Trigonometric Marathon

[Mastermander]

$$ \int_0^{\infty}\sin(x^2)\ dx=\frac{1}{2i}\int_0^{\infty}e^{ix^2}-e^{-ix^2}\ dx $$

Let $\quad ix^2=-t\quad ,dx=e^{i\pi/4}\frac{dt}{2\sqrt{t}}$
then$$\int_0^{\infty}e^{ix^2}\ dx=\frac{e^{i\pi/4}}{2}\int_0^{\infty}e^{-t}t^{-1/2}\ dt=\frac{e^{i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}$$
Next,Let $\qquad ix^2=u\quad ,dx=e^{-i\pi/4}\frac{du}{2\sqrt{u}}$
thus $$\int_0^{\infty}e^{-ix^2}\ dx=\frac{e^{-i\pi/4}}{2}\int_0^{\infty}e^{-u}u^{-1/2}\ du=\frac{e^{-i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}$$
Hence $$\int_0^{\infty}\sin(x^2)\ dx=\frac{1}{2i}\Big(\frac{e^{i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}-\frac{e^{-i\pi/4}\sqrt{\pi}}{2}\Big)$$
$$=\frac{\sqrt\pi}{4i}\bigg(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt2}=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$$
...

ทำแบบนี้ได้ไหมครับ ใช้ Gamma function เข้ามาช่วย

[passer-by]

จริงอยู่ ที่วิธีของน้องนำไปสู่คำตอบได้ แต่ผมว่า มันไม่ใช่วิธีที่ reasonable ซักเท่าไหร่ในทางคณิตศาสตร์น่ะครับ คือน้องนำสิ่งที่ทำบน real numberได้ ไปทำกับ complex number เช่น $$\quad ix^2=-t\quad ,dx=e^{i\pi/4}\frac{dt}{2\sqrt{t}}$$

วิธีหนึ่งที่ใช้ solve ข้อนี้ได้ คือใช้ $ f(z)= e^{iz^2} $ แล้วทำ contour integral บนรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง ด้านข้างยาว R และมีมุมยอด 45 องศา จากนั้นค่อยมาแยกวิเคราะห์ integrand บน contour และส่วนจริง /ส่วนจินตภาพ กันทีหลังครับ

ถ้ายังไม่ clear ก็ไม่ต้องกังวลครับ เพราะเขาเรียนเรื่องพวกนี้กันปี2 หรือปี 3 โน่นแน่ะ

[Mastermander]

ขอบคุณครับ

พี่มี E-book Complex analysis ให้โหลดบ้างไหมครับ

ผมเจออยู่เว็บนึงไม่รู้ดีไหม

http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/ln...der/lnica.html

ช่วย comment หน่อยครับ

[passer-by]

เล่มที่ให้ linkไว้ ก็โอเคในระดับหนึ่งนะครับ ในระยะเริ่มต้นก็ลองอ่านจากพวก complex number's properties , elementary functions of complex variable ,analytic function (holomorphic) แล้วค่อยขยับขยายไปหา contour integration (ที่น้องเอามาถามบ่อยๆในช่วงหลัง) รวมไปถึงเรื่องอื่นๆ

เรื่อง E-book เกี่ยวกับ complex analysis ยอมรับว่าไม่ค่อยได้ download เก็บไว้น่ะครับ จะแนะนำได้ก็ในส่วน textbook มากกว่า

เล่มที่ผมชอบที่สุดตั้งแต่เรียนมา ก็คือ เล่มของ Brown & Churchill (Fundamental) กับเล่มของ Priestley (Advance) ครับ แต่ที่จะแนะนำสำหรับผู้เริ่มต้นคงเป็น เล่มของ Brown & Churchill ที่ชื่อว่า Complex Variables and Applications (ลองไปหาแถว shelf ของวิศวะ ที่ CU book (Siam square) ) ราคาประมาณเกือบ 300 บาทครับ

แต่ถ้าเป็นตำราไทย ไม่ค่อยเห็นเท่าไหร่นะครับ ที่คุ้นๆ ก็จะแฝงตัวอยู่ใน คณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า ของ เทคโนพระจอมเกล้าธนบุรี ไม่แน่ใจว่ามี version ของอาจารย์จุฬาหรือเปล่า รอคุณ M@gpie มายืนยันดีกว่าครับ

ว่าแล้วก็กลับสู่ mode ตรีโกณมิติต่อดีกว่า

43. Simplify $$ \sin\frac{\pi}{14}+6\sin^2\frac{\pi}{14}-8\sin^4\frac{\pi}{14} $$

ข้อนี้ไม่ยากครับ

[M@gpie]

น้อง Mastermander นี่ขยันจริงๆครับ เก่งด้วยสามารถ อ่าน Complex analysis ได้ด้วยตนเอง
แหะๆ มาเข้าเรื่องด้วยคนครับ
-หนังสือ ของ Brown & Churchill ที่ชื่อว่า Complex Variables and Applications มีที่ Cu book คับ ตอนนี้รู้สึกจะ 515 บาท(จากปก) แต่เล่มนี้ผมมะเคยอ่านครับ

-หนังสือภาษาไทยของอ.จุฬา ก็มี คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้า ของ ศ.มงคล เดชนครินร์ ครับ เพิ่งพิมพ์ปรับปรุงออกมาใหม่
หรือถ้าชอบแนว Real analysis ก็มี คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าขั้นสูง ของ อ.วัชรพงษ์ โขวิฑูรกิจ ครับ

-Ebook ของ Complex ผมพอมีบ้าง ติดต่อได้หลังไมค์ครับ (น่านยังกะดีเจ)

[Timestopper_STG]

แก้ตัวข้อ38ครับ

[Mastermander]

น้อง Timestopper_STG นี่ไม่ยอมแพ้เลย

$$\sin x+6\sin^2x-8\sin^4x=\sin x +\cos 2x - \cos 4x$$
$\sin\frac{\pi}{14}=\cos\frac{3\pi}{7}$
Easy to see that
$$\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12$$

44.
Find all solutions (x,y,z) of the system of Equations
$$\sin x+\sin y+\sin z=\frac{3}{2}$$
$$\cos x+\cos y+\cos z=\frac{3\sqrt3}{2}$$

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander
41. Evaluate $$ \displaystyle{\sum_{r=0}^{n-2}2^r\tan\frac{\pi}{2^{n-r}}} \quad ,n \geq 2$$

ใช้เอกลักษณ์ $ \tan(A) = \cot (A)-2\cot(2A) $

แล้วให้ $ A= \frac{\pi}{2^{n-r}} $ จากนั้น เมื่อแทนค่าเข้าไป ก็จะตัดกัน จนเหลือแค่ $ \cot \frac{\pi}{2^n} $

แล้วก็ตามมาด้วย ข้อ 45

Compute $$ \arccos \Bigg ( \frac{1}{\sqrt{1+(2+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6})^2 }} \Bigg ) $$

p.s. รู้สึกว่า ข้อ 40 กับ 44 ของน้อง Mastermander ยังไม่มีใครตอบนะครับ

[Mastermander]

Edit.

[warut]

โจทย์ข้อ 40. นี่เอามาจากไหนเหรอครับ ผมคิดว่าเฉลยยังไม่ถูกนะ ยกตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุม 2 มุมเท่ากับ $ 75^\circ $ เราจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ $$ \frac{ 5\sqrt6 +6\sqrt3 -7\sqrt2 -11 }{2} \approx 0.87 > \frac{ \sqrt 3}{2} $$

[Mastermander]

http://www.vcharkarn.com/include/vca...=105&Pid=36352

[warut]

ผมคิดว่า ข้อ 40. ไม่มีคำตอบหรอกครับ โดยใช้ Law of Sines เราสามารถแสดงได้ว่า $$ \frac{ a \sin A + b \sin B + c \sin C}{ a+b+c } = \frac{ \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C }{ \sin A + \sin B + \sin C } $$ ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1 เสมอเพราะ $ 0 < \sin^2 \theta < \sin \theta <1 $ เมื่อ $ 0 < \theta < 180^\circ $ แต่เราสามารถทำให้ expression อันนั้นเข้าใกล้ 1 เท่าไหร่ก็ได้ โดยให้ $ A=B \to 90^ \circ $ ครับ

[Mastermander]

44.Sol

[passer-by]

นี่ก็อาทิตย์เศษๆแล้ว ขอเฉลยดีกว่า

45. ให้ $$ \theta= \arccos \Bigg ( \frac{1}{\sqrt{1+(2+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{6})^2 }} \Bigg ) $$

ดังนั้น $ \tan \theta= (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}-1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$

และ $ \tan (45^ {\circ}+\theta)=\frac{1+\tan \theta}{1- \tan \theta}=\frac{\sin 75^{\circ}}{1-\sin 15 ^{\circ}} =\frac{1+\sin 15^{\circ}}{\cos 15 ^{\circ}}$

เพราะ $\frac{1+\sin x}{\cos x}= \tan (45^{\circ}+\frac{x}{2})$

สรุปได้ว่า $ \theta = 7.5 ^{\circ}=\frac{\pi}{24} $

p.s. ใครจะตั้งข้อ 46 ก็ตามสบายเลยนะครับ

[Mastermander]

46.Evaluate
$$\tan 46^\circ+\tan44^\circ-\tan1^\circ(\tan46^\circ-\tan44^\circ)$$