen ยังไงก็ต้องโชว์ความ Convex, Concave

ไม่ใช่มามั่วนิ่มแบบนี้ -_-"