Calculus Marathon

[Mr.high]

ข้อ 21 นะคับ
ถ้าเรา integrate แบบ จานก็ได้จะได้
$$\int^{2}_{0}\pi x^2 dy = \int^{2}_{0}\pi y dy $$
$$= 2\pi $$

หรือถ้าเราทำแบบ เปลือกทรงกระบอกก็จะได้
$$ \int^{\sqrt{2}}_{0} 2\pi x(2-x^2)dx = 2\pi$$
ซึ่งได้เท่ากัน
อิอิ

ส่วนข้อ 22 ไม่รู้ว่าผมทำถูกรึป่าวช่วยดูนะคับ
ผมเลือกแทน $$ x= \sqrt{tan \theta}$$
จะได้ว่า $$\int x^5 \arctan(x^2) dx = \int \frac{\theta \tan^2 \theta}{2} d \theta$$
$$=\frac{1}{2} \int \theta (\sec^2 - \theta) d \theta$$
$$= \frac{1}{2} \int \theta d \tan \theta - \frac{1}{4} \theta^2$$
$$=\frac{1}{2} \theta \tan\theta - \frac{1}{2} \int \tan \theta d\theta -\frac{1}{4} \theta^2$$
$$=\frac{1}{2} \theta \tan\theta - \frac{1}{2} ln \sec \theta-\frac{1}{4} \theta^2$$

ดังนั้นเมื่อจำกัดเขตแล้วจะได้คำตอบเป็น
$$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} ln \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi^2}{32}$$

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ Mr.High :
$ \displaystyle{\int x^5 \arctan(x^2)\, dx = \int \frac{\theta \tan^2 \theta}{2}\, d \theta}$

บรรทัดที่ quote มา น่าจะเป็นอย่างนี้นะครับ

$ \displaystyle{\int x^5 \arctan(x^2)\, dx = \int \frac{\theta \tan^2 \theta \sec^2 \theta}{2}\, d\theta}=\frac{1}{2}\int \theta \, d \bigg (\frac{\tan^3 \theta}{3} \bigg )$

[Mastermander]

คำตอบไม่ถูกต้องเลยนะครับ

[Mr.high]

ข้อ 21 รู้สึกว่าผมจะอ่านโจทย์ผิดนะครับ
จากสูตร $$\int^{\sqrt{2}}_{0} 2\pi x \sqrt{ 1+ (\frac{dy}{dx})^2} dx= \int^{\sqrt{2}}_{0} 2\pi x \sqrt{1+4x^2} dx$$
$$ = \frac{\pi }{4} \int^{\sqrt{2}}_{0} \sqrt{1+4x^2} d (1+4x^2)$$
$$ = \frac{2\pi}{12} \sqrt{(1+4x^2)^3} |^{\sqrt{2}}_{0}$$
$$ = \frac{\pi}{6}(\sqrt[3]{9}-1) $$
ข้อ 22
หะหะ โง่อีกแล้ว เด๋วทำใหม่
$$ \frac{1}{6} \int^{1}_{0} \arctan(x^2) d x^6 = \frac{1}{6} x^6\arctan(x^2) -\frac{1}{6} \int^{1}_{0} \frac{x^6}{1+x^4} d x^2 $$
$$= \frac{1}{6} x^6\arctan(x^2)|^{1}_{0} - \frac{1}{3}\int^{1}_{0} \frac{x^7}{1+x^4} dx $$
$$= \frac{1}{6} x^6\arctan(x^2) |^{1}_{0}- \frac{1}{12} \int^{1}_{0} \frac{x^4}{1+x^4}d x^4$$
$$= \frac{1}{6} x^6\arctan(x^2)|^{1}_{0} - \frac{1}{12}\int^{1}_{0} (1- \frac{1}{1+x^4} )dx^4$$
$$= \frac{1}{6} x^6\arctan(x^2)|^{1}_{0} - \frac{1}{12}x^4|^{1}_{0}+ \frac{1}{12}ln(1+x^4)|^{1}_{0}
$$
$$ =\frac{\pi}{24} - \frac{1}{12} + \frac{ln 2}{12} $$


ขอบคุณ คุณ passer-by ด้วยนะครับที่ชี้ในจุดผิดให้
แต่ว่าอันนั้นมันผิดหมดเลย 555

[Mastermander]

21-22 ยังไม่ถูกนะครับ

[M@gpie]

ข้อ 21 ตอบ \( \frac{4\sqrt{8}\pi}{3}\) รึเปล่าครับ ??

[passer-by]

ข้อ 22 ควรจะตอบอย่างนี้นะครับ

$ \frac{\pi}{24}-\frac{1}{12}+\frac{\ln2}{12} $

[Mastermander]

21.ยังไม่มีท่านใดถูกครับ

22. ถูกต้องครับ
$$\frac{\pi}{24}-\frac{1}{12}+\frac{\ln2}{12}$$

[Mr.high]

โทษทีคับรู้สึกผมจะอินทิเกรตผิดอ่ะข้อ 21
ต้องตอบ
$$ \frac{\pi}{6}( \sqrt[3]{9} -1)$$

[Mastermander]

รู้สึกว่าข้อ 21 นี่อาถรรพ์จริงๆ

ยังไม่มีท่านใดตอบถูกเลยครับ


21.จงหาพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง y = x^2 จาก x= 0\, \ ถึง\; x = \sqrt 2 โดยหมุนรอบแกน y

คำตอบที่ไม่ถูกต้อง

$$\frac{\pi}{6}( \sqrt[3]{9} -1),\frac{4\sqrt{8}\pi}{3},2\pi$$

[Mr.high]

รู้สึกว่าพลาดโง่ๆซะแล้ว ป่วนบอร์ดนี้ซะวุ่นวายไปหมดอิอิ
$$ \frac{\pi}{6} \sqrt{(1+4x^2)^3} |^{\sqrt{2}}_{0} $$
$$= \frac{\pi}{6} ( \sqrt{(1+4 \sqrt{2}^2)}^3 -1)$$
$$=\frac{\pi}{6} (27-1)$$
$$= \frac{13\pi}{3}$$

[Mastermander]

ถูกต้องแล้วคร้าบบบ

ตั้งข้อใหม่เลยครับ

[M@gpie]

555 ห่างเหินไปนาน สนิมขึ้นซะแล้ว

[Mr.high]

ข้อ 23
จงหาค่าของ
$$
lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2} )
$$

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Mr.high:
ข้อ 23
จงหาค่าของ
$$
lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2} )
$$

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\sum_{k=1}^n\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+k^2}=0$$
Edit ซึ่งผิด 100% แต่ทำไมจึงสลับผลรวมกับลิมิตในกรณีนี้ไม่ได้