Marathon - มัธยมต้น

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

โจทย์ต่อไปครับ
กำหนดA,B,Cเป็นมุมของสามเหลี่ยมABCจงหาค่าสูงสุดของ$sin^2 A+sinBsinCcosA$

ตอบเท่าไรหรอครับ แสดงวิธีทำด้วย ครับ

[{([Son'car])}]

กำหนดให้a,b,cเป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมA,B,Cของสามเหลี่ยมABC

Rเป็นรัศมีวงกลมที่ล้อมรอบABC

$จากกฎของไซน์\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}= \frac{sinC}{c}= \frac{1}{2R} $

เพราะฉะนั้นa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

$จากกฎของโคไซน์a^2=b^2+c^2-2bc cosA$

$เพราะฉะนั้น2bccosA=b^2+c^2-a^2$

$เพราะว่าsin^2A+sinBsinCcosA=\frac{(4R^2)sin^2A+4R^2sinBsinCcocA}{4R^2} $

$=\frac{(2RsinA)(2RsinA)+(2RsinB)(2RsinC)cosA}{4R^2}$

$\frac{a^2+bccosA}{4R^2} =\frac{2a^2+2bccosA}{8R^2} =\frac{2a^2+b^2+c^2-a^2}{8R^2} =\frac{a^2+b^2+c^2}{8R^2}$

$เพราะว่าa^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2$

$เพราะฉะนั้น\frac{a^2+b^2+c^2}{8R^2}\leqslant \frac{9R^2}{8R^2} =\frac{9}{8} $

$เพราะฉะนั้นsin^2A+sinBsinCcosA\leqslant \frac{9}{8} $

$ดังนั้นค่าสูงสุดคือ\frac{9}{8} ครับ$

[neem]

ของ่ายๆบ้างไม่ได้หรอคะ สักข้อนึง

แต่ละข้อเนี่ยปวดหัวทั้งนั้น

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ neem

ของ่ายๆบ้างไม่ได้หรอคะ สักข้อนึง

แต่ละข้อเนี่ยปวดหัวทั้งนั้น

งั้นลองข้อนี้ดู ไม่ยากครับ

จากรูป กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มีด้าน AB = BC = 6 ซม. AH = 7 ซม.
ให้ P, Q และ R เป็นจุดบนด้าน BG, CF และ DE ตามลำดับ จงหาค่าน้อยที่สุดของ AP+PQ+QR+RH



ref : โจทย์ Zenith

[Puriwatt]

ค่าน้อยที่สุดของ AP+PQ+QR+RH คือ 25 ซม. ครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

กำหนดให้a,b,cเป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมA,B,Cของสามเหลี่ยมABC

Rเป็นรัศมีวงกลมที่ล้อมรอบABC

$จากกฎของไซน์\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}= \frac{sinC}{c}= \frac{1}{2R} $

เพราะฉะนั้นa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

$จากกฎของโคไซน์a^2=b^2+c^2-2bc cosA$

$เพราะฉะนั้น2bccosA=b^2+c^2-a^2$

$เพราะว่าsin^2A+sinBsinCcosA=\frac{(4R^2)sin^2A+4R^2sinBsinCcocA}{4R^2} $

$=\frac{(2RsinA)(2RsinA)+(2RsinB)(2RsinC)cosA}{4R^2}$

$\frac{a^2+bccosA}{4R^2} =\frac{2a^2+2bccosA}{8R^2} =\frac{2a^2+b^2+c^2-a^2}{8R^2} =\frac{a^2+b^2+c^2}{8R^2}$

$เพราะว่าa^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2$

$เพราะฉะนั้น\frac{a^2+b^2+c^2}{8R^2}\leqslant \frac{9R^2}{8R^2} =\frac{9}{8} $

$เพราะฉะนั้นsin^2A+sinBsinCcosA\leqslant \frac{9}{8} $

$ดังนั้นค่าสูงสุดคือ\frac{9}{8} ครับ$

มีวิธีที่สั้นกว่านี้ หรือง่าย กว่านี้ไหมครับ

[กิตติ]

กำลังงงว่า$a^2+b^2+c^2 \leqslant 9R^2$
เป็นเอกลักษณ์พิเศษอะไรหรือเปล่าครับ
ช่วยขยายความหน่อยได้ไหมครับ คนแก่กำลังงง

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

กำลังงงว่า$a^2+b^2+c^2 \leqslant 9R^2$
เป็นเอกลักษณ์พิเศษอะไรหรือเปล่าครับ
ช่วยขยายความหน่อยได้ไหมครับ คนแก่กำลังงง

วิธีหนึ่งที่พิสูจน์เอกลักษณ์นี้ได้ คือใช้ law of sine ก่อนครับ ซึ่งจะทำให้

$ a^2+b^2+c^2 = 4R^2 \sum \,\, \sin^2(A) $

จากนั้นใช้สูตร $ \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C = -(1+4\cos A\cos B\cos C) $ link เข้าหา $\sum \,\, \sin^2(A)$


ที่เหลือจบด้วย AM-GM ครับ เพราะเรา block ขอบเขตให้ $\sum \cos A$ ได้

[{([Son'car])}]

ขอโจทย์แนวๆหน่อยครับพี่ๆ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

ขอโจทย์แนวๆหน่อยครับพี่ๆ

มาเสริมว่า จะแนวยังไง ก็ขอให้อยู่ในระดับ ม.ต้นนะครับ

แบบข้อข้างบน ไม่เอานะครับ

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณpasser-by.....ผมเข้าใจว่าเจ้าของโจทย์คงจำเอกลักษณ์มาเลย ผมจำไม่ได้ว่าในเนื้อหาระดับมัธยมมีหรือเปล่า
ทำแทบตายก็ไม่ออก เพราะไม่รู้ว่ามีเอกลักษณ์ตรงนี้

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

แนวนี้ไม่รู้ถูกใจคุณ{([Son'car])}ไหมครับ
กำหนดสามเหลี่ยม $abc$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีจุด $d$อยู่ภายในทำให้มุม $dbc=10^๐$และ$dcb=10^๐$
และยังมีจุด$e$อยู่ภายในทำให้มุม$ebc=10^๐$และ$ecb=20^๐$ จงหามุม $ade$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

แนวนี้ไม่รู้ถูกใจคุณ{([Son'car])}ไหมครับ
กำหนดสามเหลี่ยม $abc$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีจุด $d$อยู่ภายในทำให้มุม $dbc=10^๐$และ$dcb=10^๐$
และยังมีจุด$e$อยู่ภายในทำให้มุม$ebc=10^๐$และ$ecb=20^๐$ จงหามุม $ade$

มุม ADE = มุม BDF (มุมตรงข้าม) = 90 - 10 = 80 องศา

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

งั้นจะเริ่มยากขึ้นแล้วนะครับ คุณอาbanker
กำหนดสามเหลี่ยม $abc$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีจุด $d$อยู่ภายในทำให้มุม $dbc=10^๐$และ$dcb=10^๐$
และยังมีจุด$e$อยู่ภายในทำให้มุม$ebc=20^๐$และ$ecb=30^๐$ จงหามุม $ade$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

งั้นจะเริ่มยากขึ้นแล้วนะครับ คุณอาbanker
กำหนดสามเหลี่ยม $abc$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีจุด $d$อยู่ภายในทำให้มุม $dbc=10^๐$และ$dcb=10^๐$
และยังมีจุด$e$อยู่ภายในทำให้มุม$ebc=20^๐$และ$ecb=30^๐$ จงหามุม $ade$

วาดรูปเองครับ (ขี้เกียจวาดให้)
1.ให้ AD ตัด BFและ BC ที่ M และ N ตามลำดับ จะได้ ANC เป็นมุมฉาก ฉะนั้น
มุม BMN กาง 70 องศา

ทำให้ตอนนี้ สามเหลี่ยม ABC ตอนนี้ก็ไม่มีประโยชน์อะไรแล้วครับ (ได้ใช้แค่นี้แหละ)
ตอนนี้ถ้าเราสามารถหามุม BED ได้ ทุกอย่างก็จบเลิกครับ (ถ้าหาได้ไล่มุมต่อก็จบครับ)

2. ต่อ CF ไปทาง F ถึง T ทำให้สามเหลี่ยม TFC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
(ไล่มุมเอง) จะได้สามเหลี่ยม BTD เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
(ไล่มุมเอง) จะได้สามเหลี่ยม BTE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ตอนนี้ไล่มุมดีๆยังไงก็หลุดครับ
ได้มุม BED กาง 30 องศาครับ
แล้วไล่มุมต่ออีกหน่อยก็จะได้มุม ADC กาง 40 องศาครับ

โจทย์เรื่องมุมสำหรับเด็ก (อันนี้ไม่ยากมาก และมีวิธีทำหลายวิธี)
สามเหลี่ยม ABC จุด P เป็นจุดภายในทำให้ $2\angle PAB=2\angle PBA=2\angle PBC=\angle PAC=30^๐$
ขนาดของ BPC เป็นเท่าไร