Number Theory Marathon

[Coco]

31. จงยกตัวอย่างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และมีความยาวของรัศมีเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่วงกลมผ่านจุดที่เป็นคู่อันดับของจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนอนันต์จุด

[warut]

ตัวอย่างก็เช่น วงกลมรัศมี \(\sqrt2\) ครับ เพราะว่า\[\left(\frac{m^2-2m-1}{m^2+1}\right)^2+\left(\frac{m^2+2m-1}{m^2+1}\right)^2=2\]

[nongtum]

ขอขุดกระทู้ด้วยคำถามง่ายๆอีกสองข้อละกันนะครับ

32. ให้ p เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ q=2^p-1 เป็นจำนวนเฉพาะ และ n=2^p-1q จงแสดงว่า
$$\sum_{d|n,\ d>0}\frac{1}{d}=2$$

33. จำนวนเต็มบวก $x,\ y$ สอดคล้องกับสมการ $3x^2+x=4y^2+y$ จงแสดงว่า $x-y,\ 3x+3y+1,\ 4x+4y+1$ เป็นจำนวนจัตุรัส

[bon]

จงหาค่า n ทั้งหมดที่ทำให้ 2n+1 หาร nกำลัง2 - 2548 ลงตัว

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ bon:
จงหาค่า n ทั้งหมดที่ทำให้ 2n+1 หาร n² - 2548 ลงตัว

จาก $$S:=\frac{n^2-2548}{2n+1}=\frac{4n^2-1-10191}{4(2n+1)}=\frac{2n-1}{4}-\frac{10191}{4(2n+1)}$$ และ $10191=3\cdot43\cdot79$ จะได้ว่าผลรวม $S$ เป็นจำนวนเต็มได้เมื่อ (2n+1)|10191
พิจารณา factor=2n+1 ทีละตัวดังนี้(ขออนุญาตย่อ ที่เว้นๆไว้ลองทดเองนะครับ)
$$\begin{array}{lll}
2n+1&n&S&หารลงตัว?\\
1&0&(-1-10191)/4&\text{yes}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\text{yes}\\
10191&5095&(10189-1)/4&\text{yes}\\
\end{array}$$
ดังนั้นจำนวนเต็ม n ที่สอดคล้องเงื่อนไขด้านบนคือค่า n ที่ทำให้ 2n+1 เป็นตัวประกอบที่เป็นบวกและลบทุกตัวของ 10191 (บังคับทดกันทางอ้อม)

ส่วนอีกข้อที่ถาม(mod ลบไปแล้ว)พิมพ์ขยายความแล้วที่กระทู้เดิมนะครับ แนะนำว่าให้ลองทดเองไปด้วยเพื่อความเข้าใจ

ปล. ข้อ 32 สามารถทดหาคำตอบได้โดยตรงครับ ส่วนข้อ 33 ลองจัดรูปดูนะครับ หากแสดงได้หนึ่งตัว อีกสองตัวที่เหลือก็จะตามมาเองครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ bon:
จงหาค่า n ทั้งหมดที่ทำให้ 2n+1 หาร nกำลัง2 - 2548 ลงตัว

เนื่องจาก $\gcd(4,2n+1)=1$
ดังนั้น $2n+1\mid n^2-2548$ ก็ต่อเมื่อ $2n+1\mid4(n^2-2548)$
จาก
$$\frac{4(n^2-2548)}{2n+1}= \frac{4n^2-1-10191}{2n+1}= 2n-1-\frac{10191}{2n+1}$$
เราจึงรู้ว่า $2n+1\mid n^2-2548$ ก็ต่อเมื่อ $2n+1$ เป็นตัวประกอบ(คี่)ของ $10191$
ตัวประกอบทั้งหมดที่เป็นบวกของ $10191= 3^1 \cdot 43^1 \cdot 79^1$ ซึ่งทุกตัวเป็นจำนวนคี่ มีอยู่ $(1+1)(1+1)(1+1) =8$ ตัว ดังนั้นจึงมีค่า $n$ ที่ต้องการทั้งหมด $8\times2 =16$ ค่าครับผม

[warut]

ไม่มีใครทำ ผมทำเองก็ได้

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
32. ให้ p เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ q=2^p-1 เป็นจำนวนเฉพาะ และ n=2^p-1q จงแสดงว่า
$$\sum_{d|n,\ d>0}\frac{1}{d}=2$$

จากที่โจทย์ให้มาทำให้เราทราบว่า $n$ เป็น perfect number นั่นคือ $$\sum_{d|n}d=2n$$ ขอละไว้ในฐานที่เข้าใจนะครับ ว่าเราพูดถึงเฉพาะตัวประกอบที่เป็นบวกเท่านั้น ($d>0$)

ให้สังเกตว่า $\{d\mid d|n\}$ ก็คือเซ็ตเดียวกันกับ $\{n/d\mid d|n\}$ ดังนั้น
$$n\sum_{d|n}\frac{1}{d} = \sum_{d|n}\frac{n}{d} = \sum_{d|n}d=2n$$ซึ่งจะทำให้เราได้ผลที่ต้องการตามมาในทันทีครับ

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
33. จำนวนเต็มบวก $x,\ y$ สอดคล้องกับสมการ $3x^2+x=4y^2+y$ จงแสดงว่า $x-y,\ 3x+3y+1,\ 4x+4y+1$ เป็นจำนวนจัตุรัส

จาก $3x^2+x=4y^2+y$ เราจึงได้ว่า

$x^2= 4x^2-4y^2+x-y= (x-y)(4x+4y+1) \quad (\star)$
$y^2= 3x^2-3y^2+x-y = (x-y)(3x+3y+1)$

ดังนั้น $x^2y^2=(x-y)^2(3x+3y+1)(4x+4y+1)$
แสดงว่า $(3x+3y+1)(4x+4y+1)$ เป็น perfect square
แต่เนื่องจาก $\gcd(3x+3y+1,4x+4y+1)=1$
เพราะ $4(3x+3y+1)-3(4x+4y+1)=1$
เราจึงสรุปได้ว่า $3x+3y+1$ และ $4x+4y+1$ ต่างก็เป็น perfect square
และจาก $(\star)$ เราจึงได้ว่า $x-y$ ก็เป็น perfect square ด้วยครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
24. (KöMaL ข้อ N.149) The sequence $(a_n)$ is defined by the following recursion: $$a_0=a_1=1,\ (n+1)a_{n+1}=(2n+1)a_n+3na_{n-1}.$$ Prove that the sequence consists of integers.

ข้อความเดิมของคุณ Punk:
24. (Easy and Tricky) จากเงื่อนไขเริ่มทำให้ได้ว่า $b_n:=na_n$ ต้องเป็นจำนวนนับ (ทำไม??? ) แปลงสมการในเทอมของ ลำดับ $\{b_n\}$ ได้เป็น
$$
(b_{n+1}-2b_n-3b_{n-1})n^2-(b_{n+1}-b_n)n+b_n=0
$$
ดังนั้น $n$ หาร $b_n$ ลงตัว

ไม่เข้าใจครับว่า ทำไมจากเงื่อนไขเริ่มถึงทำให้เราได้ว่า $na_n$ ต้องเป็นจำนวนนับ คุณ Punk หรือใครก็ได้ที่เข้าใจการพิสูจน์ช่วยอธิบายด้วยครับ

[Punk]

สงสัยผมจะมั่วหรือไม่ก็เมา เอาเป็นว่าขอแก้ตัวละกันครับ
จากสมการเวียงบังเกิดคูณด้วยตัวแปร $x^n$ แล้ว take summation จาก $n=1$ ถึง $\infty$ ถ้าให้ $f(x)=\sum_0^\infty a_nx^n$ จะได้ว่า $f(x)$ สอดคล้องสมการอนุพันธ์
$$
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1+3x}{1-2x-3x^2}
$$
แก้สมการได้ $f(x)=1/\sqrt{(1+x)(1-3x)}$

กระจายอนุกรม binomial รอบจุด $x=0$ ของ $1/\sqrt{1+x}$ และ $1/\sqrt{1-3x}$ จะได้
$$
a_n=\frac{1}{4^n}\sum_{k+l=n}(-1)^k3^l{2k\choose k}{2l\choose l}
$$
($k,l\in\mathbb{Z}_{\geq0}$)

ดังนั้นเราเหลือเพียงพิสูจน์ว่า $4^n$ หาร $\sum_{k+l=n}(-1)^k3^l{2k\choose k}{2l\choose l}$ ลงตัว ซึ่งสมมูลกับ
$$
4^n\mid\sum_{k+l=n}{2k\choose k}{2l\choose l}
$$
แต่พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ผลบวก $\sum_{k+l=n}{2k\choose k}{2l\choose l}=4^n$
DONE

[warut]

ขอบคุณมากครับคุณ Punk แล้วผมจะค่อยๆทำความเข้าใจอีกที เอ... แล้วเฉลยของคุณ nongtum เป็นแบบนี้รึเปล่าครับ

[warut]

เอ่อ... ยังไม่เข้าใจครับว่าทำไมการพิสูจน์ว่า $4^n$ หาร $$\sum_{k+l=n} (-1)^k3^l {2k\choose k}{2l\choose l}$$ ลงตัว ถึงสมมูลกับการพิสูจน์ว่า $4^n$ หาร $$\sum_{k+l=n} {2k\choose k}{2l\choose l}$$ ลงตัว

แล้วคุณ nongtum ล่ะครับ มีเฉลยของข้อนี้หรือเปล่า

ขอบคุณล่วงหน้าทั้งสองท่านเลยนะครับ

[nongtum]

ขอโทษครับที่มาตอบช้า ผมมีเฉลยครับเป็นภาษาฮังการี แต่ช่วงนี้ยังไม่มีเวลาแกะ/พิมพ์เฉลย หากสนใจอยากช่วยแกะลองตามไปดูได้ที่นี่ครับ Kömal N.149 มีสามหน้า (163-165) แต่ยังไงๆผมก็จะกลับมาพิมพ์เองอีกทีอยู่แล้วหากว่างพอครับ

ส่วนที่คุณ warut สงสัย ผมคิดว่ามันเป็นเพราะ $\gcd((-1)^k3^l,4^n)=1\ \forall k,l,n\in\mathbb{Z}$ ครับ

[warut]

ขอบคุณครับคุณ nongtum มาบอกข้อมูลไว้อย่างนี้ก็โอเคแล้วครับ ถ้าไม่ว่างก็ไม่จำเป็นต้องแปลหรอกครับ ผมก็แค่ไล่เช็คดูว่ายังมีข้อไหนในกระทู้นี้ที่ผมยังไม่เคลียร์บ้าง แต่เท่าที่ดูเฉลย (แม้จะอ่านภาษาฮังการีไม่ออกเลยซักตัว) ก็รู้สึกได้ว่าข้อนี้น่าจะยากมากๆครับ

[Pheeradej]

งั้นผมขอต่อละกันครับ
จงหาคู่อันดับ (m,n) เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ที่ทำให้ (n³+1)/(mn-1) เป็นจำนวนเต็มบวก

ปล. ช่วยสอนวิธีพิมพ์เศษส่วนให้ด้วยครับ พิมพ์ไม่เป็นอะ

[nooonuii]

ปลุกกระทู้ครับ