FFTMO9

[PP_nine]

งั้นเฉลยวิธีของผมเลยละกัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

7. $P$ เป็นจุดภายนอกวงกลมทึ่มีจุดศูนย์กลาง $O$ ลาก $PQ,PR$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลม

จุด $B$ เป็นจุดบน $QR$ ลาก $PB$ ตัดวงกลมที่ $A,C$ พิสูจน์ว่า $PB$ เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ $PA,PC$ ที่ไม่ขึ้นกับจุด $B$ บน $QR$

Solution

สมมติให้จุด $B$ อยู่ใกล้จุด $Q$ มากกว่าจุด $R$

สร้างจุด $X$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AC$ แสดงว่า $OC \bot AC$

และให้ $QR \cap PO = Y$ แสดงว่า $OY \bot QR$

พิจารณาสี่เหลี่ยม $OXBY$ พบว่ามีมุมตรงข้ามคู่หนึ่งเป็นมุมฉากทั้งคู่ แสดงว่า $OXBY$ concyclic

โดย Power of Point ได้ $PB \cdot PX = PY \cdot PO$ จัดรูปเป็น
$$\frac{2}{PB}=\frac{2PX}{PY \cdot PO}$$
แต่ $X$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AC$ ฉะนั้น $2PX=PA+PC$

และโดยสามเหลี่ยมคล้าย $\Delta PQY$ ~ $\Delta POQ$ ได้ว่า $\frac{PY}{PQ}=\frac{PQ}{PO}$

หรือก็คือ $PY \cdot PO = PQ^2$ แต่ในวงกลมใหญ่เรามี $PQ^2=PA \cdot PC$ ด้วย

จากเดิมจึงได้ว่า
$$\frac{2}{PB}=\frac{PA+PC}{PA \cdot PC}$$
$$\frac{2}{PB}=\frac{1}{PA}+\frac{1}{PC}$$
สรุปจึงได้ว่า $PB$ เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ $PA,PC$ นั่นเอง

[BLACK-Dragon]

ข้อ 6

ให้วงกลม $O_1,O_2,O_3$ เป็นวงกลมทั้ง 3 วง แล้ว O เป็นจุดตัดทั้ง 3 เส้น

และให้ $EM$ คือ คอร์ดของ $O_2$ และ $EF$ คือ คอร์ดของ $O_3$ เราจะพิสูจน์ว่า M กับ F เป็นจุดๆเดียวกัน

จาก Power of Point จะได้ว่า

$OB \cdot AO = CO \cdot OD$

$BO \cdot AO= EO \cdot OM$

$EO \cdot OF= OC \cdot DO$

เทียบไปเทียบมาได้ $OM=OF$

เพราะฉะนั้น จุด M และ F เป็นจุดๆเดียวกัน

เพราะฉะนั้น $AB,CD,EF$ เป็นคอร์ดร่วมของ วงกลม 3 วง

[BLACK-Dragon]

มาเล่นโจทย์ TMO 7 กันบ้างดีกว่า

$~~~ $ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ที่มี $AB<BC<CA$

ให้ $AD$ ตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของมุม $B$ ที่จุด $D$ และ

$~~ ~AE$ ตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของมุม $C$ ที่จุด $E$

ถ้าเส้นตรง $DE$ ตัดด้าน $AB$ และ $AC$ ที่จุด $M$ และ $N$ ตามลำดับแล้ว

จงแสดงว่า $\dfrac{AB+AC}{BC}=\dfrac{DE}{MN}+1$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

มาเล่นโจทย์ TMO 7 กันบ้างดีกว่า

$~~~ $ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ที่มี $AB<BC<CA$

ให้ $AD$ ตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของมุม $B$ ที่จุด $D$ และ

$~~ ~AE$ ตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของมุม $C$ ที่จุด $E$

ถ้าเส้นตรง $DE$ ตัดด้าน $AB$ และ $AC$ ที่จุด $M$ และ $N$ ตามลำดับแล้ว

จงแสดงว่า $\dfrac{AB+AC}{BC}=\dfrac{DE}{MN}+1$

hint ลากเส้น 2-3 เส้นแล้วหาด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้เจอ

[PP_nine]

เมื่อคืนเพิ่งนึกได้ว่ายังไม่เฉยตัวที่ strong กว่าของข้อนี้เลย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ถ้าเริ่มเข้าใจ inverse modulo $p$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ แล้วล่ะก็ ขอขยับขึ้นมาให้ใกล้กับกรณีทั่วไปอีกหน่อยละกัน

10. สำหรับจำนวนนับ $k,a,b$ ซึ่ง $k \ge 2$ และ $(a,b)=1$ สอดคล้องกับ
$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2^k-1}=\frac{a}{b}$$
พิสูจน์ $2^k|a$

more stronger

พิสูจน์ $4^{k-1}|a$

สำหรับตัวพิสูจน์ที่ strong ขึ้นต้องพิสูจน์ก่อนว่า $2^k | a$ ซึ่งตอนนี้มีคนพิสูจน์ไปแล้ว

แสดงว่า $\dfrac{a}{2^{k-2}}$ ก็เป็นจำนวนเต็มด้วย เราจึงสามารถพิจารณา $\dfrac{a}{2^{k-2}}$ ใน mod $2^k$ ได้
$$\frac{a}{2^{k-2}} \equiv \frac{b}{2^{k-2}} \Big(1^{-1}+3^{-1}+\cdots+(2^k-1)^{-1} \Big) \pmod{2^k}$$
$$\frac{a}{2^{k-2}} \equiv \frac{b}{2^{k-2}} \Big(1+3+\cdots+(2^k-1) \Big) \pmod{2^k}$$
$$\frac{a}{2^{k-2}} \equiv \frac{b}{2^{k-2}} \Big( 2^{k-2} \cdot 2^k \Big) \pmod{2^k}$$
$$\therefore 2^k | \frac{a}{2^{k-2}}-\frac{b}{2^{k-2}} \Big( 2^{k-2} \cdot 2^k \Big)$$
$$2^k | \frac{a}{2^{k-2}}-b \cdot 2^k$$
$$2^k | \frac{a}{2^{k-2}}$$
หรือก็คือ $4^{k-1} | a$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

แนวคิดข้อนี้มาจากข้อสอบสมาคมฯ ม.ปลายข้อสุดท้ายครับ

7. $P$ เป็นจุดภายนอกวงกลมทึ่มีจุดศูนย์กลาง $O$ ลาก $PQ,PR$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลม

จุด $B$ เป็นจุดบน $QR$ ลาก $PB$ ตัดวงกลมที่ $A,C$ พิสูจน์ว่า $PB$ เป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ $PA,PC$ ที่ไม่ขึ้นกับจุด $B$ บน $QR$

วิธีผมครับ ลืมลง

จากสัดส่วนฮาร์มอนิคลองจัดรูปดูก็จะได้ว่า สิ่งที่ต้องพิสูจน์คือ $$PB=\frac{2}{\frac{1}{PA}+\frac{1}{PC}}$$ ซึ่งสมมูลกับ(จัดรูปเอาเอง ) $$\frac{PA}{PC}=\frac{AB}{BC}$$

วาดรูปตามที่โจทย์บอกนะครับและก็ไล่มุม โดยให้ $A\widehat{P}Q=x,A\widehat{Q}P=y$ จาก sine law จะได้ว่า

$$\frac{PA}{PR}=\frac{PA}{PQ}=\frac{\sin y}{\sin (x+y)}=\frac{AQ}{QC}$$

$$PA=\frac{AQ\cdot PR}{QC}\rightarrow \frac{PA}{PC}=\frac{AQ\cdot PR}{QC\cdot PC}=\frac{AQ\cdot PR}{QC\cdot RC}$$

จาก $$\frac{[QAR]}{[QCR]}=\frac{AQ\cdot PR}{QC\cdot RC}=\frac{AB}{BC}$$($[ABC]$ แทนพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$และ $\sin \theta=\sin (\pi-\theta)$)

$$\therefore \frac{PA}{PC}=\frac{AB}{BC}$$

ซึ่งสมมูลกับที่โจทย์ต้องการ

[~ArT_Ty~]

เติม FE ซักหน่อย

1. หาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} $ ที่สอดคล้องกับ

$$f(a)^3+f(b)^3+f(c)^3=f(a^3+b^3+c^3)$$

เมื่อ $a,b,c\in \mathbb{Z} $

2. find all $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ which satisfy the equation

$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

2. find all $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ which satisfy the equation

$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)$$

เปลี่ยนเรื่องไปก่อนก็ดีนะครับ (เรขาพาอึน 555) ผมคงต้องศึกษาให้มากกว่านี้ก่อนละครับ

My_sol

$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)$$
หาได้ไม่ยากว่า $f(x)=0$ เป็นคำตอบ
ถ้า $f(x)\not=0$ เเทน $y\rightarrow \frac{f(x)-x}{f(x)}$ $$f\Big(\frac{f(x)-x}{f(x)}\Big)=0...(*)$$
เเทน $y\rightarrow 0$ $$f(x)=f(f(x))+xf(0)...(**)$$
เเละเเทนใน $(**)$ $x\rightarrow \frac{f(x)-x}{f(x)}$ ทำให้ได้ว่า $f(0)=0,f(x)=\frac{x}{2}$
จาก $(**)$ เเละ $f(0)=0$ จึงได้ $f(x)=f(f(x))$ นำไปใช้ได้อีก ^^
เเทน $y\rightarrow 1$ ในโจทย์ $$f(x+f(x))=f(x)+xf(1)...(1)$$
เเทน $x\rightarrow x-f(x)$ ใน $(1)$ ได้ว่า $$f(x)=f(x-f(x))+xf(1)-f(x)f(1)...(2)$$
เเละจากสมการดั้งเดิมเเทน $y\rightarrow -1$ $$f(x-f(x))=f(x)+xf(-1)...(3)$$
จากทั้ง $(1),(2),(3)$ ทำให้ได้อีกว่า $$f(x+f(x))=f(x)+xf(1)$$
$$f(x)+xf(1)=f(x-f(x))+xf(1)-f(1)f(x)+xf(1)$$
$$f(1)(f(x)-x)=xf(-1)\rightarrow f(x)=cx$$
เเต่จาก $f(x)=f(f(x))$ ทำให้ $c=0,1$ ดังนั้น $f(x)=0,x,\frac{x}{2}$
เเละหากนำไปเเทนกลับจะได้เเค่ว่า $f(x)=0,x$ เท่านั้น

ปล. ลองเล่นๆนะครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)$$
หาได้ไม่ยากว่า $f(x)=0$ เป็นคำตอบ
เเทน $y\rightarrow \frac{f(x)-x}{f(x)}$ $$f\Big(\frac{f(x)-x}{f(x)}\Big)=0...(*)$$
เเทน $y\rightarrow 0$ $$f(x)=f(f(x))+xf(0)...(**)$$
เเละเเทนใน $(**)$ $x\rightarrow \frac{f(x)-x}{f(x)}$ ทำให้ได้ว่า $f(0)=0,f(x)=\frac{x}{2}$
จาก $(**)$ เเละ $f(0)=0$ จึงได้ $f(x)=f(f(x))$ นำไปใช้ได้อีก ^^
เเทน $y\rightarrow 1$ ในโจทย์ $$f(x+f(x))=f(x)+xf(1)...(1)$$
เเทน $x\rightarrow x-f(x)$ ใน $(1)$ ได้ว่า $$f(x)=f(x-f(x))+xf(1)-f(x)f(1)...(2)$$
เเละจากสมการดั้งเดิมเเทน $y\rightarrow -1$ $$f(x-f(x))=f(x)+xf(-1)...(3)$$
จากทั้ง $(1),(2),(3)$ ทำให้ได้อีกว่า $$f(x+f(x))=f(x)+xf(1)$$
$$f(x)+xf(1)=f(x-f(x))+xf(1)-f(1)f(x)+xf(1)$$
$$f(1)(f(x)-x)=xf(-1)\rightarrow f(x)=cx$$
เเต่จาก $f(x)=f(f(x))$ ทำให้ $c=0,1$ ดังนั้น $f(x)=0,x,\frac{x}{2}$

ปล. ลองเล่นๆนะครับ

[/hidden]

ระวังให้ดีๆครับเพราะเราต้องรู้ด้วยนะครับว่า $f(x)$ ต้องไม่มีทางเท่ากับ 0 ไม่งั้นก็ผิดนิยามนาา

[จูกัดเหลียง]

#99 เเก้เเบบนั้นโอเคมั้ยครับ 555 (ไปน้ำขุ่นๆเลย)
เเต่ ข้อเเรกหมายถึงว่า $(f(a))^3$ เหรอครับ หรือ $f(a)^3$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#99 เเก้เเบบนั้นโอเคมั้ยครับ 555 (ไปน้ำขุ่นๆเลย)
เเต่ ข้อเเรกหมายถึงว่า $(f(a))^3$ เหรอครับ หรือ $f(a)^3$

มันต่างกันตรงไหนอ่ะ?

ป.ล. ผมว่าไม่น่าได้นะ =3= อย่างที่บอก

[จูกัดเหลียง]

ขอเเก้ตัวนะครับ ^^
$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)$$
เเทน $x,y\rightarrow 0$ $f(0)=f(f(0))$ ให้ $ f(0)=k$
จะได้ว่า $f(f(x))=f(x)-kx$
เเทน $y\rightarrow 1$ $$f(x+f(x))=f(x)+xf(1)-kx$$
เเทน $y\rightarrow -1$ $$f(x-f(x))=f(x)+xf(-1)-kx$$
$x\rightarrow x-f(x)$ $$f(x)=f(x-f(x))+xf(1)-f(1)f(x)-kx$$
ก็ได้ต่อว่า $f(x)=0,cx$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ขอเเก้ตัวนะครับ ^^
$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)$$
เเทน $x,y\rightarrow 0$ $f(0)=f(f(0))$$\therefore f(0)=0,1$
ถ้า $f(0)=0$ ก็จะได้ในเเบบที่ทำไปเเล้วคือ $f(x)=f(f(x))$
กรณีถ้า $f(0)=1$ จะได้ว่า $f(f(x))=f(x)-x$
เเทน $y\rightarrow 1$ $$f(x+f(x))=f(x)+xf(1)-x$$
เเทน $y\rightarrow -1$ $$f(x-f(x))=f(x)+xf(-1)-x$$
$x\rightarrow x-f(x)$ $$f(x)=f(x-f(x))+xf(1)-f(1)f(x)-x$$
ก็ได้ต่อว่า $f(x)=0,cx$
ถ้า $f(0)=0$ ก็จะได้ในเเบบที่ทำไปเเล้วคือ $f(x)=f(f(x))$
ก็ได้กรณีซ้ำกันคือ $f(x)=0,cx$

มาไงอ่ะครับ

[จูกัดเหลียง]

#103 ผิดเยอะได้อีก = ="
คงไม่มีอีกเเล้วนะ 555

[~ArT_Ty~]

#102 ทำต่ออีกหน่อยได้ป่ะ? ยังมองไม่ออก