โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ?

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****
1.(NSEJS_2011-12)

8.(NSEJS_2011-12)
$DE\parallel BC$ และ $AD=3x-2,AE=5x-4,BD=7x-5$ และ $CE=5x-3$.ค่าของ $x$ เท่ากับ
(1) $1$
(2) $\frac{10}{7} $
(3) $1$ หรือ $\frac{10}{7} $
(4) $\frac{7}{10} $

ยังงงๆกับโจทย์ ความรู้ไม่ถึงที่จะเข้าใจ ช่วยอธิบายโจทย์ให้หน่อยครับ

(อ่านๆแล้ว เหมือนจะมีรูปประกอบ ?)

[กิตติ]

ลืมรูปจริงๆครับลุงBanker แปะรูปให้แล้วครับ
โจทย์น่าจะถามว่าค่า $x$ ที่สอดคล้อง ในตัวเลือก3 น่าจะหมายถึงมีค่า $x$ สองค่าที่ทำให้โจทย์เป็นจริง

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****
20.(์NSEA 2010-11)
ถ้า$\frac{\cos\alpha }{a} =\frac{\sin \alpha }{b} $ แล้ว จงหาค่าของ $a \cos2\alpha+b\sin 2\alpha$

$\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos\alpha=\frac{2a}{b} \sin^2 \alpha$
$b\sin 2\alpha=2a \sin^2 \alpha$
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha $
$a \cos2\alpha=a-2a\sin^2\alpha$
$=a$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****

8.(NSEJS_2011-12)

$DE\parallel BC$ และ $AD=3x-2,AE=5x-4,BD=7x-5$ และ $CE=5x-3$.ค่าของ $x$ เท่ากับ
(1) $1$
(2) $\frac{10}{7} $
(3) $1$ หรือ $\frac{10}{7} $
(4) $\frac{7}{10} $

สามเหลี่ยมคล้าย

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

$\dfrac{3x-2}{(3x-2) +(7x-5) } = \dfrac{5x-4}{(5x-4)+(5x-3)}$

$\dfrac{3x-2}{10x-7} = \dfrac{5x-4}{10x-7}$

$3x-2 = 5x-4$

$x=1$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****
12.(์NSEA 2010-11)
จากการสุ่มหยิบจำนวนสามจำนวนจากชุดเลข $1-20$ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนคู่

หยิบสามตัวเลข 3 จำนวนจาก 20 จำนวนได้เท่ากับ $\binom{20}{3}= 1140$ วิธี
ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนคู่ เกิดได้สามกรณี
1.คู่-คู่-คู่ เกิดได้ $\binom{10}{3} $
2.คู่-คี่-คี่ เกิดได้ $\binom{10}{2}\binom{10}{1} $
3.คู่-คู่-คี่ เกิดได้ $\binom{10}{2}\binom{10}{1} $
รวมเกิดได้ $120+450+450=1020$

ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนคู่ เท่ากับ $\frac{1020}{1140}=\frac{17}{19} $

วิธีที่ง่ายกว่าคือหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณเป็นเลขคี่ก่อน ซึ่งเท่ากับ $\frac{\binom{10}{3}}{\binom{20}{3}}=\frac{2}{19} $
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนคู่ เท่ากับ $1-\frac{2}{19}=\frac{17}{19}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****

12.(์NSEA 2010-11)
จากการสุ่มหยิบจำนวนสามจำนวนจากชุดเลข $1-20$ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของสามจำนวนเป็นจำนวนคู่

s = 20 เลือก 3 = 1140 วิธี

E = ?

คี่xคี่xคี่= คี่, มีจำนวน คี่ 10 จำนวน E = 10 x 9 x 8 = 720

คี่xคี่xคู่ = คู่

คี่xคู่xคู่ = คู่

คู่xคู่xคู่ = คู่

ที่เหลือเป็นคู่ = 1140 - 720 = 420

ความน่าจะเป็นจำนวนคู่ = $\frac{420}{1140} = \frac{7}{19}$

ผลคูณเป็นจำนวนคู่ น่าจะมากกว่านี้



หรือทำแบบนี้


คี่xคี่xคี่= คี่ = 10 x 9 x 8 = 720

คี่xคี่xคู่ = คู่ = 10 x 9 x 10 = 900

คี่xคู่xคู่ = คู่ = 10 x 10 x9 = 900

คู่xคู่xคู่ = คู่ = 10 x 9 x8 = 720

ความน่าจะเป็นจำนวนคู่ = $\frac{2520}{3240} = \frac{7}{9}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****
1.(NSEJS_2010-11) เมื่อ $a,b,c$ เป็นสัดส่วนต่อเนื่อง จงทำให้พจน์ $\frac{a^2+ab+b^2}{b^2+bc+c^2} $ อยู่ในรูปอย่างง่าย

$\frac{a}{b} =\frac{b}{c} \rightarrow b^2=ac$
$\frac{a^2+ab+b^2}{b^2+bc+c^2} =\frac{a^2+ab+ac}{ac+bc+c^2} =\frac{a}{c}$

[กิตติ]

ลุงBankerครับที่ลุงเขียนว่า เลือกเลขคี่สามจำนวนได้ $10\times 9\times 8$ มันมีการระบุตำแหน่ง เหมือนเรียงกันหน้ากระดาน มันรวมเวลาสลับตำแหน่งไปด้วย ต้องหารออกอีก $3!$ เพราะเวลาหยิบมันหยิบทีละสาม ไม่ได้สนใจลำดับครับ
หยิบได้
$1,3,5$
$3,1,5$
$5,1,3$
$1,5,3$
$3,5,1$
$5,3,1$.....
ได้ผลคูณเท่ากันครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****
8.(์NSEA 2010-11)
วงกลมวงหนึ่งสัมผัสแกน $y$ ที่จุด $P(0,9)$ และตัดแกน $x$ ที่จุด $A(3,0)$ และ จุด $B$.จงหาพิกัดของจุด $B$

ณ จุดสัมผัสนั้น สมการเส้นตรงที่จุดนั้นคือ $x=0$ เส้นตรงที่ตั้งฉากกับสมการเส้นตรงที่จุดสัมผัสคือ $y=9$ เราจะได้ว่า เส้นตรงเส้นนี้เป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ดังนั้นจุดศูนย์กลางคือ $(h,9)$ และพิกัดของจุด B คือ $(b,0)$
จะได้ว่า
$h^2=(h-3)^2+9^2$
$90=6h$
$h=15$

$(15-3)^2+9^2=(b-15)^2+9^2$
$12^2=(b-15)^2$
$(b-15)^2-12^2=0$
$(b-27)(b-3)=0$
$b=3,27$

ดังนั้นพิกัดของจุด B คือ $(27,0)$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Cachy-Schwarz

วิธีทำ โจทย์เหมือนกับการเเจกของ $73$ ชิ้นให้ $3$ คน $(a,b,c)$ โดยจะไม่ได้รับเลยก็ได้

โดย $stars~and~bars$ จะได้จำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{73+3}{3-1} =\binom{76}{2}=2850$ พจน์

ผมได้ไม่เท่ากัน ช่วยตรวจดูหน่อยว่าผมผิดตรงไหนครับ

$(a+(b+c))^{73}=(a^{73}(b+c)^0+k_1a^{72}(b+c)^1+...+k_{72}a^1(b+c)^{72}+(b+c)^{73}$

จำนวนพจน์$=1+2+3+...+73+74$

$\quad\quad\quad\,\,=\frac{74\times 75}{2}=2775$

[กิตติ]

ของน้องartty_60 น่าจะถูกครับ เพราะว่าไล่ตามที่เขียนแล้วเห็นชัดเลย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

อยากทราบว่าการหาจำนวนพจน์จากการกระจาย $(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^n$ ทำอย่างไงอ่ะครับ
------------------------------------------------------------------------------

เช่น
$(a_1+a_2+a_3)^3 = a_1^3+a_2^3+a_3^3+3a_1^2a_2+3a_1^2a_2+3a_1a_3^2+3a_1^2a_3+3a_2^2a_3+3a_2a_3^2+3a_1a_2a_3$ อย่างนี้ก็มีจำนวน 10 พจน์

$(a_1+a_2)^3=a_1^3+3a_1^2a_2+3a_1a_2^2+a_2^3$ อย่างนี้ก็มีจำนวน 4 พจน์

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

จำนวนพจน์ทั้งหมดจากการกระจายจะเท่ากับ จำนวนวิธีในการแจกของที่เหมือนกัน $n$ สิ่ง ลงในกล่องที่ต่างกัน $k$ กล่อง ซึ่งจะแจกได้ทั้งหมด $\binom{n+k-1}{k-1} $ หรือ $\binom{n+k-1}{n} $ วิธีครับ.

จำนวนวิธีการแจกของ $n$ ชิ้นที่เหมือนกันให้กับคน $k$ คน โดยที่บางคนอาจไม่ได้รับ จำได้ว่าคุณห้าดาวหรือคุณonasdi เคยอธิบายให้เข้าใจง่ายๆว่า เอาของหรือไม้กั้นใส่ลงไปอีก $k-1$ ชิ้น จะกลายเป็นจัดของทั้งหมด $n+k-1$ ชิ้นแล้วหยิบออกเท่ากับ $k-1$ จะได้จำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{n+k-1}{k-1} $

ผมจำไว้ว่า ถ้าต้องการแจกของ $n$ ชิ้นที่เหมือนกันให้กับคน $k$ คน โดยที่ทุกคนได้รับอย่างน้อยหนึ่งชิ้น ก็หยิบของไป $k$ ชิ้นไปแจกให้ก่อนคนละชิ้น จะเหลือของ $n-k$ ชิ้น จากนั้นเอาของที่เหลือมาแจกแบบที่บางคนอาจไม่ได้รับจะได้เท่ากับ $\binom{n-k+k-1}{k-1}=\binom{n-1}{k-1} $ วิธี

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****
17.(NSEA 2010-11)
จงหาค่ามากที่สุดของ $5\cos \theta+3 \cos (\theta +\frac{\pi }{3} )+3$

อ่านบทสร้างเสริมของคุณกอนที่นี....ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

$5\cos \theta+3 \cos (\theta +\frac{\pi }{3} )+3$
$=5\cos \theta+3\left(\,\frac{1}{2} \cos \theta-\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \theta\right)+3 $
$=5\cos \theta+\frac{3}{2} \cos \theta-\frac{3\sqrt{3} }{2} \sin \theta+3$
$=\frac{13}{2} \cos \theta-\frac{3\sqrt{3} }{2} \sin \theta+3$

มาดู ค่าสูงสุดของ $\frac{13}{2} \cos \theta-\frac{3\sqrt{3} }{2} \sin \theta$
มีค่าสูงสุดคือ $\sqrt{(\frac{13}{2})^2+(-\frac{3\sqrt{3} }{2})^2}=7 $
ค่ามากที่สุดของ $5\cos \theta+3 \cos (\theta +\frac{\pi }{3} )+3$ เท่ากับ $10$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลุงBankerครับที่ลุงเขียนว่า เลือกเลขคี่สามจำนวนได้ $10\times 9\times 8$ มันมีการระบุตำแหน่ง เหมือนเรียงกันหน้ากระดาน มันรวมเวลาสลับตำแหน่งไปด้วย ต้องหารออกอีก $3!$ เพราะเวลาหยิบมันหยิบทีละสาม ไม่ได้สนใจลำดับครับ
หยิบได้
$1,3,5$
$3,1,5$
$5,1,3$
$1,5,3$
$3,5,1$
$5,3,1$.....
ได้ผลคูณเท่ากันครับ

ขอบคุณครับ

คราวนี้มั่วไม่ถูก

[artty60]

ชุดที่5 ข้อ12

$\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

$\frac{ab(a^n+b^n)}{ba^n+ab^n}=\frac{2ab}{a+b}$

$(a^n+b^n)(a+b)=2(ba^n+ab^n)$

$a^{n+1}+b^{n+1}+(ab^n+ba^n)=2(ab^n+ba^n)$

$a^{n+1}+b^{n+1}=ab^n+ba^n$

$aa^n-ba^n=ab^n-bb^n$

$(a-b)(a^n-b^n)=0$

$\therefore$ ถ้า $a=b$ แล้ว $n=\mathbf{R}$

หรือถ้า$a\not= b$ แล้ว $n=0$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****

5.(NSEJS_2011-12)
กำหนดจุด $A,B,C$ ในระนาบ มีพิกัดคือ $(a,b+c),(b,c+a),(c,a+b)$ ตามลำดับ
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ในเทอมของ $a,,b,c$

ตอบ พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ 0