ขอความช่วยเหลือ: Number Theory Project

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
ปล. แสดงว่า ข้อ1 -3 แสดงแค่ว่า จำนวน Sierpinski มีอยู่เป็นอนันต์ เท่านั้น ใช่ไหมครับ

ใช่ครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
แล้วถ้าจะแสดง ว่า h ที่เป็นจำนวนประกอบ มีอยูเป็นอนันต์ ก็ใช้ อะไรต่อครับ

ถ้า $d$ เป็น common difference (ผลต่างร่วม) ของ A.P. และ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่หาร $d$ ไม่ลงตัว ทุกๆ $p$ เทอมในลำดับนั้นจะต้องมีอยู่ตัวนึงที่หารด้วย $p$ ลงตัว นั่นคือในเซต $$\{a+nd, a+(n+1)d, a+(n+2)d, \dots, a+(n+p-1)d\}$$ จะต้องมีอยู่ตัวนึงที่หารด้วย $p$ ลงตัว ทั้งนี้เพราะเซตนี้เป็น complete residue system modulo $p$ ครับ ถ้าไม่เข้าใจยังไง ลองไปทบทวนเรื่องนี้ในตำราดูนะครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
ถ้าจะแสดงว่า h ที่เป็นจำนวนเฉพาะ มีอยู่เป็นอนันต์ เราจะใช้ Dirichlet's Theorem on primes in Arithmetic Progressions ใช่ไหมครับ

ใช่ครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
แล้วลำดับที่ได้เป็น จำวน Sierpinski ทั้งหมดแล้วเหรอครับ

ก็อย่างที่คุยกันไปแล้วไงว่าไม่ใช่ครับ เพราะมันจะมีจำนวนคู่ปนอยู่ด้วยตัวเว้นตัว ถ้าจะตัดปัญหาเรื่องนี้ก็อัดเงื่อนไข $h\equiv1\pmod2$ เพิ่มลงไปเสียเลยก็ได้ครับ

[shinn]

ขอบคุณครับ
พี่ครับผมเห็นโจทย์ที่พี่เคยตั้งไว้ในอีกกระทู้ พูดถึง convering set ผมต้องมีความรู้เรื่องนี้ไหมครับ
เช่น การแสดงว่า 78557.$2^n$+1 เป้นจำนวนประกอบ สำหรับทุกจำนวนนับ n

[warut]

ต้องครับ แต่ไม่ยากหรอก ก็ทำคล้ายๆกับที่คุณ nongtum ทำโจทย์ของผมนั่นล่ะ

อย่าง Sierpinski numbers ทุกตัวที่ได้จากการพิสูจน์ของเรานั้นก็จะมี covering set เป็น $$\{F_0, F_1, F_2, F_3, F_4, 641, F_5/641\}$$ ไงครับ

[shinn]

ดีครับพี่ โทดทีครับหายไปซะนาน ไปสอบที่จุฬา มาครับ โคตรยาก อายมาก5555++ แต่ก็ฟรุ๊ค ติดจนได้ มขติดตั้ง 4คนอ่า แต่เพื่อนอีก 2คนเอา คณนา โดนอาจารสัมภาษจะร้องไห้ แบ่งเป็น 2ห้อง ห้อง Analys กะ ห้องAlg เอาข้อสอบที่เราสอบไปมาถาม 5555 ผมทำไม่ได้เยอะมาก
มี Prin = 37/70 cal=17.5/30 alnalys=4.5/35 alg=4/35 linear=20/35 ครับ
.....เด๋วมีคำถามอีกเยอะเลยครับ เกี่ยวกับโปรเจค...ต้องเสนอวันที่ 3 อีกที เมื่อวันก่อนไม่ได้เสนอ อาจารบอกว่าพวกที่จะไปสอบต่อโท ไม่ต้องเสนอรอเป็นวันที่ 3ครับก็เลยรอดตัว แฮ่ๆๆๆ

[shinn]

1.)การแสดงว่า 78557.$2^n+1$ เปHนจำนวนประกอบ สำหรับทุกจำนวนนับ n
convering set คืออะไรเหรอครับพี่ หรือจะเป็น {$F_0$,$F_1$,$F_3$,$F_4$,641,$F_5$/641} ครับ
2.)การแสดงว่า $2^n$-777149 เป็นจำนวนประกอบ
ทำไมคุณ nongtum รู้อ่าครับว่า convering set คือ {3,5,7,13,19,37,73} ครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
1.)covering set คืออะไรเหรอครับ

http://en.wikipedia.org/wiki/Covering_set

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
2.)การแสดงว่า $2^n$-777149 เป็นจำนวนประกอบ ทำไมคุณ nongtum รู้อ่าครับว่า convering set คือ {3,5,7,13,19,37,73} ครับ

ตอนผมทำข้อนี้ ผมใช้ mathematica รันค่ามาหลายๆค่า แล้วสังเกตตัวประกอบครับ

ในกรณีของคุณ shinn ผมลองรันดูแล้วก็ไม่น่าจะยากครับ

[warut]

ขอบคุณคุณ nongtum ที่ช่วยตอบครับ และขอแสดงความยินดีกับตำแหน่งว่าที่นิสิต ป.โท จุฬาฯ ของน้อง shinn ด้วยครับ

[shinn]

นอกจากบอกว่าใช้ mathematica รันค่ามาหลายๆค่า แล้วสังเกตตัวประกอบ มีวิธีอื่นไหมครับ
อย่างเช่น ผมอยากรู้ว่า convering set ของ78557.$2^n$+1 คืออะไร และจะมีวิธีหาอย่างไงครับ

[warut]

1. ค้นหาข้อมูลจาก Internet ถ้ามีคนใจดีเอา link มาป้อนให้ถึงที่ ก็ควรตามไปอ่าน ถ้ายังไม่เจอ ก็ตาม link ในเพจนั้นไปดูต่อครับ
2. ใช้คอมพ์แบบที่คุณ nongtum ใช้ ไม่จำเป็นต้องเป็น Mathematica ก็ได้ครับ
3. ถ้ายังไม่ได้ทำข้อ 1. และข้อ 2. ก็ขอให้ลองกลับไปทำดูก่อนนะครับ

[shinn]

ผมหาค่า a ได้แล้วอ่าครับ a = 10,340,920,497,641,728,921 ครับ

แต่หา covering set ไม่เป็นครับบบบ

เด๋วผมแปะ โปรเจอคให้พี่ช่วยดูนะครับ


ปล.ผมติดจุฬาฯ แล้วนะครับ แฮ่ๆๆๆ อายๆๆๆ ขอบคุณพี่ warut ด้วยนะครับ

[warut]

ยินดีด้วยอีกครั้งครับ

ค่า $a$ ที่คุณ shinn กล่าวถึงคืออะไร ผมไม่เข้าใจครับ แต่เอาเหอะ... เห็นเวลามันงวดมากแล้ว ผมบอกให้เลยละกันว่า covering set ของ $78557\cdot2^n+1$ มีเขียนไว้อย่างชัดเจนอยู่แล้วที่

http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_number
http://primes.utm.edu/glossary/page....erpinskiNumber

คุณ shinn ต้องพยายามหัดค้นข้อมูลหน่อยนะครับ ยุคนี้สบายที่สุดแล้วมี Internet ให้ใช้ และผมเดาว่าที่เค้าให้เราทำโปรเจค อย่างนึงก็เพื่อให้เราฝึกค้นคว้าหาข้อมูลด้วยตัวเองเป็นน่ะครับ

[shinn]

1. covering set ของจำนวนนับ ทั่วๆไป มีไหมคับ
สมมติว่า เรามีจำนวนขึ้นมาจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นจำนวนเต็มใดๆ เช่น 100 เราจะหา covering set ได้ไหมครับ
ใช่เซตของจำนวนเฉพาะที่หาร 100 ลงตัวไหมครับ
2. นิยาม covering set สำหรับจำนวน Sierpinski คือ
ให้ $S$= {${p_1,p_2,p_3,...,p_s}$} เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ และ$P$= ผลคูณของจำนวนเฉพาะในเซต $S$ .ให้ $e_i$ เป็นอันดับ 2 มอดุโล $p_i$ และ $e_s=lcm(e_1,e_2,...,e_s)$.
ถ้า มีจำนวนเฉพาะในเซต $S$ หาร $k.2^n+1$ ลงตัว สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ และถ้าสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p_i$ ของเซต $S$ จะมี$n_i$อย่างน้อยหนึ่ง ที่ไม่มีจำนวนเฉพาะในเซต $S$ หาร $k.2^n+1$ลงตัว ( 0ฃn< $e_s$ ) แล้ว $S$ เรียกว่า covering set สำหรับจำนวน Sierpinski $k$.และ $e_s$ เรียกว่า order ของ $S$.
ถูกไหมครับพี่
และ $e_i$ เป็นอันดับ 2 มอดุโล $p_i$ มันคืออะไรครับผม ใช่หมายถึง $(e_i)^2$บ 0 (mod$p_i$) หรือป่าวครับ
3.มีคนพิสูจน์ แบบนี้หรือยังครับ หมายถึงมีเปเปอร์ที่ใช้เทคนิคข้อ 1-3 หรือไม่ครับ มันเป็นเทคนิคที่อาจารย์ไม่เคยเห็นครับ หรือไม่ก็มีพิสูจน์จำนวนอะไรที่ใช้เทคนิคแบบนี้ไหมครับ
4.ถ้ามี เปเปอร์ ช่วยบอกชื่อเรื่องหน่อยนะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
1. covering set ของจำนวนนับ ทั่วๆไป มีไหมคับ
สมมติว่า เรามีจำนวนขึ้นมาจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นจำนวนเต็มใดๆ เช่น 100 เราจะหา covering set ได้ไหมครับ
ใช่เซตของจำนวนเฉพาะที่หาร 100 ลงตัวไหมครับ

ปกติเราใช้คำว่า "covering set" กับเซตอนันต์ครับ มีอยู่ finite ตัวมันก็ไม่ยากที่จะหา covering set อย่างเช่นถ้าจะ cover 100 ใช้ 2 ตัวเดียวก็เอาอยู่แล้วครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
2. นิยาม covering set สำหรับจำนวน Sierpinski คือ
ให้ $S$= {${p_1,p_2,p_3,...,p_s}$} เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ และ$P$= ผลคูณของจำนวนเฉพาะในเซต $S$ .ให้ $e_i$ เป็นอันดับ 2 มอดุโล $p_i$ และ $e_s=lcm(e_1,e_2,...,e_s)$.
ถ้า มีจำนวนเฉพาะในเซต $S$ หาร $k.2^n+1$ ลงตัว สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ และถ้าสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p_i$ ของเซต $S$ จะมี$n_i$อย่างน้อยหนึ่ง ที่ไม่มีจำนวนเฉพาะในเซต $S$ หาร $k.2^n+1$ลงตัว ( 0ฃn< $e_s$ ) แล้ว $S$ เรียกว่า covering set สำหรับจำนวน Sierpinski $k$.และ $e_s$ เรียกว่า order ของ $S$.
ถูกไหมครับพี่
และ $e_i$ เป็นอันดับ 2 มอดุโล $p_i$ มันคืออะไรครับผม ใช่หมายถึง $(e_i)^2$บ 0 (mod$p_i$) หรือป่าวครับ

ไม่เคยเห็นนิยามแบบที่ว่ามา (และอ่านไม่เข้าใจด้วยครับ) แต่นิยามที่เขียนจากความเข้าใจของตัวผมเอง เป็นแบบง่ายๆดังนี้ครับ

เราจะเรียกเซต $S$ ว่าเป็น "covering set" ของเซต $\{k\cdot2^n+1\mid n\in\mathbb N\}$ (นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในรูป $k\cdot2^n+1$) เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกค่าหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ $S=\{p_1,p_2,\dots,p_s\}$ เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ และสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ จะมี $p\in S$ ที่ $p$ เป็น proper divisor (ตัวประกอบแท้?) ของ $k\cdot2^n+1$

อ่านที่นี่ประกอบด้วยนะครับ

ส่วนประโยคที่ว่า "$e_i$ เป็นอันดับ 2 มอดุโล $p_i$" น่าจะหมายถึง "$e_i$ is the order of $2$ modulo $p_i$" ซึ่งก็คือ $e_i$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2^{e_i}\equiv1\pmod{p_i}$ น่ะครับ

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
3.มีคนพิสูจน์ แบบนี้หรือยังครับ หมายถึงมีเปเปอร์ที่ใช้เทคนิคข้อ 1-3 หรือไม่ครับ มันเป็นเทคนิคที่อาจารย์ไม่เคยเห็นครับ หรือไม่ก็มีพิสูจน์จำนวนอะไรที่ใช้เทคนิคแบบนี้ไหมครับ

ก็ Sierpinski นี่แหละครับที่ใช้เป็นคนแรก การพิสูจน์ว่ามี Riesel numbers อยู่เป็นอนันต์ก็ใช้เทคนิคนี้ได้ครับ (จริงๆทำต่ออีกนิดเดียวก็ได้แล้ว)

ข้อความเดิมของคุณ shinn:
4.ถ้ามี เปเปอร์ ช่วยบอกชื่อเรื่องหน่อยนะครับ

MR0117201 ครับ

[shinn]

1.ถ้าให้จำนวน Sierpinski มาซักตัวหนึ่ง เช่น 78557 แล้วให้หา covering set จะหาได้ยังไงครับ โดยไม่ใช้ mathematica
2. ทำไมพี่รู้ว่า covering set ของจำนวน Sierpinski ที่หาได้ในข้อ 3 เป็นเซตของ {$F_0,F_1,F_2,F_3,F_4,641,F_5/641$}

[shinn]

3. สรุปแล้ว ข้อ 1-3 มีคนพิสูจน์มาก่อนแล้วใช่ไหมครับ
และผมคิดเพิ่มแค่ จำนวนเฉพาะ Sierpinski มีเป็นจำนวนอนันต์ โดยใช้ Dirichlet's Theorem on primes in Arithmetic Progressions .ใช่ไหมครับ