ขอความช่วยเหลือ: Number Theory Project

[shinn]

ตอบนะครับ ผิดข้อไหนบอกด้วยนะครับผม
h บ a (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)
พิจารณา เซต S = { h>1 l h บ a (mod $F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)} ถามว่า

1.เขียน S แบบแจกแจง
S = {a,a+$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$,a+2.$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$,a+3.$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$,...}

2.สมาชิกทุกตัวเป้นจำนวน Sierpinski numbers หรือไม่

เป็น โดยข้อ 3ที่เราพิสูจน์ได้ใช่ไหมครับ


3.เซต S เป็น arithmetic progression หรือไม่

น่าจะเป็นครับ แต่ไม่รู้จะแสดงยังไงว่า gcd(a,$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$) = 1

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
2.สมาชิกทุกตัวเป้นจำนวน Sierpinski numbers หรือไม่

เป็น โดยข้อ 3ที่เราพิสูจน์ได้ใช่ไหมครับ

ที่ถูกคือไม่ใช่ครับ เพราะมีสมาชิกบางตัวเป็นจำนวนคู่ ซึ่งถ้าเราเพิ่มเงื่อนไข $h\equiv1\pmod2$ เข้าไปอีกอันก็จะตัดเรื่องนี้ไปได้ แต่ไม่จำเป็นต้องทำก็เพียงพอที่จะทำการพิสูจน์ต่อไปได้ครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
3.เซต S เป็น arithmetic progression หรือไม่

น่าจะเป็นครับ แต่ไม่รู้จะแสดงยังไงว่า gcd(a,$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$) = 1

gcd จะเท่ากับ 1 หรือไม่ก็ไม่เห็นเกี่ยวกับว่าจะเป็น A.P. (ลำดับเลขคณิต) หรือไม่เลยนี่ครับ การแสดงว่า gcd = 1 ก็ดูได้จากว่า $a$ มันมาจาก system of linear congruences ข้างบนไงครับ

แนวทางการพิสูจน์เราก็พูดกันไปหมดแล้ว คิดว่าคงไม่มีปัญหาอะไรอีกแล้วล่ะครับ ที่เหลือก็แค่เขียนรายงาน ซึ่งไม่ยากเลยถ้าคุณ shin เข้าใจการพิสูจน์นี้จริงๆ และการพิสูจน์นี้ก็ใช้ความรู้ที่พื้นฐานสุดๆแล้ว ขอให้โชคดีครับ

[shinn]

ข้อ 3
กรณีที่1.) 32 หาร n ไม่ลงตัว
เลือก hบ1 (mod$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$)
จะได้ว่า h.$2^n$+1เป็นจำนวนประกอบ โดยข้อ 2

กรณีที่2.) 32 หาร n ลงตัว นั้นคือ n = 32t เมื่อ t เป็นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่2.1) ถ้า t เป็นจำนวนเต็มคี่
เลือก h บ 1 (mod641)
จะได้ว่า h.$2^n$+1เป็นจำนวนประกอบ

กรณีที่2.2) ถ้า t เป็นจำนวนเต็มคู่
เลือก h บ -1 (mod$F_5$/641)
จะได้ว่า h.$2^n$+1เป็นจำนวนประกอบ

จากทั้ง 2 กรณี ได้ระบบ
hบ1 (mod$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$)
h บ 1 (mod641)
h บ -1 (mod$F_5$/641)
เนื่องจาก gcd($F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$,641)=gcd($F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$,$F_5$/641)=gcd($F_5$/641,641)=1
โดย Chinese Remainder Theorem จะได้ว่า ระบบนี้มีผลเฉลยร่วมกันเพียงผลเฉลยเดียว ในมอดุโล$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$
นั่นคือ มี a ที่ h บ a (mod$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$ ) แล้ว h.$2^n$+1เป็นจำนวนประกอบ
...............
ต่อไปจะแสดงว่า จำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะมีอยู่เป็นอนันต์
พิจารณา เซต S = {h > 1 l hบ a (mod$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$ ) }
นั่นคือ S = {a,a+$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$,a+2.$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$,a+3.$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$,...}

คำถามที่ 1.ตรงนี้เราต้องเพิ่มเงื่อนไข h บ 1 (mod 2) ไหมครับพี่
คำถามที่ 2. เราต้องแสดงไหมครับว่า gcd(a,$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$) = 1 เพราะ Dirichlet's Theorem on primes in Arithmetic Progressions บอกไว้ว่า
"If a and b are relatively prime positive integers then the arithmetic progression a,a+b,a+2b,a+3b,...contains infinitely many primes "
ขอบคุณครับ

[shinn]

คำถามที่ 3. เราพิสูจน์มาถึงข้อ 3 นี่เป็นการแสดงว่า มี sierpinski number ที่เป็นจำนวนประกอบอยู่เป็นอนันต์ไหมครับ

คำถามที่ 4. เราพิสูจน์เกี่ยวกับจำนวนประกอบมาทั้งหมด อยู่ๆเราใช้ CRT มาอ้างเพื่อให้ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เป็นอนันต์ ผมยังไม่เข้าใจเลยครับ หรือว่า CRT ขอแค่มีลำดับเลขคณิต และหรม.เป็น 1 ก็พอแล้ว ซึ่งเราก้เลยมาพิจารณาลำดับที่เราได้มาคือ S ซึ่งเป็นลำดับของจำนวนประกอบ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 1.ตรงนี้เราต้องเพิ่มเงื่อนไข h บ 1 (mod 2) ไหมครับพี่

ตามใจครับ แล้วแต่ชอบ แต่ยังไงจำนวนเฉพาะ (ยกเว้น 2) มันก็เป็นจำนวนคี่อยู่แล้ว

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 2. เราต้องแสดงไหมครับว่า gcd(a,$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$) = 1 เพราะ Dirichlet's Theorem on primes in Arithmetic Progressions บอกไว้ว่า
"If a and b are relatively prime positive integers then the arithmetic progression a,a+b,a+2b,a+3b,...contains infinitely many primes "

ต้องครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 3. เราพิสูจน์มาถึงข้อ 3 นี่เป็นการแสดงว่า มี sierpinski number ที่เป็นจำนวนประกอบอยู่เป็นอนันต์ไหมครับ

ใช่ครับ เพราะ non-constant A.P. of integers ทุกอันย่อมมีจำนวนประกอบอยู่เป็นอนันต์แน่ๆ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 4. เราพิสูจน์เกี่ยวกับจำนวนประกอบมาทั้งหมด อยู่ๆเราใช้ CRT มาอ้างเพื่อให้ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เป็นอนันต์ ผมยังไม่เข้าใจเลยครับ หรือว่า CRT ขอแค่มีลำดับเลขคณิต และหรม.เป็น 1 ก็พอแล้ว ซึ่งเราก้เลยมาพิจารณาลำดับที่เราได้มาคือ S ซึ่งเป็นลำดับของจำนวนประกอบ

ไม่เข้าใจที่คุณ shin พูดเลยครับ

[shinn]

ต่อไปจะแสดงว่า จำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะมีอยู่เป็นอนันต์

คำถามที่ 5
ผมต้องทำยังไงครับ 5555+++ เหมือนจะเข้าใจแต่ก็...หลังจากนี้ผมยังเหลืออีกหลายคำถามเลยครับ อย่าเพิ่งเหนื่อยใจนะครับพี่

คำถามที่ 6
จำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะ ก็คือ จำนวนเต็มบวกคี่ h ที่ทำให้ h.$2^n$+1 เป็นจำนวนเฉพาะ ทุก n ใช่ไหมครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
คำถามที่ 6
จำนวน sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะ ก็คือ จำนวนเต็มบวกคี่ h ที่ทำให้ h.$2^n$+1 เป็นจำนวนเฉพาะ ทุก n ใช่ไหมครับ

ไปกันใหญ่แล้วครับ พอมาถึงตอนจบก็ไม่รู้เสียแล้วว่า Sierpinski number คืออะไร ผมก็คงช่วยอะไรไม่ได้มาก นอกจากจะบอกว่าให้ไปทบทวนให้เข้าใจเสียก่อนว่า Sierpinski number คืออะไรกันแน่นะครับ

อ้อ...อีกอย่างคือคำว่า "Sierpinski number" ตัว S ต้องเป็นตัวใหญ่เสมอครับเพราะมาจากชื่อคน

[shinn]

Sierpinski number คือจำนวนเต็มคี่ k ที่ทำให้ k.$2^n$+1 เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก n

ข้อ 1 ถึง ข้อ 3 หมายถึงมี k ตัวนี้ที่เป็นจำนวนประกอบ ที่ทำให้ k.$2^n$+1 เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก n
ส่วนที่จะพิสูจน์ว่า Sierpinski number ที่เป็นจำนวนเฉพาะ มีอยู่เป็นอนันต์ นั่นคือ k ตัวนี้ที่เป็นจำนวนเฉพาะ ที่ทำให้ k.$2^n$+1 เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก n ใช่ไหมครับ

[shinn]

การพิสูจน์ว่ามีจำนวน Sierpinski ที่เป็นจำนวนเฉพาะ อยู่เป้นอนันต์ เหมือนจะเสร็จแล้วใช่ไหมครับ
งง...อยู่ๆๆก็จบ 5555++
การพิสูจน์ข้อ 1-3 เป็นการพิสูจน์ว่า มีจำนวน Sierpinski ที่เป็นจำนวนประกอบ อยู่เป้นอนันต์ ใช่ไหมครับ
ต่อมาก็จะแสดงว่า มีจำนวน Sierpinski ที่เป็นจำนวนเฉพาะ อยู่เป้นอนันต์ โดยใช้ Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions .ใช่ไหมครับ

[shinn]

ผมเหลือแค่แสดงว่า gcd(a,$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$) = 1 ใช่ไหมครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
Sierpinski number คือจำนวนเต็มคี่ k ที่ทำให้ k.$2^n$+1 เป็นจำนวนประกอบ สำหรับทุก n

$k$ เป็น จำนวนคี่บวก และ $n$ เป็นจำนวนนับครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
การพิสูจน์ข้อ 1-3 เป็นการพิสูจน์ว่า มีจำนวน Sierpinski ที่เป็นจำนวนประกอบ อยู่เป้นอนันต์ ใช่ไหมครับ

ไม่ใช่ครับ การพิสูจน์ข้อ 1-3 ที่ให้ไว้ตั้งแต่แรกนั้น เป็นการพิสูจน์การมีอยู่เป็นอนันต์ของ Sierpinski number โดยไม่ได้คำนึงถึงว่ามันเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบเลยครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
ผมเหลือแค่แสดงว่า gcd(a,$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$) = 1 ใช่ไหมครับ

ไม่ใช่ครับ ต้องเป็น $\gcd(a,F_0F_1F_2F_3F_4F_5)=1$ ซึ่งง่ายมากเพราะเป็นผลโดยตรงจากวิธีที่เราสร้าง $a$ ขึ้นมาครับ

อันที่ผมไม่ตอบคือคิดว่าถูกแล้วครับ

[shinn]

พี่ครับมีตัวอย่างของ Sierpinski number ( h )
กรณี h เป็นจำนวนประกอบ
กรณี h เป็นจำนวนเฉพาะ

ใหมครับ


ปล. แสดงว่า ข้อ1 -3 แสดงแค่ว่า จำนวน Sierpinski มีอยู่เป็นอนันต์ เท่านั้น ใช่ไหมครับ
แล้วถ้าจะแสดง ว่า h ที่เป็นจำนวนประกอบ มีอยูเป็นอนันต์ ก็ใช้ อะไรต่อครับ
ถ้าจะแสดงว่า h ที่เป็นจำนวนเฉพาะ มีอยู่เป็นอนันต์ เราจะใช้ Dirichlet's Theorem on primes in Arithmetic Progressions ใช่ไหมครับ ก็คือ แสดงว่า gcd(a;$F_0$.$F_1$.$F_2$.$F_3$.$F_4$.$F_5$)=1 แล้วลำดับที่ได้เป็น จำวน Sierpinski ทั้งหมดแล้วเหรอครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
พี่ครับมีตัวอย่างของ Sierpinski number ( h )
กรณี h เป็นจำนวนประกอบ
กรณี h เป็นจำนวนเฉพาะ

ใหมครับ

เป็นคำถามที่แปลกจัง ไม่เหมือนทุกครั้งที่คุณ shin เคยถาม

จะเอาแบบไหนล่ะครับ Sierpinski number ใดๆก็ได้ หรือต้องเอาที่มาจากการสร้างของเรา ถ้าเอามาจากการพิสูจน์นั่นก็จะมีขนาดใหญ่หน่อยนะ

ที่เหลือเดี๋ยวมาตอบต่อทีหลังเด้อ

[shinn]

เอาแบบไหนก็ได้ครับ เผื่อดูตัวอย่างแล้วจะได้เข้าใจการพิสูจน์มากขึ้นครับ แน่ๆๆ อาจารย์ต้องให้ยกตัวอย่างตอนนำเสนอครับ ขอบคุณครับ
ปล. อย่างลืมตอบอีกหลายๆๆคำถามที่ถามไปนะครับพี่

[warut]

ไปดูที่นี่ครับ แล้วเช็คดูเองนะว่าตัวไหนเป็น prime ตัวไหนเป็น composite