ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[คณิตศาสตร์]

ข้อ14.
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\leqslant 3a^2+3b^2+3c^2$
$2ab+2bc+2ac\leqslant 2a^2+2b^2+2c^2$
$ab+bc+ac\leqslant a^2+b^2+c^2$

ข้อ16.(ยาวหน่อย)
ใช้โคชีจากสมการจะได้ว่า
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{3(\sqrt{2})^2 }\sqrt{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2}$
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$
ใช้โคชีจะได้ว่า
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{1+1+1}\sqrt{\sqrt{a+b}^2+\sqrt{b+c}^2+\sqrt{c+a}^2}$
$\sqrt{a+b} +\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$
$\therefore \sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$

[คณิตศาสตร์]

ข้อ 18.ครับ
$a+b+c\leqslant \sqrt{a^2-2ab+b^2+ab}+\sqrt{b^2-2bc+c^2+bc}\sqrt{c^2-2ca+a^2+ca}$
$a+b+c\leqslant \sqrt{(a-b)^2+ab}+\sqrt{(b-c)^2+bc}+\sqrt{(c-a)^2+ca}$
$a+b+c\leqslant (a-b+\sqrt{ab})+(\sqrt{b-c}+\sqrt{bc})+(\sqrt{c-a}+\sqrt{ca})$
$a+b+c\leqslant \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
อสมการด้านขวาใช้โคชีจะได้ว่า
$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leqslant \sqrt{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}^2$
$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leqslant a+b+c$

ถูกรึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ข้อ 18 $a,b,c>0$ หรือปล่าวครับ เพราะเป็นลบแล้วมันไม่ได้ครับ

$a,b,c>0$ ทุกข้อครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ข้อ16.(ยาวหน่อย)
ใช้โคชีจากสมการจะได้ว่า
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{3(\sqrt{2})^2 }\sqrt{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2}$
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$
ใช้โคชีจะได้ว่า
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{1+1+1}\sqrt{\sqrt{a+b}^2+\sqrt{b+c}^2+\sqrt{c+a}^2}$
$\sqrt{a+b} +\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$
$\therefore \sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$

ยังไม่ถูกครับ ลองดูอสมการใหม่ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ข้อ 18.ครับ
$a+b+c\leqslant \sqrt{a^2-2ab+b^2+ab}+\sqrt{b^2-2bc+c^2+bc}\sqrt{c^2-2ca+a^2+ca}$
$a+b+c\leqslant \sqrt{(a-b)^2+ab}+\sqrt{(b-c)^2+bc}+\sqrt{(c-a)^2+ca}$
$a+b+c\leqslant (a-b+\sqrt{ab})+(\sqrt{b-c}+\sqrt{bc})+(\sqrt{c-a}+\sqrt{ca})$
$a+b+c\leqslant \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
อสมการด้านขวาใช้โคชีจะได้ว่า
$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leqslant \sqrt{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}^2$
$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leqslant a+b+c$

ถูกรึเปล่าครับ

ตรงส่วนสีแดงยังไม่ถูกครับ

[คณิตศาสตร์]

พิมพ์ผิดครับมานต้องเป็น
$a+b+c\leqslant a-b+\sqrt{ab}+b-c+\sqrt{bc}+c-a+\sqrt{ca}$

ข้อ16.มานต้องเป็น
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
เพราะว่าจากโคชีที่ผมทำไว้ด้านบน
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$

[nooonuii]

พิมพ์ผิดครับมานต้องเป็น
$a+b+c\leqslant a-b+\sqrt{ab}+b-c+\sqrt{bc}+c-a+\sqrt{ca}$

ก็ยังไม่ใช่ครับ ลองดูว่าผิดตรงไหน ต้องฝึกจับผิดให้ตัวเองด้วย
เพราะอสมการทำให้เราหลงทางได้ง่ายมาก

ข้อ16.มานต้องเป็น
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$
เพราะว่าจากโคชีที่ผมทำไว้ด้านบน
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$
$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leqslant \sqrt{6(a+b+c)}$

เราได้แค่ว่า ทั้งสองเทอมมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ $\sqrt{6(a+b+c)}$

แต่ิัอันนี้ยังไม่ได้ข้อสรุปของโจทย์เลยครับ เพราะโจทย์ต้องการ

$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leq \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

มันเหมือนกับเรารู้ว่า $1\leq 3$ และ $2\leq 3$ แต่เราสรุปจากสองอสมการนี้ไม่ได้ว่า $1\leq 2$

[คณิตศาสตร์]

แจกแจงการถอดรากไม่ได้เหรอครับ แล้วในข้อ18.ต้องทำโคชีด้านขวารึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

แจกแจงการถอดรากไม่ได้เหรอครับ แล้วในข้อ18.ต้องทำโคชีด้านขวารึเปล่าครับ

รู้สึกว่าข้อ 17,18 จะยากไปนิดนึงครับ สำหรับผู้เริ่มต้น

ขอแอบใส่ Hint ไว้ให้ละกันครับ

Hint:

แน่ใจนะว่าจะดู Hint แล้ว ไม่คิดต่ออีกหน่อยเหรอ

17. $\dfrac{1}{\sqrt{2a}}+\dfrac{1}{\sqrt{2b}}\geq\dfrac{2}{\sqrt{a+b}}$

18. $\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{a^2-ab+b^2}$

[คณิตศาสตร์]

พี่เอาโจทย์ที่ง่ายกว่านี้ได้มั๊ยครับ ที่พี่ให้มาผมยังทำไม่ได้ทุกข้อเลย

[คณิตศาสตร์]

ข้อ18.จัดรูปแบบนี้เปล่าครับ
$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\leqslant \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}$

[nooonuii]

18. ใช่ครับ แต่ต้องพิสูจน์อสมการแต่ละก้อนก่อนครับ ซึ่งไม่ยาก

งั้นเอาไปอีกชุดครับ $a,b,c,d,x,y,z>0$

19. $\sqrt{(1+a)(1+b)}\geq 1+\sqrt{ab}$

20. $(a+b)(c+d) \leq a^2+b^2+c^2+d^2$

21. $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

[winlose]

ข้อ19ครับ

solution

$1+\sqrt{ab}=(1)(1)+\sqrt{a}\sqrt{b}$
จากอสมการ Cauchy-Schwarz
$(1)(1)+\sqrt{a}\sqrt{b}\leqslant \sqrt{1+a}\sqrt{1+b}=\sqrt{(1+a)(1+b)}$
$\therefore 1+\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{(1+a)(1+b)}$

[winlose]

ข้อ20ครับ

solution

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
จากอสมการ Cauchy-Schwarz
$ac+ad+bc+bd \leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=a^2+b^2+c^2+d^2$
$\therefore (a+b)(c+d) \leqslant a^2+b^2+c^2+d^2$

[warutT]

ข้อ 21 ครับ

Proof

From Cauchy-Schwarz Inequality
$a\sqrt{xyz}+b\sqrt{xyz}+c\sqrt{xyz} \leq \sqrt{a^2yz+b^2xz+c^2xy}\sqrt{x+y+z}$
$\sqrt{xyz}(a+b+c) \leq \sqrt{a^2yz+b^2xz+c^2xy}\sqrt{x+y+z}$
ยกกำลังสอง
$xyz(a+b+c)^2 \leq (a^2yz+b^2xz+c^2xy)(x+y+z)$
$\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} \leq \frac{a^2yz+b^2xz+c^2xy}{xyz}$
$\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} \leq \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}$
$\therefore \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
จบการพิสูจน์ครับ