marathon:ม.ปลาย

[poper]

$y=x^x$
$lny=xlnx$
$(lny)'=(xlnx)'$
$\frac{1}{y}(\frac{dy}{dx})=x\bullet \frac{1}{x}+lnx$
$\frac{dy}{dx}=y(1+lnx)$
$y'=x^x(1+lnx)$

[poper]

อนุพันธ์อันดับที่ n ของ $y=\frac{x^2}{1-x}$ คือเท่าใด
กลัวเหงาต่อเลยละกันครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ก็ลองหาอนุพันธ์อันดับ1,2,3,4,...แล้วอุปนัยแล้วกันน่ะครับ
ด้วยว่า$f(x)=\frac{x^2}{1-x}$
$f^2(x)=\frac{(1-x)(2x)-(x^2)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{2x-x^2}{(1-x)^2} $
$f^3(x)=\frac{(1-x)^2(2-2x)-(2x-x^2)2(1-x)(-1)}{(1-x)^4}=\frac{2(x^3-2x^2+1)}{(1-x)^4} $
ใครช่วยทำต่อทีครับ

[miny]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

อนุพันธ์อันดับที่ n ของ $y=\frac{x^2}{1-x}$ คือเท่าใด
กลัวเหงาต่อเลยละกันครับ

แปลงรูป $y=\frac{x^2}{1-x}=\frac{1}{1-x}-(1+x)$ ก่อน แล้วค่อยหาอนุพันธ์ จะง่ายขึ้นกว่าเดิมเยอะ

[ไม่ค่อยเก่ง]

ต่อเลยนะครับ จงเขียนเศษส่วน $\frac{3}{ 2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ โดยไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ที่ตัวส่วน

[~ArT_Ty~]

$\frac{3+\sqrt{6}+2\sqrt{3} }{6}$ ครับ

[MiNd169]

ผมว่า $\frac{3 + 2\sqrt{3} - \sqrt{21}}{4}$ นะครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

อนุพันธ์อันดับที่ n ของ $y=\frac{x^2}{1-x}$ คือเท่าใด
กลัวเหงาต่อเลยละกันครับ

ไม่มีใครคิดคำตอบเลยเหรอครับ
ส่วนข้อของคุณไม่ค่อยเก่งผมได้เท่ากับคุณ MiNd169 ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ miny

แปลงรูป $y=\frac{x^2}{1-x}=\frac{1}{1-x}-(1+x)$ ก่อน แล้วค่อยหาอนุพันธ์ จะง่ายขึ้นกว่าเดิมเยอะ

เงียบนานเฉลยเลยแล้วกัน
$y=\frac{1}{1-x}-(1+x)={(1-x)}^{-1}-(1+x)$
$y'=1{(1-x)}^{-2}-1$
$y''=1\cdot 2{(1-x)}^{-3}$
$y'''=1\cdot 2\cdot 3{(1-x)}^{-4}$
ดังนั้น $y^n=\frac{n!}{{(1-x)}^{n+1}} ,n>1$
$\ \ \ \ \ \ \ \ ={(1-x)}^{-2}-1 ,n=1$

[poper]

ต่อครับ
จงหาค่าของ $x^4-x^2+6x-4$ เมื่อ $x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$

[-InnoXenT-]

$x=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-x+1=0$

$x^4-x^2+6x-4 = (x^4-x^3+x^2)+x^3-2x^2+6x-4$

$= x^2(x^2-x+1)+x(x^2-x+1)-x^2+5x-4$

$= x^2(x^2-x+1)+x(x^2-x+1)-(x^2-x+1)+4x-3$

$= 4x-3$

$= 2+2i\sqrt{3}-3 = -1+2i\sqrt{3}$

ข้อต่อไป

จงหาลิมิตของลำดับอนันต์ต่อไปนี้

$(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}),(\frac{1+2^2}{8}-\frac{1}{3}),(\frac{1+2^2+3^2}{18}-\frac{1}{2}),(\frac{1+2^2+3^2+4^2}{32}-\frac{2}{3}),...$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ลำดับคือ $\frac{1+2^2+3^2+...+n^2}{2^{n+1}} -\frac{n}{6} $
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(2^{n+1)}} -\frac{n}{6} $
เข้าใกล้ $-\infty $ น่ะครับ
ถามต่อครับ $-2\leqslant sinx+cosx\leqslant 2$
ประโยคนี้จริงหรือเท็จครับ

[tongkub]

เป็นเท็จหรือเปล่าครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ครับผมก็ว่าเป็นเท็จ
แต่ลูกศิษย์ผมบอกว่า อาจารย์เขาเฉลยว่าจริง(อาจารย์ติดยศ ผศ.ด้วยนะครับ)
จึงอยากขอความเห็นจากชาวmc มาช่วนกันยืนยันครับ
ขอเชิญมาช่วยกันชี้แจงความจริงด้วยครับ

[tongkub]

ผมทำอย่างนี้น่ะครับ

$ -2 \leqslant sinx + cosx \leqslant 2 $

$ -\sqrt{2} \leqslant sin(x + \frac{\pi}{4}) \leqslant \sqrt{2}$

ซึ่ง sinx อยู่ในช่วง -1 ถึง 1 เสมอ

ซึ่งก็น่าจะเป็นเท็จนะครับ