โจทย์ชวนคิด ที่น่าทำ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ผมว่ามันแปลกๆอ่ะครับ
จับ Power mean จะได้ว่า
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{27}$
$9\geqslant (x+y+z)^2$
$1\geqslant\frac{x+y+z}{3}.............(1)$
แล้วก็ใช้ $AM-GM$ จะได้
$\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geqslant (xyz)^{\frac{2}{3}}$
$\frac{xyz}{3}\geqslant (xyz)^{\frac{2}{3}}$
$\frac{(xyz)^3}{27}\geqslant (xyz)^2$
$xyz\geqslant 27..................(2)$

พิจรณา $(1)$ กับ $(2)$
$1\geqslant\frac{x+y+z}{3}=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geqslant xyz\geqslant 27$

ถ้าพลาดส่วนใดโปรดชี้แนะด้วย

แล้วคำตอบคืออะไรครับ จากที่ทำมา ก็ไม่ผิดไม่ใช่หรือครับ
ข้อนี้มีวิธีการหาคำตอบได้หลายวิธี วิธีข้างต้นก็เป็นวิธีหนึ่ง ยังมีอีก 2 วิธีที่อธิบายโดยใช้ความรู้ ม.ต้นได้ครับ วิธีหนึ่งก็คือมองเป็นสมการกำลังสอง ในสมการที่สองจะได้ว่า
$x^2-x(yz)+(y^2+z^2) =0$
ดังนั้น จะมีค่า x ที่เป็นจำนวนจริง ก็ต่อเมื่อ $y^2z^2-4y^2-4z^2 \geqslant 0$
จะได้ว่า $\frac{1}{4} \geqslant \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} \geqslant \frac{1}{y^2}$
จะเห็นว่าค่า $ y \geqslant 2$ ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $ x \geqslant 2$, $ z \geqslant 2$
จากโจทย์ในสมการที่ 1 จัดรูปได้ว่า
$x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1) = 0$
แต่จากสมการที่สองเราได้ว่า $x,y,z \geqslant 2$ ซึ่งมัน..... งั้นเราควรสรุปว่า ......
ผมเอาโจทย์ลักษณะนี้มาฝากเพราะว่า โจทย์บางครั้งเราสามารถแก้ได้โดยใช้ความรู้ที่ไม่สูงมาแก้ได้ครับ เหมือนโจทย์เรขาข้างต้น ก็เช่นกัน

[~ArT_Ty~]

ผมมีมาอีก 2 ข้อครับ

1. จงแก้ระบบสมการ $$\begin{array}{rcl} (x+y)^3 & = & z \\ (y+z)^3 & = & x \\ (x+z)^3 & = & y \end{array} $$ ที่มา Finnish National High School Mathematics Competition

2. จงแก้ระบบสมการ $$\begin{array}{rcl} x^3 + x(y-z)^2 & = & 2 \\ y^3 + y(z - x)^2 & = & 30 \\ z^3 + z(x - y)^2 & = & 16 \end{array}$$ ที่มา Vietnam National Olympiad 2004

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ผมมีมาอีก 2 ข้อครับ

1. จงแก้ระบบสมการ $$\begin{array}{rcl} (x+y)^3 & = & z \\ (y+z)^3 & = & x \\ (x+z)^3 & = & y \end{array} $$ ที่มา Finnish National High School Mathematics Competition

ข้อ 1 นำสมการ 2 ลบ สมการที่ 3

$(y-x)(x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy)=x-y$
$(y-x)(x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1)=0$

แล้วพิจรณา 4 กรณีคือ
1. $x>0,y>0\rightarrow z>0$
$x^2y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1>0$

2. $x<0,z<0\rightarrow z<0,xz>0,yz>0$
$x^2y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=\frac{1}{2}(x+y)^2+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+ 3xz+3yz+1>0$

3. $y>0>x,\left|x\,\right|>\left|y\,\right|\rightarrow z<0\rightarrow xz>0,yz<0,xy<0$
$x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=3xz+\frac{3}{4}(2z+y)^2+(x+\frac{y}{2})^2+1>0$

4. $y>0>x,\left|x\,\right|<\left|y\,\right|\rightarrow z>0\rightarrow xz<0,yz>0,xy<0$
$x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=3yz+\frac{3}{4}(2z+x)^2+(y+\frac{x}{2})^2+1>0$

สำหรับกรณีที่ 3 และ 4 ถ้า $x>0>y$ ก็ใช้วิธีเดียวกัน
ซึ่งเราจะได้ว่า $x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1>0$

จะเหลือแค่กรณีที่ $x=y$ จะแก้คำตอบได้คือ $(x,y,z)=(0,0,0),(\frac{1}{2\sqrt{2} } ,\frac{1}{2\sqrt{2} } ,\frac{1}{2\sqrt{2} } )$
แก้ยังไงลองฝากไปคิดกันเอาเองนะครับ
ส่วนกรณีที่ตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ0จะได้ $(x,y,z)=(0,0,0)$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ 1 นำสมการ 2 ลบ สมการที่ 3

$(y-x)(x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy)=x-y$
$(y-x)(x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1)=0$

แล้วพิจรณา 4 กรณีคือ
1. $x>0,y>0\rightarrow z>0$
$x^2y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1>0$

2. $x<0,z<0\rightarrow z<0,xz>0,yz>0$
$x^2y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=\frac{1}{2}(x+y)^2+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+ 3xz+3yz+1>0$

3. $y>0>x,\left|x\,\right|>\left|y\,\right|\rightarrow z<0\rightarrow xz>0,yz<0,xy<0$
$x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=3xz+\frac{3}{4}(2z+y)^2+(x+\frac{y}{2})^2+1>0$

4. $y>0>x,\left|x\,\right|<\left|y\,\right|\rightarrow z>0\rightarrow xz<0,yz>0,xy<0$
$x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=3yz+\frac{3}{4}(2z+x)^2+(y+\frac{x}{2})^2+1>0$

สำหรับกรณีที่ 3 และ 4 ถ้า $x>0>y$ ก็ใช้วิธีเดียวกัน
ซึ่งเราจะได้ว่า $x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1>0$

จะเหลือแค่กรณีที่ $x=y$ จะแก้คำตอบได้คือ $(x,y,z)=(0,0,0),(\frac{1}{2\sqrt{2} } ,\frac{1}{2\sqrt{2} } ,\frac{1}{2\sqrt{2} } )$
แก้ยังไงลองฝากไปคิดกันเอาเองนะครับ
ส่วนกรณีที่ตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ0จะได้ $(x,y,z)=(0,0,0)$

โจทย์สวยดีครับ จัดรูปให้

$x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=\dfrac{1}{4}(2x+y+3z)^2+\dfrac{3}{4}(y+z)^2+1>0$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์สวยดีครับ จัดรูปให้

$x^2+y^2+3z^2+3xz+3yz+xy+1=\dfrac{1}{4}(2x+y+3z)^2+\dfrac{3}{4}(y+z)^2+1>0$

ขอคารวะ 10 จอก

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อ 24. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงบวกทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$x^3+y^3+z^3 =x+y+z$
$x^2+y^2+z^2 =xyz$

นั่งทำมาหลายวันแล้วยังไม่ไปไหน ไม่รู้ว่ามีใครพอได้คำตอบเป็นชุดตัวเลขแล้วบ้างครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

นั่งทำมาหลายวันแล้วยังไม่ไปไหน ไม่รู้ว่ามีใครพอได้คำตอบเป็นชุดตัวเลขแล้วบ้างครับ

ผมว่าไม่มีคำตอบนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

นั่งทำมาหลายวันแล้วยังไม่ไปไหน ไม่รู้ว่ามีใครพอได้คำตอบเป็นชุดตัวเลขแล้วบ้างครับ

คำตอบคือ เซตว่างครับ ลองอ่านความเห็นที่ 91 หรือยังครับ จุดประสงค์ของข้อนี้ก็เพื่อให้เห็นว่าบางครั้งเราสามารถใช้ความรู้ที่เรียนมาตรวจสอบโจทย์ว่ามีคำตอบหรือไม่ และสามารถใช้ความรู้พื้นฐานในการทำได้ อย่างที่ผมแสดงให้ดูคือใช้เพียงแค่สมการกำลังสองและการจัดรูปเท่านั้น ส่วนที่ใช้ความรู้เกิน ม.3 ก็จะเป็นอย่างที่ความเห็นที่ 90 ทำให้ดูครับ

[กิตติ]

เข้าใจแล้วครับซือแป๋ไม่น่างงเลย.....ประโยคสุดท้ายชี้ให้เห็นชัดๆ
คงเป็นความเคยชินที่เวลาแก้โจทย์สมการแล้วคิดไปเองว่ามันต้องมีคำตอบ....

[หยินหยาง]

ข้อ 25. ข้อนี้ ให้ดูจากรูปครับ และความยาวที่ฐาน $d>e>f$ คำถามคือเรียงลำดับความยาวของเส้นตรง $c_1, c_2, c_3$ ในรูปว่าเส้นใดยาวสุดเส้นใดสั้นสุดครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อ 25. ข้อนี้ ให้ดูจากรูปครับ และความยาวที่ฐาน $d>e>f$ คำถามคือเรียงลำดับความยาวของเส้นตรง $c_1, c_2, c_3$ ในรูปว่าเส้นใดยาวสุดเส้นใดสั้นสุดครับ

ความยาวของเส้นตรงคือ $c_1 = c_2 = c_3$ (ไม่ขึ้นอยู่กันความยาวฐาน)

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ความยาวของเส้นตรงคือ $c_1 = c_2 = c_3$ (ไม่ขึ้นอยู่กันความยาวฐาน)

[หยินหยาง]

มาต่อให้อีกข้อ
ข้อที่ 26
ให้ AB เป็นเส้นตรงยาว $m+n$ หน่วย $X,Y,Z$ เป็นจุดอยู่ภายนอกเส้นตรง $AB$ และไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรง $AB$ ซึ่งทำให้ $AX:BX =AY:BY=AZ:BZ=m:n$ จงหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม $XYZ$ ตอบอยู่ในรูป $m,n$

[Amankris]

#103
ผมว่าเงื่อนไขไม่ครบนา

$m=n=1$ จะได้ว่า $x,y,z$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

[หยินหยาง]

#104
จัดให้ $m \not= n$ และไม่เท่ากับ 0
ลืมใส่ ขอบคุณครับ