โจทย์หัดเเต่งเองครับ

[PP_nine]

เห็นมึนกับข้อ 8 งั้นมาเฉลยให้ก่อนละกัน ข้อนี้ไม่ได้ใช้ของหนักหรอก

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

8. $a,b,c>0$ สำหรับจำนวนจริง $n>2$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+nbc} \le \frac{3}{1+n}$$

สังเกตว่า $$\frac{1}{n}-\frac{bc}{a^2+nbc}=\frac{1}{n} \cdot \frac{a^2}{a^2+nbc}$$ จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+nbc} \ge \frac{3}{1+n}$$ (คาดว่าน่าจะทดเลขผิดตรงนี้) ซึ่งโดย Cauchy-Schwarz (modified) กับ LHS ได้ $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+nbc} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca)}$$ พิจารณาตัวส่วน $$a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2+\left(\,\frac{n-2}{3}\right) (ab+bc+ca)+\left(\,\frac{2n+2}{3}\right) (ab+bc+ca)$$ $$a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca) \le a^2+b^2+c^2+\left(\,\frac{n-2}{3}\right) (a^2+b^2+c^2)+\left(\,\frac{2n+2}{3}\right) (ab+bc+ca)$$ $$a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca) \le \left(\,\frac{n+1}{3}\right) (a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))$$ ซึ่งพอกลับเศษส่วนแล้วจึงตัดกับตัวบน เหลือเพียง $\frac{3}{1+n}$ ยังไงล่ะครับๆ

ปล. ที่ต้องใช้ $n>2$ ก็เพื่อการนี้เหละครับ ส่วนกรณี $n=2$ ก็ไม่ต้องทำอะไร แค่ตัดกันไปเลย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le \frac{3}{2}$

$a=3,b=2,c=1$

[PP_nine]

ขอเคลียร์โจทย์ของคุณ LightLucifer เลยละกัน

แต่วิธีอาจจะดูถึกไปหน่อย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#57 ผมว่าบรรทัดที่ 2 มันยังไงๆอยู่นะครับ
ข้อของผมบ้าง วันนี้กลับมาลุยอสมการสักวัน ^^

ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=3$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}+\frac{1}{5z^3+z} \ge \frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y}= \frac{(1/x)^2}{5x+(1/x)}+\frac{(1/y)^2}{5y+(1/y)}$$ โดย Caucht-Schwarz (modified) ได้ว่า $$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{(1/x+1/y)^2}{5x+5y+1/x+1/y}=\frac{x+y}{(xy)(5xy+1)}$$ AM-GM กับก้อนบนได้ $$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{(xy)(5xy+1)}=\frac{2}{\sqrt{xy}(5xy+1)}$$ พิสูจน์ได้ไม่ยากว่าสำหรับจำนวนจริงบวก $a$, $$\frac{2}{\sqrt{a}(5a+1)} \ge -\frac{4}{9} a +\frac{7}{9}$$ ดังนั้น $$\frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge -\frac{4}{9} xy +\frac{7}{9}$$ กลับมาที่โจทย์โดย Power mean (คู่กับ $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=3$) ได้ว่า $xy+yz+zx \le 3$ และอสมการก็คือ $$\frac{1}{2} \sum_{cyc} \frac{1}{5x^3+x} +\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{1}{2} \left(\, -\frac{4}{9}(xy+yz+zx)+3\cdot\frac{7}{9}\right) $$ แต่เนื่องจาก $xy+yz+zx \le 3$ จึงได้ว่า $$\sum_{cyc} \frac{1}{5x^3+x} \ge \frac{1}{2} \left(\, -\frac{4}{9}(3)+\frac{7}{3}\right) =\frac{1}{2}$$ ปล. ถ้าอยากรู้ว่าตรงบรรทัดที่ 4 ได้มายังไง ก็ต้องใช้อนุพันธ์ให้เป็นครับ สมการเกิดเมื่อ $x=y=z=1$

[LightLucifer]

กด LIKE เลยครับวิธีนี้
โจทย์ซีรี่ส์นี้ยังไม่จบครับ

ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $4(xyz)^4=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+1$
จงพิสูน์ว่า
$$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}+\frac{1}{5z^3+z} \ge \frac{1}{2}$$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

7. $a,b,c>0$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+2bc} \le 1$$

$$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+2bc} \le 1 \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{2bc}{a^2+2bc}\leqslant 2 \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+2bc}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2} =1 $$ เป็นจริงโดยอสมการโคชี Engel Form

[LightLucifer]

ขอโทษอย่างรุนแรงครับ !!!
ผมพิมพ์โจทย์ผิดไปหน่อย ขออภัยครับ T_T

[PP_nine]

มาเฉลยให้ข้อนึงก่อนละกัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

11. จำนวนนับ $n,m$ ซึ่ง $n>m$ และจำนวนจริงบวก $a,b,c$ โดยที่ $a^n+b^n+c^n \ge a^m+b^m+c^m$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^n+b^n+c^m}{a^m+b^m+c^n}} \ge 3$$

$$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^n+b^n+c^m}{a^m+b^m+c^n}} = \sum_{cyc} \frac{a^n+b^n+c^m}{\sqrt{a^m+b^m+c^n} \cdot \sqrt{a^n+b^n+c^m}}$$ AM-GM ส่วนล่างได้ $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^n+b^n+c^m}{a^m+b^m+c^n}} \ge 2 \sum_{cyc} \frac{a^n+b^n+c^m}{a^m+b^m+c^n + a^n+b^n+c^m}$$ จัดรูปดีๆเป็น $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^n+b^n+c^m}{a^m+b^m+c^n}} \ge \frac{4(a^n+b^n+c^n)+2(a^m+b^m+c^m)}{a^m+b^m+c^m + a^n+b^n+c^n}$$ ฉะนั้น เราจะพิสูจน์แทนด้วย $$ \frac{4(a^n+b^n+c^n)+2(a^m+b^m+c^m)}{a^m+b^m+c^m + a^n+b^n+c^n} \ge 3$$ ซึ่งจริงเพราะสมมูลกับ $a^n+b^n+c^n \ge a^m+b^m+c^m$

ส่วนเงื่อนไขการเกิดสมการนั้นนอกจาก $a=b=c$ แล้ว ยังมีจุดหนึ่งที่บอกว่า $a^n=a^m$

แต่จาก $n>m$ จึงสรุปได้ว่า $a=b=c=1$ เท่านั้น จึงจะเกิดสมการ

[จูกัดเหลียง]

#63 ช่วยอธิบายวิธีดิฟของพี่ (รุ่นเดียวกับ LightLucifer ใช่ป่ะครับ) PP_nine ให้หน่อยนะครับ
ขอบคุณล่วงหน้าเลยครับ

[PP_nine]

รุ่นเดียวกัน(อย่างมาก)ครับ เพราะถือว่าเรียนเร็วไปปีนึงเหมือนกันเลย

ส่วนเทคนิคนี้อาจเรียนว่าเป็น tangent line ก็ได้ครับ เพราะอสมการที่เราได้นั้นมันเกิดจากเส้นสัมผัส

ลองดูตัวอย่างรูปภาพดูครับ คลิ๊กๆๆๆ

วิธีทำก็คือ ลองดูว่าสมการมันเกิดเมื่อไหร่ (ในที่นี้เกิดเมื่อ $x=1$) แล้วพิจารณาเส้นสัมผัส ณ จุดนั้น

โดยการจะดูว่ามันใช้ได้หรือไม่ ต้องดูที่ความเป็นฟังก์ชันนูนครับ

อย่างที่ผมใช้ชัดเจนเลยว่า $f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}(5x+1)}$ เป็นฟังก์ชันลดโดยแท้ ก็น่าจะเป็นฟังก์ชันนูนด้วย

ที่นี้เราก็หาความชัน ณ จุดที่มันเกิดสมการ โดยสร้างเป็น linear function อย่างที่ได้นี้ก็คือ $-\frac{4}{9}x+\frac{7}{9}$ นั่นเอง

เพราะถ้าเราหาความชัน (โดยอนุพันธ์) ได้แล้ว ค่าคงที่อีกตัวก็หาได้ไม่ยากจากที่มันผ่านจุด $(1,\frac{1}{3})$

เวลาเราสรุปจึงบอกได้ว่า สมการเกิดเมื่อไหร่ เท่านั้นเอง

[LightLucifer]

อธิบายยากเนอะ ตามภาพนะ
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cfrac{2}{%5Csqrt{a}%285a%2B1%29}+%3E%3D+-%5Cfrac{4}{9}+a+%2B%5Cfrac{7}{9}

สังเกตุว่า เส้นโค้งมันจะมากกว่าเส้นตรงตลอดโดยจะเท่ากันที่จุดที่ทำให้อสมการเปนสมการใช่ไหมครับ
สมมุติว่าเราต้องการทำกับ $f(x)$ สมมติให้อสมการที่ค่า $x=x_1$
ตอนแรกเราก็ลองติ๊งต่างมาก่อนมามันมีเส้นตรง$p(x)$ที่ทำให้ $f(x) \ge p(x)$
ทีนี้สังเกตุว่ามันสัมผัสที่จุดต่ำสุด เราก็หาความชั้น $f(x)$ ตรงนั้นมาแทนใน $p(x)$ แล้วแทนค่าแก้สมการ $p(x)$ ให้ไดุ้ค่า$p(x_1)$ เป็นค่าที่ทำให้เปนสมการอ่ะ
ทีนี้เราก็ต้องมาพิสูจน์อีกทีว่า $f(x) \ge p(x)$ เนี่ยมันจริงรึป่าว เพราะที่เราหา $p(x)$ มาเนี่ย เราแค่ติ๊งต่างว่ามันจริง ซึ่งในบางกรณีมันก็อาจจะใช้ไม่ได้

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

กด LIKE เลยครับวิธีนี้
โจทย์ซีรี่ส์นี้ยังไม่จบครับ

ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $4(xyz)^4=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+1$
จงพิสูน์ว่า
$$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}+\frac{1}{5z^3+z} \ge \frac{1}{2}$$

HINT

$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{1}{2(xy)^2+1}$

แต่เตือนไว้ก่อนว่าถ้าเปิดดูแล้วหมดสนุกนะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $4(xyz)^4=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+1$
จงพิสูน์ว่า
$$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}+\frac{1}{5z^3+z} \ge \frac{1}{2}$$

ลองวิธีที่ พี่ PP-nineใช้ $a=\frac{1}{x^2},b=\frac{1}{y^2},c=\frac{1}{z^2}$
จะได้เงื่อนไข $a+b+c+abc=4$ $\rightarrow a+b+c\ge 3$
อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{5+a}\ge \frac{1}{2}$$
เเต่ (โดยอนุพันธ์) $$\sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{5+a}\ge \sum_{cyc} \Big(\frac{1}{18}a+\frac{1}{9}\Big)\ge \frac{1}{2}$$
อสมการท้ายสุดได้โดยเงื่อนไข

ปล. ขอบคุณ #69,#70 มากๆเลย

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

5. ให้$a,b,c>0$จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}(\frac{a}{a+b})^3\geqslant \frac{3}{8} $$
6. ให้$a,b,c>0$,$n\in \mathbb{N}$และ$n\not= 1$ จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}(\frac{a}{a+b})^n\geqslant \frac{3}{2^n} $$

ลองทำเเบบ พี่ PP-nine นะครับ
ใช้ $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z$ $\rightarrow xyz=1, x+y+z\ge 3$
จะได้อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \Big(\frac{x}{x+1}\Big)^n\ge \frac{3}{2^n}$$
โดยอนุพันธ์ ทำให้ได้ว่า $$\sum_{cyc} \Big(\frac{x}{x+1}\Big)^n\ge \sum_{cyc}\Big(\frac{n}{2^{n+1}}x+\frac{2-n}{2^{n+1}}\Big)\ge \frac{n+1}{2^n}\ge \frac{3}{2^n}$$
เมื่อ $n\ge 2$ อย่างที่ พี่ noonuii กล่าวไว้

[AnDroMeDa]

มีกรณีไหนที่ดิฟไม่ได้บางไหมครับ หมายถึงกับการแก้อสมการพวกนี้อ่ะนะ(ไม่งั้นก็ดิฟตลอดเลยจิ)
ถ้าfเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้ หา$f'(x)แล้วแทนxณจุดเกิดสมการ>0$แสดงว่าเส้นตรงที่อยากได้อยู่เหนือฟังก์ชันที่ดิฟก็คือ $f(x)\leqslant[f'(x ณ จุดเกิดสมการ)]x+b $
ถ้าfเป็นฟังก์ชันลดโดยแท้$f'(x)แล้วแทนxณจุดเกิดสมการ<0$แสดงว่าเส้นตรงที่อยากได้อยู่ใต้ฟังก์ชันที่ดิฟก็คือ $f(x)\geqslant [f'(x ณ จุดเกิดสมการ)]x+b $
อย่างนี้หรอครับ
ปล.มันเทพจริงอะไรจริง

[PP_nine]

บางอย่างก็ใช้ไม่ได้ครับ อาจเป็นเพราะกราฟตัดกันหลายจุด จึงมีบางช่วงที่มากกว่า บางช่วงน้อยกว่า อสมการก็ไม่เป็นจริง

ส่วนมากถ้ามันจะจริงก็มักจะจัดรูปพหุนามได้ครับ เช่น จัดรูปไปมาจนได้ $(x-3)^2(x^2+x+1) \ge 0$

ซึ่งเป็นจริงเสมอสำหรับจำนวนจริงบวก แล้วสมการก็เกิดเมื่อ $x=3$ นั่นเอง

ส่วนถ้ามีตัวยกกำลังแปลกๆที่ผมทำอย่าง $\sqrt{x}$ เราก็ให้ $\sqrt{x}=a$ จากนั้นก็จัดไปมาก็จะได้ประมาณข้างต้นครับ