Calculus Marathon

[Mastermander]

ตอนแรกผมก็ตอบว่า 0 นะครับ แต่เจ้าของโจทย์เค้าบอกว่าผิด

เค้าเฉลยว่า $\frac{\pi}{4}$ ผมก็งงไปเลย

[passer-by]

ข้อ 23
$$ \lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2} )$$
$$ =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\bigg (\frac{1}{1+(\frac{1}{n})^2}+\frac{1}{1+(\frac{2}{n})^2}+\ldots+\frac{1}{1+(\frac{n}{n})^2}\bigg) $$
$$= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4}$$

เป็นเรื่องของการหาพื้นที่ใต้กราฟใน Riemann integral โดยการซอยออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยๆครับ

และก็อาจ generalize เป็น

ถ้า f เป็น continuous , monotonic function บน [0,1] แล้ว

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})=\int_0^1f(x)\,dx $$

ใครจะตั้งคำถามต่อไป ก็ตามสบายเลยนะครับ เพราะตอนนี้ ผมยังคิดไม่ออกว่าจะถามอะไรดี

[nongtum]

24. ให้ $f(x)=2^x$ และ $g(x)=f(x)^{f(xf(x))}$ จงหาค่าของ $g'(1)$

[Mr.high]

ของคุณ passer-by ถูกต้องนะคร้าบ
ร้ายกาจมาก นับถือๆ

ในหนังสือที่ผมหยิบยกมาจะมีรูปแบบที่ generalize กว่าของคุณ passer-by นิดนึงก็คือ
$$ lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum^{n}_{k=1}f(a+\frac{k(b-a)}{n}) = \int^{b}_{a}f(x)dx $$
เมื่อ f เป็น continuous ในช่วง [a,b]

ในข้อ 24
เราพิจารณา
$$ g(x) = f(x)^{f(x\:f(x))} = (2^x)^{f(x\:f(x))}=f(x \:f(x \:f(x))) $$
$$ \frac{d\:g(x)}{dx} = \frac{d\:f(x\:f(x\:f(x)))}{dx}$$
$$ = \frac{d\:f(x\:f(x\:f(x)))}{d x\:f(x\:f(x))}\frac{d\:xf(x\:f(x))}{dx}$$
$$ = (ln 2)(f(x\:f(x\:f(x))))\left(f(x\:f(x))\frac{dx}{dx}+x\frac{d\:f(x\:f(x))}{dx}\right)$$
$$ = (ln 2)(f(x\:f(x\:f(x))))\left(f(x\:f(x))+x\frac{d\:f(x\:f(x))}{d\:x\:f(\:x)}\frac{d\:x\:f(x)}{d\:x}\right)$$
$$ = (ln 2)(f(x\:f(x\:f(x))))\left(f(x\:f(x) )+x\: (ln2)f(x\:f(\:x))\frac{d\:x\:f(x)}{d\:x}\right)$$
$$ = (ln 2)(f(x\:f(x\:f(x))))\left(f(x\:f(x) )+x\: (ln2)f(x\:f(\:x))\left(\frac{dx}{dx}f(\:x)+x\frac{d\:f(x)}{d\:x}\right)\right)$$
$$ = (ln 2)(f(x\:f(x\:f(x))))\left(f(x\:f(x) )+x\: (ln2)f(x\:f(\:x))\left(f(\:x)+x(ln2)(f(x))\right)\right)$$
หลังจากที่ผ่านการ diff มาอย่างทรหดเราก็จะแทนค่าด้วย x =1
$$ g'(1) = 64ln2+128(ln 2)^2+128(ln 2)^3$$

[Mr.high]

งั้นผมขอใช้สิทธิในการตอบข้อที่ 24 โพสต์คำถามละกันนะครับ
ผมเห็นข้อนี้สวยพอใช้ได้ขอนำมาเป็นคำถามละกันนะครับ

25. จงพิสูจน์ว่า
$$ lim_{n\rightarrow\infty}\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin nx}{n^2+x^2}dx = 0$$

[passer-by]

ข้อ 25

เพราะ $ \large \frac{\sin nx}{n^2+x^2} $ converges uniformly to f(x) = 0 บน [0,2p]

ดังนั้น $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\int^{2\pi}_{0}\frac{\sin nx}{n^2+x^2}\,dx = \int^{2\pi}_{0}\lim_{n\rightarrow\infty}\bigg (\frac{\sin nx}{n^2+x^2}\bigg )dx= \int^{2\pi}_{0} (0) dx = 0 $$

p.s. ใครจะถามต่อ ก็ตามสบายครับ

[Mastermander]

26. จงหาความยาวเส้นรอบวงรี โดยที่ แกนเอกยาว 2a และแกนโทยาว 2b

[Mr.high]

รู้สึกว่าข้อ 26. นี่ผมจะอินทิเกรตไม่ออกอ่ะคับ
แต่ไปรื้อมาจากหนังสือก็อินทิเกรตไม่ออกจิงๆ
แต่ไม่รู้มันจัดรูปได้ไงเป็นแบบนี้

$$ 4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\:d\theta$$
เมื่อ $ k = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} $
$$ = 2\pi\sqrt{\frac{(a^2+b^2)}{2}}\: (approximately) $$

ถ้าใครมีคำตอบดีกว่านี้ช่วยมาตอบหน่อยนะครับ

[Mr.high]

งั้นผมขึ้นข้อ 27 เลยละกาน
ให้ $ y = x^x $
$จงหา \frac{dy}{dx} $

[Mastermander]

27.
$y=x^x$
$\ln y=x\ln x$
$\frac{d(\ln y)}{dx}=1+\ln x$
$\frac{dy}{ydx}=1+\ln x$
$\frac{dy}{dx}=x^x(1+\ln x)$

28.

$\displaystyle{\lim_{n\to0}n^n}=\beta$
จงหาค่าของ
$$\lim_{x\to\beta}x^{\frac{1}{x-1}}$$

[nongtum]

28. ให้ $y=n^n$ ดังนั้น $\displaystyle\lim_{n\to 0} \ln y=\lim_{n\to 0} n\ln n=\lim_{n\to 0} \frac{\ln n}{1/n}=\lim_{n\to 0} \frac{1/n}{-1/n^2}=\lim_{n\to 0} -n=0$ นั่นคือ $\beta=1$
ให้ $z=x^{1/(x-1)}$ ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x\to 1}\ln z=\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac1x=1$ ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x\to 1}z=e$

ในที่สุดก็ได้แปะข้อนี้จริงๆซะที...

29. ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จาก $\mathbb{R}$ ไปยัง $\mathbb{R}$ ซึ่งมีคุณสมบัติว่า $f'(x)=g(x)$ และ $g'(x)=f(x)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และให้ $f(0)=2,\ g(0)=0$
จงแสดงว่า $[f(x)]^2-[g(x)]^2=4$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

[Mr.high]

ข้อ 29.
เราพิจารณา
$$ \int^{t}_{0}2g(x)f(x) dx $$
เมื่อ $t$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
$= \int^{t}_{0} 2g(x)g'(x)dx =\int^{t}_{0} 2g(x) d\:g(x) = [g(x)]^2|^{t}_{0} = [g(t)]^2-[g(0)]^2 = [g(t)]^2 $
และ $\int^{t}_{0}2g(x)f(x) dx = \int^{t}_{0} 2f(x)f'(x)dx = \int^{t}_{0}2f(x)d\: f(x) = [f(x)]^2|^t_0 = [f(t)]^2 - [f(0)]^2 = [f(t)]^2 -4 $
จึงได้ว่า $[g(t)]^2 = [f(t)]^2 -4$
ดังนั้น $$ [f(t)]^2 - [g(t)]^2 = 4$$

ข้อ 30
จงหาค่าของ
$$ lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int^x_0\sin t^3 d\:t}{x^4} $$

[Punk]

30. จาก Taylor series: $\sin t=t-t^3/3!+t^5/5!-\cdots$ ได้
\[
\sin t^3=t^3-\frac{t^9}{3!}+\cdots
\]
ดังนั้น
\[
\int_0^x\sin t^3\;dt=\frac{x^4}{4}-\frac{x^{10}}{10\cdot3!}+\cdots
\]
เพราะฉะนั้นตอบ 1/4

31. ให้ $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่ง $\int_0^1f(x)\;dx=0$ จงพิสูจน์ว่า มี $c\in(0,1)$ ซึ่ง
\[
\int_0^cxf(x)\;dx=0
\]

[Mr.high]

คุณ punk ช่วยใบ้ให้หน่อยได้มั้ยคับ
คิดมาคืนนึงแล้วคิดเท่าไรก็คิดไม่ออก

[Punk]

Hint: สมมติว่าไม่จริง และ $\int_0^cxf(x)\;dx>0$ ทุก $0<c<1$ จากนั้นจบแล้วครับ
ปล. ข้อนี้เป็นข้อสุดท้ายของ Romania NMO 2006 ลองหาใน mathlinks ได้ครับ