ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมต้น 2552

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

คุณอาbanker แกล้งตอบผิดซินะครับ

ไม่ได้แกล้งตอบผิด แต่ผิดจริงๆ
(ขอบคุณคุณกระบี่ฯที่ช่วย แต่ผมหนาครับ ไม่กลัวผิด เพราะรู้ว่า ถ้าผิด เดี๋ยวคุณกระบี่ฯก็ต้องเมตตามาช่วยแนะนำให้)


แกล้งตอบผิดไม่ได้หรอก เดี๋ยวเด็กๆจะเรียนรู้ผิดๆไป
(ถ้าผิดเพราะไม่รู้ เพราะเขลา ก็ต้องขออภัยน้องๆหลานๆด้วยครับ)

ผมเองก็มาหาความรู้จากน้องๆหลานๆเหมือนกัน ไม่มีใครแก่เกินที่จะหาความรู้ มิใช่หรือครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ครับผมเองก็อาศัยมาเรียนไปพร้อมกันกับคุณอาbanker
และชาวmc ทุกคนแหละครับ
ป.ล. ของผมไม่หนาเลยครับ ผมบางมากจนเกือบเป็นทรงแมนจูแล้วครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ครับผมเองก็อาศัยมาเรียนไปพร้อมกันกับคุณอาbanker
และชาวmc ทุกคนแหละครับ
ป.ล. ของผมไม่หนาเลยครับ ผมบางมากจนเกือบเป็นทรงแมนจูแล้วครับ

ทรงแมนจูนี่ ทรงหางเปียหรือครับ

[กิตติ]

ข้อ 31.หาค่าของ$\sqrt{x^2-y^2} $ โดย$x,y$สอดคล้องกับ
$x+y+\sqrt{x+y} =132$
$x-y-\sqrt{x-y} =56$
ผมคิดได้$88$
ให้$x+y=A$ และ$x-y=B$ โจทย์ให้หา$\sqrt{AB} $
$A+\sqrt{A}=132 \rightarrow \sqrt{A}=132-A$
$A=132^2-2(132)A+A^2$
$A^2-265A+132^2=0$....ได้$A=144,121 $ ค่าที่ใช้ได้คือ$121$
$B^2-113B+56^2=0$
แก้สมการได้$B=64,49$..ค่าที่ใช้ได้คือ$B=64$
ดังนั้น$\sqrt{AB} = 11.8 =88$

[banker]

$a = 3^{60} = (3^4)^{15} = 81^{15}$

$b = 5^{45} = (5^3)^{15} = 125^{15}$

$c = 6^{45} = (6^3)^{15} = 216^{15}$

$d = 7^{30} = (7^2)^{15} = 49^{15}$

เรียงจากมากไปหาน้อย $c > b > a > d$

ตอบขัอ 4

[กิตติ]

ข้อ34...$100.1!+99.2!+98.3!+97.4!+...+1.100!$ หารด้วย5 เหลือเศษ$a$
ตั้งแต่พจน์$5!$ไปจนถึง$100!$มี5เป็นตัวร่วมในแฟคทอเรียลดังนั้นจึงหารด้วย5ลงตัว เศษจึงเกิดจากการหาร$100.1!+99.2!+98.3!+97.4!$ด้วย5
$(95+5).1!+(95+4).2+(95+3).6+(95+2).24$
เศษที่เหลือเท่ากับ$4\times 2+3\times6+2\times24 =8+18+48 =74$
ได้เศษเท่ากับ$4$ ดังนั้น$a=4$
หาร$2^{24}$ด้วย$17$เหลือเศษ $b$.....คิดแบบไม่ใช้modให้ดูก่อน...ทวินามอีกแหละครับ
$2^{24} =(2^6)^4 =(64)^4 = (3(17)+13)^4$
เหลือเศษ$13^4 = (169)^2 =(9(17)+16)^2$
เหลือเศษ$16^2 =256$ หารด้วย$17$เหลือเศษเท่ากับ$1$
ใช้Modเช็ค $2^{17-1}\equiv 1 \pmod{17} \rightarrow 2^{16} \equiv 1 \pmod{17} $ ดังนั้น $2^{24}\equiv 2^8 \pmod{17} $
$2^6 \equiv 13 \pmod{17} \rightarrow 2^8 \equiv 13.4 \pmod{17} \rightarrow 2^8 \equiv 1 \pmod{17} $....ตรงกัน

ค่าของ$a^2+b^2= 17$

[banker]

ให้ $a$โอห์ม เป็นความต้านทาน $b$ เป็นความยาว $d$เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง (หน่วยเป็นเซนติเมตร) จะได้สมการ

$a= \dfrac{k_1l}{k_2d^2}$

แทนค่า

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{\dfrac{k_1l_1}{k_2d_1^2}}{\dfrac{k_1l_2}{k_2d_2^2}} = \dfrac{\dfrac{k_1\cdot 600}{k_2(0.25)^2}}{\dfrac{k_1\cdot900}{k_20.35^2}} = \dfrac{98}{75}$

ตอบ ข้อ 2

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ไม่ได้แกล้งตอบผิด แต่ผิดจริงๆ
(ขอบคุณคุณกระบี่ฯที่ช่วย แต่ผมหนาครับ ไม่กลัวผิด เพราะรู้ว่า ถ้าผิด เดี๋ยวคุณกระบี่ฯก็ต้องเมตตามาช่วยแนะนำให้)


แกล้งตอบผิดไม่ได้หรอก เดี๋ยวเด็กๆจะเรียนรู้ผิดๆไป
(ถ้าผิดเพราะไม่รู้ เพราะเขลา ก็ต้องขออภัยน้องๆหลานๆด้วยครับ)

ผมเองก็มาหาความรู้จากน้องๆหลานๆเหมือนกัน ไม่มีใครแก่เกินที่จะหาความรู้ มิใช่หรือครับ

ผมผ่านหูผ่านตาข้อความดีๆแบบนี้ไปได้ยังไงครับ
หายากครับ คนที่ผ่านร้อนผ่านหนาวมานาน ยิ่งถ้าผ่านตำแหน่งแห่งอำนาจราชศักดิ์แล้ว อัตตาสูงจริงๆ เห็นมามากแล้วครับ. นับวันจะเห็นคนที่ผ่านร้อนผ่านหนาวแล้วยิ่งถ่อมตนมีน้อยยิ่งกว่าน้อยเลยครับ...ยกนิ้วให้ครับป๋า ขอเรียกว่าป๋าด้วยความเคารพ...ผมว่าป๋าน่าจะเป็นคนลำปางนะครับ เขาพูดๆกันว่า...คนลำปางเวลาพูดจะลงท้ายด้วยหนา....จริงๆหนา

[กิตติ]

ข้อ2....ถ้ารู้และเรียนเรื่องอนุกรมเรขาคณิตแล้วคงจะตอบได้เลย...จริงๆเรียนในมัธยมปลาย.
..ขอเอาวิธีแบบม.ต้นที่ป๋าBankerชอบใช้มาตอบ
$F(x)=(1-x+x^2-x^3+...+x^{100})(1+x+x^2+...+x^{100})$
$S=1-x+x^2-x^3+...+x^{100}$.........(1)
$xS= x-x^2+x^3-x^4+...+x^{101} $...........(2)
(1)+(2);$(1+x)S= 1+x^{101}$
$S=\dfrac{1+x^{101}}{1+x} $

$M=1+x+x^2+...+x^{100}$..........(3)
$(-x)M = -x-x^2-x^3-...-x^{101}$..........(4)
(3)+(4);$(1-x)M = 1-x^{101}$
$M = \dfrac{1-x^{101}}{1-x} $

$F(x)= S.M = \dfrac{1+x^{101}}{1+x} \times \dfrac{1-x^{101}}{1-x}$
$F(x)= \dfrac{1-x^{202}}{1-x^2} $

ในตัวเลือกข้อ1และ2...ไม่ใช่
ลองดูตัวเลือก 3....
$N= 1+x^2+x^4+...+x^{200}$.....(5)
$(-x^2)N= -x^2-x^4-...-x^{202}$.........(6)
(5)+(6);$(1-x^2)N= 1-x^{202}$
$N=\dfrac{1-x^{202}}{1-x^2} $.....ตรงตามที่ต้องการ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

18.

$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + 98^5 + 99^5$

หลักหน่วยมีค่าเหมือน

$1^1 + 2^1 + 3^1 + ... + 98^1 + 99^1$

$\therefore n(n+1)/2$

= $99(99+1)/2$

= 4950

ตอบหลักหน่วย 0 ข้อ 1

เสนอวิธีคิด อีกทาง ใช้เอกลักษณ์ $a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$ + modulo เล็กน้อย โดยการจับคู่ 99,1 98,2 97,3 ..... 49,51 50

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมผ่านหูผ่านตาข้อความดีๆแบบนี้ไปได้ยังไงครับ
หายากครับ คนที่ผ่านร้อนผ่านหนาวมานาน ยิ่งถ้าผ่านตำแหน่งแห่งอำนาจราชศักดิ์แล้ว อัตตาสูงจริงๆ เห็นมามากแล้วครับ. นับวันจะเห็นคนที่ผ่านร้อนผ่านหนาวแล้วยิ่งถ่อมตนมีน้อยยิ่งกว่าน้อยเลยครับ...ยกนิ้วให้ครับป๋า ขอเรียกว่าป๋าด้วยความเคารพ...ผมว่าป๋าน่าจะเป็นคนลำปางนะครับ เขาพูดๆกันว่า...คนลำปางเวลาพูดจะลงท้ายด้วยหนา....จริงๆหนา

ขอบคุณครับ คุณกิตติชมซะตัวลอย

[banker]

มาต่ออีกข้อครับ



$\dfrac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}} = \dfrac{(a^{4x})^2-a^{4x}+1}{a^{4x}}$ ....(*)

แทนค่า $a^{4x} = 3 - 2\sqrt{2} $ จะได้

$\dfrac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}} = \dfrac{(3 - 2\sqrt{2})^2-(3 - 2\sqrt{2})+1}{3 - 2\sqrt{2}}$

$= \dfrac{17-12\sqrt{2} -3+2\sqrt{2}+1} {3-2\sqrt{2} }$


$= \dfrac{15-10\sqrt{2} }{3-2\sqrt{2} } = \dfrac{5(3-2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})} = 5$


ตอบ ข้อ 3

ที่มาของบรรทัด ....(*)


$\dfrac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}} = \dfrac{a^{6x}+\frac{1}{a^{6x}}}{a^{2x}+\frac{1}{a^{2x} }} = \dfrac{(a^{12x}+1)a^{2x}} {a^{6x}(a^{4x}+1)} = \dfrac{a^{12x}+1} {a^{4x}(a^{4x}+1)}$

$=\dfrac{(a^{4x+1})(a^{8x}-a^{4x}+1)}{a^{4x}(a^{4x}+1)} = \dfrac{a^{8x}-a^{4x}+1}{a^{4x}}$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มาต่ออีกข้อครับ


$\dfrac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}} = \dfrac{(a^{4x})^2-a^{4x}+1}{a^{4x}}$ ....(*)

แวะผ่านมา ไม่ได้เข้ามาชมเพราะกลัวลอยไปติดเครื่องบิน เดี๋ยวพาไปไหนต่อไหนไม่กลับมาตอบกระทู้ชาว MC จะเหงาแย่เลย เข้าเรื่องดีกว่า เห็นวิธีที่ทำเข้าใจว่าท่าน สว. คงลืมวิธีนี้ครับ มาช่วยเตือนความจำ

$\dfrac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}} = \dfrac{(a^{2x})^3+(a^{-2x})^3}{a^{2x}+a^{-2x}}=a^{4x}-1+a^{-4x}= 3 - 2\sqrt{2}-1+3 + 2\sqrt{2}= 5$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

แวะผ่านมา ไม่ได้เข้ามาชมเพราะกลัวลอยไปติดเครื่องบิน เดี๋ยวพาไปไหนต่อไหนไม่กลับมาตอบกระทู้ชาว MC จะเหงาแย่เลย เข้าเรื่องดีกว่า เห็นวิธีที่ทำเข้าใจว่าท่าน สว. คงลืมวิธีนี้ครับ มาช่วยเตือนความจำ

$\dfrac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}} = \dfrac{(a^{2x})^3+(a^{-2x})^3}{a^{2x}+a^{-2x}}=a^{4x}-1+a^{-4x}= 3 - 2\sqrt{2}-1+3 + 2\sqrt{2}= 5$

ผมว่าแล้ว การตอบกระทู้ แค่ใส่คำตอบอย่างเดียวคงไม่พอ

เพราะถ้าแสดงวิธีทำแบบถึกๆ ก็จะมีท่านผู้รู้มาช่วยแนะนำวิธีที่ดีกว่า สวยงามกว่า ทำให้ได้ความรู้เพิ่มเติม

ว่าไหมครับ


ขอบคุณท่านหยินหยางอีกครั้ง ที่ให้ความเมตตามาโดยตลอด
(วิธีนี้ ลืมไปได้ยังไง)

[Siren-Of-Step]

ลืมข้อ 36 ไปได้อย่างไรกัน
กำหนดให้ $a=\sqrt{3}+ \dfrac{4-2\sqrt{3} }{\sqrt[3]{10-6\sqrt{3} } } $
ค่าของ $a^6+a^3+1 = ?$

จัดรูปได้ $a= \dfrac{1-\sqrt{3} }{1-\sqrt{3} } = 1$
$a^6+a^3+1 = 3 $