มาช่วยกันเฉลยอสมการ Hojoo Lee

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Conan แห่งเขาโงลั๋งกั๋ง

(a2+b2+c2)2≥3abc(a+b+c) why?

ใช้ Cauchy + AM-GM ก็ได้ครับ
$(a^2+b^2+c^2)^{1.5} \ge 3\sqrt{3}(abc)$
$(a^2+b^2+c^2)^{0.5} \ge \frac{a+b+c}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

[dektep]

แบบนี้ก็ได้ครับ
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c)$$

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

แบบนี้ก็ได้ครับ
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c)$$

วิธีของคุณ dektep ดีกว่าของผมเยอะเลยครับ

[dektep]

ไม่หรอกครับ

[zzz123]

39. Latvia 2002 $\frac{1}{1+a^{4}}+\frac{1}{1+b^{4}}+\frac{1}{1+c^{4}}+\frac{1}{1+d^{4}}=1 $ $a,b,c,d>0$ แล้ว $abcd\geqslant 3$
ให้ $x=a^{4},y=b^{4},z=c^{4},w=d^{4}$
กระจายออกมาจะได้ $xyzw=xy+xz+xw+yz+yw+zw+2(x+y+z+w)+3$
โดย $AM-GM$ $ xyzw\geqslant 6xyzw^{1/2}+8xyzw^{1/4}+3$
$(abcd-3)(abcd+1)^{3}\geqslant 0$
$\therefore abcd\geqslant3$

[Jew]

ผมอยากให้เฉลยข้อ
67,48,34
อ่ะครับรบหกวนด้วยครับ

[zzz123]

67. http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=1465&page=3
#44 ครับ
48. 1: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.ph...40633&t=296587

2: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=280934

34.พิจารณา $2(a^2+2)(b^2+2)=3a^2+3b^2+6+(a^2+b^2)+2(a^2b^2+1)$

$\geqslant 3a^2+3b^2+6+2ab+4ab=3(a+b)^2+6$

ดังนั้นจะได้ว่า $2(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant(3(a+b)^2+6)(c^2+2)$

$=6a^2+6b^2+6c^2+12ab+3[(ca+cb)^2+4]$

$\geqslant 6a^2+6b^2+6c^2+12ab+12(ca+cb)=6(a+b+c)^2\geqslant 18(ab+bc+ca)$

$\therefore$ $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 9(ab+bc+ca)$ ตามต้องการ

[LightLucifer]

ขอ hint ข้อ 21 หน่อยครับ

[Amankris]

@#83

แย่จัง ผมไม่มีตัวคำถาม

พิมพ์ให้หน่อยได้ไหมครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

@#83

แย่จัง ผมไม่มีตัวคำถาม

พิมพ์ให้หน่อยได้ไหมครับ

a,b,c>0 . abc=1
พิสูจน์
$$\sum_{cyc}\frac{a}{a^2+2} \geq 1$$

[Amankris]

@#85

อ๋อ ข้อนี้นี่เอง

โจทย์มันผิดนะครับ

[LightLucifer]

ช่วยแสดงตัวอย่างค้านหน่อยครับ

[Amankris]

@#87

ผมมั่นใจว่าคุณหาด้วยตนเองได้แน่นอน

ปล. เครื่องหมายมันกลับข้างครับ

[LightLucifer]

อ่อ ขอบคุณครับ

ปล. เห็นผิดสองข้อแล้วเล่มนี้ ^^

[Keehlzver]

ถ้าผิดก็ขอให้ท้วงติงมาเถอะครับ
ใช้เอกลักษณ์ $sin2A=2sinAcosA$
$sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$
$1+tan^2A=sec^2A$

แทน $a=\sqrt{2}tanA$, $b=\sqrt{2}tanB$, $c=\sqrt{2}tanC$

จะได้ $\sum \frac{a}{a^2+2}=\sum \frac{\sqrt{2}tanA}{2tan^2A+2} \leq 1$
$\sum \frac{tanA}{sec^2A} \leq \sqrt{2}$
$\sum sinAcosA\leq \sqrt{2}$

$\sum sinAcosA=\sum \frac{1}{2}sin2A \leq \sqrt{2}$

$\sum sin2A=4sinAsinBsinC \leq 2\sqrt{2}$
จาก $\sum sinAsinBsinC \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
จะได้ $\sum sinAsinBsinC \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} \leq 2\sqrt{2}$ ตามต้องการ

ผมว่าน่าจะมีจุดผิดเพราะว่าผมไม่ได้ไปยุ่งอะไรกับเงื่อนไข $abc=1$ เลย อยากให้มีผู้รู้มาเเนะครับ