ตะลุยโจทย์ยามว่าง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน $ [a,b]$ และ $g(x)$ เป็น continuously differentiable function (i.e. function with a continuous derivative) บนช่วงดังกล่าว
ถ้า $ \int_a^b f(x)g(x)\,\, dx =0 $ ทุก $g(x) $ ที่มีสมบัติดังกล่าว แล้ว $f(x)=0 $ ทุก $x \in [a,b]$

โดย Stone - Weierstrass Theorem จะมีลำดับของพหุนาม $p_n(x)\to f(x)$ uniformly on [a,b]
ดังนั้น $$\int_a^b f^2(x) \ dx = \lim_{n\to\infty} \int_a^b p_n(x)f(x) \ dx = 0$$
เราจึงได้ว่า $f\equiv 0$ จากข้อ 26 และที่น้อง Magpie พิสูจน์ไว้

[Spotanus]

ทำไมไม่มีเรขาซักข้อเลยครับ...
เราทำเป็นแต่เรขา...

[nongtum]

อยากได้ก็จัดให้ครับ

27. รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ มีด้าน $AB=CD$ มีมุม $ABC$ เป็นมุมฉาก และมุม $BCD=100^\circ$ เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้าน $AD$ และของด้าน $BC$ ตัดกันที่จุด $M$ จงหาขนาดของมุม $BMC$

[passer-by]

ผ่านมา 1 สัปดาห์แล้ว มาแปะเฉลยข้อ 23-25 ไว้ก่อนครับ

เอาไว้ถ้ามันนิ่งสนิทถึง ปลาย พ.ค. เมื่อไหร่ แล้วจะมา แปะวิธีทำให้ครับ

ANS

23. 2688
24. $ \binom{22}{5} $
25. 1

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

23. (Number theory +combinatorics) หาจำนวนเซต $A= \{ n_1,n_2,...,n_7\}$ โดยสมาชิกทุกตัวเป็นจำนวนเต็มและ $$\sum_{i=1}^7 n_i^6=96957 $$

หมายความว่า $n_i$ เป็นลบได้ด้วยเหรอครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

หมายความว่า $n_i$ เป็นลบได้ด้วยเหรอครับ

เป็นลบได้ครับ

[warut]

แล้วการเรียงลำดับ $n_1,n_2,...,n_7$ ที่ต่างกันล่ะครับ นับหรือเปล่า

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

แล้วการเรียงลำดับ $n_1,n_2,...,n_7$ ที่ต่างกันล่ะครับ นับหรือเปล่า

ขอบคุณมากครับที่ถามคำถามนี้ งั้นผมขอเปลี่ยนแปลงโจทย์และคำตอบนิดหน่อยแล้วกัน

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

23. (Number theory +combinatorics) หาจำนวน 7-tuple $ (n_1,n_2,...,n_7)$ โดยแต่ละ element เป็นจำนวนเต็มและ $$\sum_{i=1}^7 n_i^6=96957 $$

HINT

23. mod 9

เนื่องจาก $96957=3^6 \cdot 133$ ดังนั้น $$\sum_{i=1}^7 n_i^6 \equiv0\pmod9$$ ให้สังเกตว่าถ้า $3\mid x$ แล้ว $x^6\equiv0\pmod9$ และถ้า $3\!\!\not|\;x$ แล้ว $x^6\equiv1\pmod9$ เราจึงสรุปได้ว่า $3\mid n_i$ สำหรับทุก $i$

ให้ $n_i=3a_i$ เราจะได้ว่า $$\sum_{i=1}^7 a_i^6=133$$ เนื่องจากเราสามารถเขียน 133 ในรูปของผลบวกของจำนวนนับยกกำลังหก 7 ตัว ได้เพียงแบบเดียว (ไม่นับการสลับลำดับ) คือ $$133=2^6+2^6+1^6+1^6+1^6+1^6+1^6$$ ดังนั้นจำนวนของ 7-tuples $(a_1, \dots, a_7)$ ที่เป็นไปได้ ซึ่งก็คือจำนวนของ 7-tuples $(n_1, \dots, n_7)$ ทั้งหมด จึงมีค่าเท่ากับ จำนวนวิธีการสลับลำดับ $\pm2, \pm2, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1$ นั่นคือ $$ \sum_{y=0}^5 \sum_{x=0}^2 \frac{7!}{x! (2-x)! y! (5-y)!}$$ เมื่อ $x$ แทนจำนวนของ $+2$ และ $y$ แทนจำนวนของ $+1$ (ไม่แน่ใจเหมือนกันครับว่ามีวิธีคิดที่ดีกว่านี้ไหม) ซึ่งเมื่อหาค่า double sum อันนั้นออกมาจะได้เท่ากับ 2688 ครับ

ป.ล. ช่วงนี้โจทย์ขายไม่ค่อยออกครับ ยิ่งถ้าเป็น number theory ยิ่งแล้วใหญ่ ถ้าจะเอามาโพสต์ก็ต้องเตรียมทำใจไว้หน่อยครับ

[dektep]

28.Find all functions f:R$\rightarrow$R satifying f(x+f(y))=x+f(f(y))
for all rel numbers x and y,with the additional constraint that f(2004)=2005
29.Let N denote the set of positive integers.Find all functions f:N$\rightarrow$N
such that f(m+n)f(m-n)=f(m²)

[dektep]

30.Find all function f:R→R such that f(x)f(yf(x)-1)=x²f(y)-f(x)
for all real numbers x and y

[dektep]

31.A 2004 x 2004 array of points is drawn.Find the largest interger n such that it is possible to draw a convex n-sided polygon whose vertices lie on the points of the array
32.The transportation ministry has just decided to pay 80 companies to repair 2400 roads. These roads connects 100 cities.Each road is between two cities and there is at most one road between any two cities.Each company must repair exactly 30 roads,and each road is repaired by exactly one company.For a company to repair a road,it is necessary for the company to set up stations at the both cities on its endpoints.Prove that there are at least 8 companies stationed at one city.

[dektep]

33.Show that for positive reals a,b,c
$\sum_{cyc}$ 1/(4a²-ab+4b²) $\geq$ 9/7(a²+b²+c²)

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

ดังนั้นจำนวนของ 7-tuples $(a_1, \dots, a_7)$ ที่เป็นไปได้ ซึ่งก็คือจำนวนของ 7-tuples $(n_1, \dots, n_7)$ ทั้งหมด จึงมีค่าเท่ากับ จำนวนวิธีการสลับลำดับ $\pm2, \pm2, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1$ นั่นคือ $$ \sum_{y=0}^5 \sum_{x=0}^2 \frac{7!}{x! (2-x)! y! (5-y)!}$$ เมื่อ $x$ แทนจำนวนของ $+2$ และ $y$ แทนจำนวนของ $+1$ (ไม่แน่ใจเหมือนกันครับว่ามีวิธีคิดที่ดีกว่านี้ไหม) ซึ่งเมื่อหาค่า double sum อันนั้นออกมาจะได้เท่ากับ 2688 ครับ

ป.ล. ช่วงนี้โจทย์ขายไม่ค่อยออกครับ ยิ่งถ้าเป็น number theory ยิ่งแล้วใหญ่ ถ้าจะเอามาโพสต์ก็ต้องเตรียมทำใจไว้หน่อยครับ

ไม่ต้องใช้ double sum ก็ได้ครับ มองเป็น 2 ขั้้นตอนคือ เรียงสับเปลี่ยน 2,2,1,1,1,1,1 ได้ $ \frac{7!}{5!2!} $ แล้วคูณด้วย $2^7$ ก็จบแล้วครับ ( 2 มาจาก เลือก ค่าบวก หรือค่าลบครับ)

[dektep]

33.Hint! กระจายออกมา