มาราธอน ม.ต้น

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

เอิ่ม......ไม่ใช่ครับ
ผมอยากถามต่อว่าจะทำอย่างไรครับ
ผมไม่เก่งขนาดนั้นครับ

เก่งไม่เก่งไม่สำคัญ สำคัญที่ความพยายามครับ ผมเพิ่งตั้งคำถามเมื่อวานเองนะ

[คนอยากเก่ง]

ผมคิดมานานแล้วจริงครับต่อจากคุณamankrisแล้วคิดต่อไม่ออกจริงๆครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ตั้งง่าย ๆ ละกัน
$(a-b)^2+(a-\dfrac{5}{3})^2+(b+\dfrac{4}{3})^2 = 3\dfrac{1}{9}$ ค่าของ $250a-202b$

คืออยากจะบอกว่าไอ้ก้อนนี้อ่ะครับ
$(a-b)^2+(a-\dfrac{5}{3})^2+(b+\dfrac{4}{3})^2 = 3\dfrac{1}{9}$
คือ ถ้าลงกราฟจะเป็นรุปวงรี ซึ่งทำให้มีคำตอบเป็นอนัต์ครับ

ปล. ถ้าโจทย์เอามาจาก shortlist mathcenter contest ซักครั้งนึง จะพบว่าเป็นก้อนเดียวกัน
$(a-b)^2+(a-\dfrac{5}{3})^2+(b+\dfrac{4}{3})^2 = 3\dfrac{1}{9}$
มันเป็นความเมาของผมเองที่บวกเลขผิด ซึ่งเพิ่งมาเห็นได้ไม่นานนี้ว่า
ถ้าจะให้มีคำตอบเดียวต้องแก้จาก $3\frac{1}{9}$ เป็น 3 ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

คืออยากจะบอกว่าไอ้ก้อนนี้อ่ะครับ
$(a-b)^2+(a-\dfrac{5}{3})^2+(b+\dfrac{4}{3})^2 = 3\dfrac{1}{9}$
คือ ถ้าลงกราฟจะเป็นรุปวงรี ซึ่งทำให้มีคำตอบเป็นอนัต์ครับ

ปล. ถ้าโจทย์เอามาจาก shortlist mathcenter contest ซักครั้งนึง จะพบว่าเป็นก้อนเดียวกัน
$(a-b)^2+(a-\dfrac{5}{3})^2+(b+\dfrac{4}{3})^2 = 3\dfrac{1}{9}$
มันเป็นความเมาของผมเองที่บวกเลขผิด ซึ่งเพิ่งมาเห็นได้ไม่นานนี้ว่า
ถ้าจะให้มีคำตอบเดียวต้องแก้จาก $3\frac{1}{9}$ เป็น 3 ครับ

ถ้าลองเปลี่ยนเป็น 3 ผมได้พอดีเลย แต่ตามโจทย์แล้วผมขอลองคิดแล้วกัน
เพราะคุณ Influenze_Mathematics บอกแล้วก็น่าจะได้ล่ะครับขอลองทำดูใหม่ละกันครับ
$(a-b)^2+(a-\dfrac{5}{3})^2+(b+\dfrac{4}{3})^2 = 3$
$a^2-2ab+b^2-\frac{5a}{3}+\frac{4b}{3}+\frac{7}{9}=0$
$[a^2-\frac{a(3b+5)}{3}+(\frac{3b+5}{6})^2]+b^2+\frac{4b}{3}+\frac{7}{9}-(\frac{3b+5}{6})^2=0$
$[a-(\frac{3b+5}{6})]^2+\frac{1}{36}(27b^2+18b+3)=0$
$[a-(\frac{3b+5}{6})]^2+\frac{1}{12}(3b+1)^2=0$

[คนอยากเก่ง]

ถ้าเป็น3ตอบ204หรือเปล่าครับ

[BLACK-Dragon]

รู้สึกเงียบเหงายังไงก็ไม่รู้ครับ

[Influenza_Mathematics]

ขอโทษเกี่ยวกับโจทย์ด้วยครับ (คิดเลขผิดอย่างมหันต์) ผมขอไถ่โทษด้วยการสละสิทธิ์ตั้งโจทย์และโมฆะโจทย์ข้อนี้
ปล. ช่วงนี้ไม่ค่อยว่างนะครับ เพราะสอบ mid อยู่ = =

[คนอยากเก่ง]

ขอละกันครับ
$a+b+c=a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$
จงหา $a^5+b^5+c^5$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

ขอละกันครับ
$a+b+c=a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$
จงหา $a^5+b^5+c^5$

คาดว่าคงลอกโจทย์มาไม่ครบ แล้วก็ไม่ทราบว่าต้องการคำตอบแบบใด (ตอบเป็นช่วง,รูปทั่วไป,ติดตัวแปรเดิม)

ลองทำรูปทั่วไปดูละกัน
นิยาม $S_n=a^n+b^n+c^n$

$k=a\ +b\ +c\ \ =S_1$
$k=a^2+b^2+c^2=S_2$
$k=a^3+b^3+c^3=S_3$


ลองมาหา $ab+bc+ca$ และ $abc$ ดูก่อน

Hide

$ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\dfrac{k^2-k}{2}$

$abc=\dfrac{(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)(ab+bc+ca)}{3}=\dfrac{k-k^2+k\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)}{3}=\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}$

จากเอกลักษณ์ $$a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}=(a+b+c)(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})-(ab+bc+ca)(a^n+b^n+c^n)+abc(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})$$
หรือก็คือ
$$S_{n+2}=(a+b+c)S_{n+1}-(ab+bc+cs)S_n+(abc)S_{n-1}$$

นำ $ab+bc+ca$ และ $abc$ ไปแทนในเอกลักษณ์เพื่อหาคำตอบ

$\begin{array}{rl}
S_4&=(a+b+c)S_3-(ab+bc+ca)S_2+(abc)S_1\\
&\\
&=k^2-\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)k+\left(\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}\right)k\\
&\\
&=\dfrac{k^4-6k^3+11k^2}{6}\\
&\\
S_5&=(a+b+c)S_4-(ab+bc+ca)S_3+(abc)S_2\\
&\\
&=k\left(\dfrac{k^4-6k^3+11k^2}{6}\right)-\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)k+\left(\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}\right)k\\
&\\
&=\dfrac{k^5-5k^4+5k^3+5k^2}{6}
\end{array}$


คาดการณ์ว่า Universe เป็นจำนวนจริง

ลองมาดูว่า $k$ เป็นอะไรได้บ้าง โดยการเช็ค $\textrm {Discriminant}$ ของพหุนามกำลังสาม

Hide

เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นรากจริงทั้งหมดของพหุนาม $t^3+(-k)t^2+\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)t+\left(-\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}\right)$

ดังนั้น $\Delta=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2\geq0$

ตรงนี้ขอละไว้นะ ยาวอยู่เหมือนกัน

จะได้ว่า $k^2(k-3)^2(k-1)(k-2)\leq0$

นั่นคือ $k\in [1,2]\cup\left\{0,3\right\}$ จะเห็นว่ามีได้อนันต์ค่า

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

คาดว่าคงลอกโจทย์มาไม่ครบ แล้วก็ไม่ทราบว่าต้องการคำตอบแบบใด (ตอบเป็นช่วง,รูปทั่วไป,ติดตัวแปรเดิม)

ลองทำรูปทั่วไปดูละกัน
นิยาม $S_n=a^n+b^n+c^n$

$k=a\ +b\ +c\ \ =S_1$
$k=a^2+b^2+c^2=S_2$
$k=a^3+b^3+c^3=S_3$


คาดการณ์ว่า Universe เป็นจำนวนจริง (ไม่เช่นนั้นคงไม่มีคำตอบ)

ลองมาหา $ab+bc+ca$ และ $abc$ ดูก่อน

Hide

$ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\dfrac{k^2-k}{2}$

$abc=\dfrac{(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)(ab+bc+ca)}{3}=\dfrac{k-k^2+k\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)}{3}=\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}$

จากเอกลักษณ์ $$a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}=(a+b+c)(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})-(ab+bc+ca)(a^n+b^n+c^n)+abc(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})$$
หรือก็คือ
$$S_{n+2}=(a+b+c)S_{n+1}-(ab+bc+cs)S_n+(abc)S_{n-1}$$

นำ $ab+bc+ca$ และ $abc$ ไปแทนในเอกลักษณ์เพื่อหาคำตอบ

$\begin{array}{rl}
S_4&=(a+b+c)S_3-(ab+bc+ca)S_2+(abc)S_1\\
&\\
&=k^2-\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)k+\left(\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}\right)k\\
&\\
&=\dfrac{k^4-6k^3+11k^2}{6}\\
&\\
S_5&=(a+b+c)S_4-(ab+bc+ca)S_3+(abc)S_2\\
&\\
&=k\left(\dfrac{k^4-6k^3+11k^2}{6}\right)-\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)k+\left(\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}\right)k\\
&\\
&=\dfrac{k^5-5k^4+5k^3+5k^2}{6}
\end{array}$


ลองมาดูว่า $k$ เป็นอะไรได้บ้าง โดยการเช็ค $\textrm {Discriminant}$ ของพหุนามกำลังสาม

Hide

เนื่องจาก $a,b,c$ เป็นรากจริงทั้งหมดของพหุนาม $t^3+(-k)t^2+\left(\dfrac{k^2-k}{2}\right)t+\left(-\dfrac{k^3-3k^2+2k}{6}\right)$

ดังนั้น $\Delta=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2\geq0$

ตรงนี้ขอละไว้นะ ยาวอยู่เหมือนกัน

จะได้ว่า $k^2(k-3)^2(k-1)(k-2)\leq0$

นั่นคือ $k\in [1,2]\cup\left\{0,3\right\}$ จะเห็นว่ามีได้อนันต์ค่า

ตอบ 75หรือเปล่าครับ

[Amankris]

@#100

ไม่ทราบว่าได้อ่านหรือยังครับ

คำตอบมีได้อนันต์ค่าครับ

[คนอยากเก่ง]

ครับผมๆ
ผมลองทำแบบวิธีสูตรลดทอนของนิวตัน แล้วได้ 75 อะครับ
ไม่ทราบดูอย่างไรครับว่ามีอนันต์ค่าครับ

[Amankris]

@#102

ถามจริงๆ ได้อ่านหรือยังครับ

[BLACK-Dragon]

$\displaystyle{a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}=(a+b+c)(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})-(ab+bc+ca)(a^n+b^n+c^n)+abc(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})}$
เอกลักษณ์นี้ใช้ได้ทุกๆ n ที่เป็นจำนวนเต็ม ไหมครับ

[Influenza_Mathematics]

เงียบจัง ผมตั้งต่อละกันนะ -_-''
จงหาจำนวนนับ $n$ ที่มากที่สุด ที่มีสมบัติว่า เราสามารถแบ่งจำนวนนับตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ ออกเป็นสองกลุ่มได้ โดยที่ผลบวกของจำนวนสองจำนวนใดๆ ที่อยู่ในกลุ่มเดียวกันจะต้องไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ( เอามาจาก สอวน. ,สอวน. เอามาจากไหนก็ไม่รู้)