โจทย์บางข้อของกสพท.ปี2553

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

อ๊ากกก

คิดใหม่ได้คำตอบ $8log2-2log5-5log3+3$
ชี้แนะอีกทีครับ

[Amankris]

@#76

ลองพิมพ์ solution มาใหม่นะครับ

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

ผมคงรั่วเอามากเลยสินะครับ

$2log2+log5+7log15-7log16+5log24-5log25+3log80-3log81$
$2log2+log5+7log5+7log3-28log2+15log2+5log3-10log5+9log2+3-12log3$
$3-2log5-2log2$
$-[(log5^2+log2^2)-3]$
$-(2-3)$
$=1$

คำตอบเปลี่ยนเรื่อยเลย
ชี้แนะด้วยครับ

[Amankris]

@#78

ยินดีด้วยครับ ถูกแล้วครับ

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

ขอบคุณครับ
กว่าจะได้ ลายตามากเลย

[lek2554]

ให้น้องดุ๊กดิ๊กคุง เอาไปอีกวิธี
$log20+7log\frac{15}{16}+5log\frac{24}{25}+3log\frac{80}{81}$

=$log20+log\left(\dfrac{15}{16}\right)^7 +log\left(\dfrac{24}{25}\right)^5 +log\left(\dfrac{80}{81}\right)^3$

=$log\left[20\left(\dfrac{15}{16}\right)^7\left(\dfrac{24}{25}\right)^5\left(\dfrac{80}{81}\right)^3\right] $

แล้วลองทำต่อโดยแยกตัวประกอบ แล้วใช้กฎของเลขยกกำลังนะครับ

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ให้น้องดุ๊กดิ๊กคุง เอาไปอีกวิธี
$log20+7log\frac{15}{16}+5log\frac{24}{25}+3log\frac{80}{81}$

=$log20+log\left(\dfrac{15}{16}\right)^7 +log\left(\dfrac{24}{25}\right)^5 +log\left(\dfrac{80}{81}\right)^3$

=$log\left[20\left(\dfrac{15}{16}\right)^7\left(\dfrac{24}{25}\right)^5\left(\dfrac{80}{81}\right)^3\right] $

แล้วลองทำต่อโดยแยกตัวประกอบ แล้วใช้กฎของเลขยกกำลังนะครับ

ขอบคุณเช่นกันครับ
วิธีนี้ลายตาน้อยกว่า

[PaoBunJin]

ขอขุดกระทู้นิดนะครับ พอดีเข้ามาหาโจทย์เลข กสพท
เสนอวิธีคิดอีกวิธีของข้อ 9 ครับ

$\frac{\sin(9x)+6\sin(7x)+17\sin(5x)+12\sin(3x)}{\sin(8x)+5\sin(6x)+12\sin(4x)}$

$=\frac{(\sin(9x)+\sin(7x))+5(\sin(7x)+\sin(5x))+12(\sin(5x)+\sin(3x)}{\sin(8x)+5\sin(6x)+12\sin(4x)}$

$=\frac{2\sin(8x)\cos(x)+5(2)\sin(6x)\cos(x)+12(2)\sin(4x)\cos(x)}{\sin(8x)+5\sin(6x)+12\sin(4x)}$

$=\frac{(2\cos(x))(\sin(8x)+5\sin(6x)+12\sin(4x))}{\sin(8x)+5\sin(6x)+12\sin(4x)}$

$=2\cos(x)$

อยากได้ข้อสอบฉบับเต็มครับ ใครมีบ้าง

[แม่ให้บุญมา]

มีคนมาเพิ่งมาบอกผม ว่ามีให้ download อยู่ที่
http://www.unigang.com/Article/5416 คืออันล่างนี้ครับ
http://files.unigang.com/pic/2587.pdf
มี 25 ข้อ 5 หน้าด้วยกัน ช่วยกันเฉลยต่อเป็นวิทยาทานให้เด็กกันดีไหมครับ ผมดูแล้วยากพอสมควร

[Relaxation]

ข้อ 22 . จำนวนเต็ม a,b,c หารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 1,3,5 ตามลำดับ ข้อใดต่อไปนี้ หารด้วย 7 แล้วเหลือเศษมากที่สุด

1. $a^2+b^2+c^2$
2. $-a^2+b^2+c^2$
3. $a^2-b^2+c^2$
4. $a^2-b^2-c^2$
5. $-a^2-b^2+c^2$

วิธีทำ
จากสิ่งที่โจทย์บอก จะได้ว่า $a\equiv 1(mod7)$ , $b\equiv 3(mod7)$ และ $c\equiv 5(mod7)$
จะได้ว่า
$a^2\equiv 1^2(mod7)\equiv 1(mod7)$________________(1)
$b^2\equiv 3^2(mod7)\equiv 9(mod7)\equiv 2(mod7)$______(2)
$c^2\equiv 5^2(mod7)\equiv 25(mod7)\equiv 4(mod7)$_____(3)
จาก
ตัวเลือกที่ 1. นำ (1)+(2)+(3) ได้ $a^2+b^2+c^2 \equiv 1+2+4(mod7)\equiv 7(mod7)\equiv 0(mod7)$ ก็คือ เหลือเศษ = 0
ตัวเลือกที่ 2. นำ -(1)+(2)+(3) ได้ $-a^2+b^2+c^2 \equiv -1+2+4(mod7)\equiv 5(mod7)$ ก็คือ เหลือเศษ = 5
ตัวเลือกที่ 3. นำ (1)-(2)+(3) ได้ $a^2-b^2+c^2 \equiv 1-2+4(mod7)\equiv 3(mod7)$ ก็คือ เหลือเศษ = 3
ตัวเลือกที่ 4. นำ (1)-(2)-(3) ได้ $a^2-b^2-c^2 \equiv 1-2-4(mod7)\equiv -5(mod7)\equiv 2(mod7)$ ก็คือ เหลือเศษ = 2
ตัวเลือกที่ 5. นำ -(1)-(2)+(3) ได้ $-a^2-b^2+c^2 \equiv -1-2+4(mod7)\equiv 1(mod7)$ ก็คือ เหลือเศษ = 1
$\therefore$ ข้อที่หารด้วย 7 แล้วเหลือเศษมากที่สุด คือ ตัวเลือกที่ 2 ครับ

ปล. ผิดพลาดตรงไหนขออภัยด้วยนะครับ

[banker]

ข้อ 22 . จำนวนเต็ม a,b,c หารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 1,3,5 ตามลำดับ ข้อใดต่อไปนี้ หารด้วย 7 แล้วเหลือเศษมากที่สุด

ข้อนี้ผมทำแบบนี้ครับ

จำนวนเต็ม a,b,c หารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 1,3,5 ตามลำดับ

จะได้ว่า a = 1, b=3, c = 5

แทนค่าแต่ละตัวเลือกแล้ว ได้ว่า

ตัวเลือกที่1 หารด้วย 7 ลงตัว เศษ = 0

ตัวเลือกที่2 หารด้วย 7 ลงตัว เศษ = 5

ตัวเลือกที่3 หารด้วย 7 ลงตัว เศษ = 3

ตัวเลือกที่4 หารด้วย 7 ลงตัว เศษ = -5

ตัวเลือกที่5 หารด้วย 7 ลงตัว เศษ = 1

ตอบตัวเลือกที่ 2

เอาง่ายๆแบบนี้แหละครับ ไม่เสียเวลาทำมาก

[แม่ให้บุญมา]

9. ในงานเลี้ยงสังสรรค์มีคนเข้าร่วมงาน 50 คน โดยแต่ละคนจะจับมือทักทายกับคนอื่นได้เพีง 3 คนเท่านั้น จงหาว่าในงานเลี้ยงนี้จะมีการจับมือเกิดขึ้นทั้งหมดกี่ครั้ง

วิธีทำ

My_Solution

จำนวนครั้งของการจับมือเกิดขึ้น
$=\frac {3n}{2}=\frac {3 \times 50}{2}=75$
(จินตนาการเป็นรูป 50 เหลี่ยม ที่มีเส้นทะแยงมุมลากผ่านจุดศูนย์กลางของรูปเหลี่ยมนี้ ซึ่งมีจำนวนเส้นทั้งหมดเท่ากับ 75 เส้น ได้แก่ 50 ด้าน และเส้นทแยงมุม อีกครึ่งหนึ่งคือ 25 เส้น แต่ละเส้นใช้แทนการจับมือกันระหว่างคนสองคน และแต่ละจุดหรือตำแหน่งของคน จะมีเส้นเชื่อมไปยังจุดอื่นๆ 3 เส้น แทนการจับมือกับอีก 3 คน
จำนวนครั้งของการจับมือนี้จะเท่ากับจำนวนเส้นทั้งหมดเหล่านี้ = 75
หมายเหตุ โจทย์เช่นนี้ใช้ได้กับจำนวนคนตั้งแต่ 4 คนขึ้นไปและเป็นจำนวนคู่เท่านั้น)

[แม่ให้บุญมา]

6. จงหา \[{{f}^{-1}}(x)\] เมื่อ \[f(x)=\frac{{{10}^{x}}+{{10}^{-x}}}{{{10}^{x}}-{{10}^{-x}}}\]

My_Solution

วิธีทำ
\[\begin{align}
& f(x)=\frac{f(x)}{1}=\frac{{{10}^{x}}+{{10}^{-x}}}{{{10}^{x}}-{{10}^{-x}}}\Rightarrow \frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{{{10}^{x}}}{{{10}^{-x}}}={{10}^{2x}}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\log \frac{f(x)+1}{f(x)-1}\Rightarrow {{f}^{-1}}(x)=\frac{1}{2}\log \frac{x+1}{x-1} \\
& \\
\end{align}\]

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

9. ในงานเลี้ยงสังสรรค์มีคนเข้าร่วมงาน 50 คน โดยแต่ละคนจะจับมือทักทายกับคนอื่นได้เพีง 3 คนเท่านั้น จงหาว่าในงานเลี้ยงนี้จะมีการจับมือเกิดขึ้นทั้งหมดกี่ครั้ง

วิธีทำ

My_Solution

จำนวนครั้งของการจับมือเกิดขึ้น
$=\frac {3n}{2}=\frac {3 \times 50}{2}=75$
(จินตนาการเป็นรูป 50 เหลี่ยม ที่มีเส้นทะแยงมุมลากผ่านจุดศูนย์กลางของรูปเหลี่ยมนี้ ซึ่งมีจำนวนเส้นทั้งหมดเท่ากับ 75 เส้น ได้แก่ 50 ด้าน และเส้นทแยงมุม อีกครึ่งหนึ่งคือ 25 เส้น แต่ละเส้นใช้แทนการจับมือกันระหว่างคนสองคน และแต่ละจุดหรือตำแหน่งของคน จะมีเส้นเชื่อมไปยังจุดอื่นๆ 3 เส้น แทนการจับมือกับอีก 3 คน
จำนวนครั้งของการจับมือนี้จะเท่ากับจำนวนเส้นทั้งหมดเหล่านี้ = 75
หมายเหตุ โจทย์เช่นนี้ใช้ได้กับจำนวนคนตั้งแต่ 4 คนขึ้นไปและเป็นจำนวนคู่เท่านั้น)

ตรวจสอบสูตรด้วยจำนวนคนน้อยๆคน ดังรูป

[Suwiwat B]

ข้อ 9. มองเป็นทฤษฎีกราฟก็ได้ครับ โดยมองว่าคนทุกคนเป็นจุดยอดเเละเเต่ละคนต้องมีเส้นเชื่อม 3 เส้นพุ่งออกมาจากจุดนั้น หมายความว่า ทุกจุดยอดต้องมีดีกรี 3 ให้ L เเทนจำนวนครั้งของการจับมือ
จาก $\sum_{k = 1}^{n}deg(a_k) = 2L $
$3 x 50 = 2L$
$L = 75$