True - False Marathon

[Timestopper_STG]

แก้จุดผิดให้ละครับ จริงๆเราก็คงทำไปเรื่อยๆไม่ได้ด้วยนะครับ
คงได้แค่ประมาณอย่างที่คุณ nongtum ว่าแหละครับ

[Mastermander]

103. มีจำนวนจริง x ที่น้อยกว่า 0 และสอดคล้องกับสมการ $2^x=x^2$

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
103. มีจำนวนจริง x ที่น้อยกว่า 0 และสอดคล้องกับสมการ $2^x=x^2$

จริงครับ
ที่จริงข้อนี้จะตอบง่ายๆว่าวาดกราฟแล้วมันมีจุดตัดในช่วง [-1,0] ก็ได้นะครับ (โปรดดูรูปด้านล่างประกอบ) แต่ผมยังไม่ได้คิดครับว่าจะพิสูจน์ข้อความนี้อย่างไร:

หาก $f,g:[0,1]\to[0,1]$ เป็น strictly increasing และ strictly decresing function ตามลำดับ โดยที่อย่างน้อยหนึ่งในสองฟังก์ชัน surjective (ในกรณีนี้ ฟังก์ชันที่ surjective จะต้อง bijective ด้วย) กราฟของสองฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดเดียว

ผมคิดว่าจริงๆแล้วใช้แค่คุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลดพิสูจน์ก็น่าจะออก โดยไม่ต้องไปวุ่นวายกับ fixed point theorems แต่ผมอาจผิดก็ได้

แต่จากคำถามดังกล่าว ผมก็ขยายมาเป็นคำถามข้อนี้ครับ:

104. กำหนดกระดานระนาบรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD และเชือกสีแดงและน้ำเงินสองเส้น แต่ละเส้นยาวเท่ากับเส้นแทยงมุมของกระดานสี่เหลี่ยมนี้
ที่ปลายทั้งสองของเชือกแต่ละเส้นมีตะขอติดอยู่
หากกำหนดให้ปลายตะขอด้านหนึ่งของเชือกสีแดงเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน AB อีกปลายเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน CD
หากกำหนดให้ปลายตะขอด้านหนึ่งของเชือกสีน้ำเงินเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน AC อีกปลายเลื่อนไปมาได้อิสระบนด้าน BD
เชือกสีเดียวกันไม่ทับกันเองหรือแนบติดกันเอง เชือกหากไม่ซ้อนกันจะแนบบนระนาบกระดานเสมอ (ไม่มีเชือกลอยได้)
เราจะสรุปได้หรือไม่ว่า ไม่ว่าจะวางเชือกสองเส้นตามเงื่อนไขนี้อย่างไรก็ตาม เชือกสองเส้นนี้จะซ้อนกันอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ
(มันน่าจะจริงนะครับ แต่ผมนึกไม่ออกว่าจะพิสูจน์ยังไง)

[nooonuii]

103. จริง
พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = x^2 2^{-x}$ จะได้ว่า $f(-1)=2$ และ $f(0) = 0$
โดย Intermediate Value Theorem จะได้ว่ามี $c\in (-1,0)$ ซึ่งทำให้ $f(c) = 1$ นั่นคือ
$$c^2=2^c$$

104. จริง
มองสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ให้เป็นเซต $\Delta = \{(s,t)\in\mathbb{R}^2 : 0\leq s,t\leq 1\}$
โดยที่มองด้าน $AC$ ให้เป็นแกน $Y$ และด้าน $CD$ ให้เป็นแกน $X$ (นั่นคือ $C$ เป็นจุดกำเนิด)
เพื่อป้องกันปัญหาในเรื่องของการนิยามฟังก์ชัน ผมขออ้างว่า เราสามารถปรับเปลี่ยนเส้นเชือกทั้งสองเส้นให้อยู่ในรูป "กราฟ" ของฟังก์ชันต่อเนื่องได้เสมอ และเนื่องจากเราสนใจแค่การตัดกันของเส้นเชือก (ไม่ต้องการตำแหน่งที่แน่นอนของจุดตัด) กระบวนการนี้จึงไม่ได้เปลี่ยนแปลงคำตอบของปัญหาแต่อย่างใด ดังนั้น
เชือกเส้นสีน้ำเงินจะสามารถมองให้อยู่ในรูป $p(t) = (t,f(t))$ สำหรับ $t\in [0,1]$
ในทำนองเดียวกัน
เชือกเส้นสีแดงก็สามารถมองให้อยู่ในรูป $q(s)=(g(s),s)$ สำหรับ $s\in [0,1]$
(เชือกเส้นสีแดงพาดในทิศตรงข้ามกับเส้นสีน้ำเงินจึงต้องสลับตำแหน่งของจุดจาก $(s,g(s))$ เป็น $(g(s),s)$ ซึ่งเหมือนกับมองโดเมนให้อยู่บนแกน $Y$ แทนที่จะเป็นแกน $X$)
พิจารณาฟังก์ชัน $h:\Delta\to\Delta$ นิยามโดย $h(s,t) = (f(t),g(s))$
เราจะได้ว่า $h$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เนื่องจาก $f,g : [0,1]\to [0,1]$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
โดย Brouwer Fixed Point Theorem เราจะได้ว่า $h$ มี fixed point
นั่นคือ มีจุด $(a,b)\in \Delta$ ซึ่งทำให้ $h(a,b)=(a,b)$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $f(b)=a$ และ $g(a)=b$
ซึ่งทำให้เราได้ข้อสรุปว่า
$$p(b) = (b,f(b))=(g(a),a) = q(a)$$

เพราะฉะนั้นเชือกทั้งสองเส้นตัดกัน!!!!

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ปิดท้ายด้วยข้อสอบ Qualify วิชา Topology ที่ผมเพิ่งสอบเสร็จไปหมาดๆครับ ทำผิดไปเยอะเลย

95. ถ้า $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} }$ เมื่อ $x_n,y_n \in \{0 , 2\} $ แล้วจะได้ว่า $x_n = y_n$ ทุกค่า $n\in\mathbb{N}$

สงสัยเป็นเพราะคำว่า "Topology" นี่แหละที่ทำให้ไม่มีใครทำข้อนี้ ทั้งๆที่ไม่มีอะไรยากเลย

จริงครับ

สมมติให้ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ $x_k\ne y_k$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราให้ $x_k=0$ และ $y_k=2$ ดังนั้น $$\sum_{n=k}^\infty \frac{x_n}{3^n} \le \sum_{n=k+1}^\infty \frac{2}{3^n} = \frac{1}{3^k} < \frac{2}{3^k} \le \sum_{n=k}^\infty \frac{y_n}{3^n} $$ จึงทำให้ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{3^n} \ne \sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{3^n}$$

ป.ล. ผมยังดูไม่ออกเลยครับ ว่าข้อนี้มันเกี่ยวกับ topology ตรงไหน

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:

ป.ล. ผมยังดูไม่ออกเลยครับ ว่าข้อนี้มันเกี่ยวกับ topology ตรงไหน

โจทย์ข้อนี้ผมตัดตอนมาจากโจทย์ซึ่งให้พิสูจน์ว่า

The Cantor set is homeomorphic to the product space $$\prod_{i=1}^{\infty} \{0,2\}$$

ครับ โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ในหนังสือ Topology : A First Course ของ James. R. Munkres ครับ แต่ผมไม่ได้อ่านเล่มนี้เลยหลังจากเรียนที่เมืองไทยก็เลยงงไปเลยครับ มัวแต่อ่านอะไรยากๆอยู่ เลยได้คะแนนมาแค่ครึ่งเดียวเองครับ

ตามเวลาที่กำหนดไว้ในการสอบ โจทย์ข้อนี้ควรคิดให้ได้ภายใน 12 นาที ครับ
ซึ่งพอผมเห็นโจทย์ก็เปิดข้ามไปเลยเพราะคิดว่าต้องเสียเวลาคิดนานแน่ๆ สุดท้ายก็ไม่ได้กลับมาคิดอีกเลยเพราะทำข้ออื่นไม่ทัน แต่พอออกมานอกห้องสอบได้ไม่นานก็ดันคิดข้อนี้ออกซะงั้น เซ็งเลย

สำหรับวิธีคิดของผมก็คล้ายกับของคุณ Warut มากครับ แต่ของคุณ Warut จะกระชับกว่า
ผมเริ่มจากดูที่ตำแหน่งแรกเลยครับ โดยสมมุติว่า $x_1\neq y_1$ ซึ่งก็จะได้ข้อขัดแย้งแบบที่คุณ Warut แสดงให้ดู(ไอเดียเดียวกันครับ) ดังนั้น $x_1=y_1$ จากนั้นผมก็ตัดคู่นี้ออกแล้วไปดูคู่ที่สอง สาม ไปเรื่อยๆ แล้วใช้ induction สรุปเอาครับ

[warut]

อ๋อ...เล่มของ Munkres ผมก็มีครับ แต่ไม่ได้อ่าน (มีไว้ประดับบ้าน ) ว่ากันว่าสำหรับ Topology เล่มนี้อ่านง่ายสุดแล้วใช่เปล่าครับ

ถ้าจะให้ทำได้ใน 12 นาที ก็คงมีทางเดียวคือ เป็นข้อที่เคยทำมาแล้ว และยังจำได้อยู่ คิดสดๆคงยากนะครับ ยกเว้นพวกอัจฉริยะ...

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
เมทริกซ์ในข้อต่อไปนี้หมายถึงเมทริกซ์ของจำนวนจริง

75. ทุกเมทริกซ์จัตุรัสสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

เท็จครับ zero matrix ไม่สามารถเขียนในรูปผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐานได้

ถ้า $0=A+B$ นั่นคือ $B=-A$ เราจะได้ว่า ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน $B$ ก็จะเป็นเมทริกซ์เอกฐานด้วย และถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน $B$ ก็จะเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานด้วย

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
เมทริกซ์ในข้อต่อไปนี้หมายถึงเมทริกซ์ของจำนวนจริง
76. ทุกเมทริกซ์จัตุรัสสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์เอกฐาน

ถ้าคุณ nooonuii นับรวมถึงเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $1\times1$ ด้วยแล้วล่ะก็ ข้อความนี้เป็นเท็จครับ เพราะเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $1\times1$ ที่เป็นเมทริกซ์เอกฐานมีเพียงอันเดียวคือ $0$ และ $0+0=0$ เท่านั้น เป็นค่าอื่นไม่ได้อีก

ไม่ทราบว่านี่คือสิ่งที่คุณ nooonuii ต้องการใช่หรือเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ถ้าคุณ nooonuii นับรวมถึงเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $1\times1$ ด้วยแล้วล่ะก็ ข้อความนี้เป็นเท็จครับ เพราะเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $1\times1$ ที่เป็นเมทริกซ์เอกฐานมีเพียงอันเดียวคือ $0$ และ $0+0=0$ เท่านั้น เป็นค่าอื่นไม่ได้อีก

ไม่ทราบว่านี่คือสิ่งที่คุณ nooonuii ต้องการใช่หรือเปล่าครับ

ผมก็หาตัวอย่างค้านจากกรณีนี้ครับ พอขยายไปมิติที่สูงขึ้นดูเหมือนจะยากขึ้นเยอะเลย แต่แค่นี้ก็ได้ข้อสรุปแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
อ๋อ...เล่มของ Munkres ผมก็มีครับ แต่ไม่ได้อ่าน (มีไว้ประดับบ้าน ) ว่ากันว่าสำหรับ Topology เล่มนี้อ่านง่ายสุดแล้วใช่เปล่าครับ

ถ้าจะให้ทำได้ใน 12 นาที ก็คงมีทางเดียวคือ เป็นข้อที่เคยทำมาแล้ว และยังจำได้อยู่ คิดสดๆคงยากนะครับ ยกเว้นพวกอัจฉริยะ...

เล่มของ Munkres ถือเป็นตำราหลักของ Point-set Topology ครับ ส่วนของ Algebraic Topology จะเป็นของ Allen Hatcher ซึ่งสามารถ download ไปเก็บไว้อ่านเล่นได้ที่นี่ครับ

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

[warut]

โอ้ว...ขอบคุณมากครับสำหรับ e-book ดีๆ ยังไงก็ขอ download ไว้ก่อนล่ะ จะอ่านได้-ไม่ได้ จะได้อ่าน-ไม่ได้อ่าน ค่อยมาว่ากันอีกที

กลับมาที่ข้อ 76...

ถ้าสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $2\times2$ ขึ้นไป ข้อ 76. เป็นจริงนี่ครับ

ให้ $B=\{b_{ij}\}$ และ $C=\{c_{ij}\}$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n\times n$ โดยที่ $n\ge2$ และ $$ b_{ij}= \cases{ 1 & ,i=j=1 \\ 0 & ,\text{ otherwise} }$$ $$ c_{ij}= \cases{ 1 & ,i=j\ne 1 \\ 0 & ,\text{ otherwise} }$$ จะเห็นว่า $B+C=I$ และ $B,C$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (นั่นคือ $\det B=\det C=0$) เพราะมีแถวที่เป็น 0 หมด ดังนั้นถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n\times n$ ใดๆ เราจะได้ว่า $$A=AI=A(B+C)=AB+AC$$ โดยที่ $AB$ และ $AC$ เป็นเมทริกซ์เอกฐานทั้งคู่ (เนื่องจาก $\det AB=\det A\det B=0$ และ $\det AC=\det A\det C=0$)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:

กลับมาที่ข้อ 76...

ถ้าสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $2\times2$ ขึ้นไป ข้อ 76. เป็นจริงนี่ครับ

ให้ $B=\{b_{ij}\}$ และ $C=\{c_{ij}\}$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n\times n$ โดยที่ $n\ge2$ และ $$ b_{ij}= \cases{ 1 & ,i=j=1 \\ 0 & ,\text{ otherwise} }$$ $$ c_{ij}= \cases{ 1 & ,i=j\ne 1 \\ 0 & ,\text{ otherwise} }$$ จะเห็นว่า $B+C=I$ และ $B,C$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (นั่นคือ $\det B=\det C=0$) เพราะมีแถวที่เป็น 0 หมด ดังนั้นถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n\times n$ ใดๆ เราจะได้ว่า $$A=AI=A(B+C)=AB+AC$$ โดยที่ $AB$ และ $AC$ เป็นเมทริกซ์เอกฐานทั้งคู่ (เนื่องจาก $\det AB=\det A\det B=0$ และ $\det AC=\det A\det C=0$)

ว้าว เป็นความรู้ใหม่ของผมเลยครับ
มิน่าพยายามหาตัวอย่างค้านเท่าไหร่ก็ไม่เจอครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
เมทริกซ์ในข้อต่อไปนี้หมายถึงเมทริกซ์ของจำนวนจริง

77. ทุกเมทริกซ์จัตุรัสสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์ไม่เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

จริงครับ ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ และ $a\ne0$ ไม่ใช่ eigenvalue ของ $A$ ดังนั้น $$A=(A-aI)+aI$$ โดยที่ทั้ง $A-aI$ และ $aI$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานทั้งคู่ (เพราะ $\det(A-aI)\ne0$ และ $\det(aI)\ne0$)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
จริงครับ ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ และ $a\ne0$ ไม่ใช่ eigenvalue ของ $A$ ดังนั้น $$A=(A-aI)+aI$$ โดยที่ทั้ง $A-aI$ และ $aI$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานทั้งคู่ (เพราะ $\det(A-aI)\ne0$ และ $\det(aI)\ne0$)

เสริมนิดนึงครับว่า เราสามารถหา $a$ ที่มีคุณสมบัตินี้ได้ เพราะ ทุกเมทริกซ์จัตุรัสจะมี eigenvalue เป็นจำนวนจำกัด ของผมใช้ $A = \frac{1}{2}(A-aI) + \frac{1}{2}(A+aI)$ ซึ่งเลือก $a$ ให้ยากขึ้นมาอีกนิดคือทั้ง $a$ และ $-a$ ไม่เป็น eigenvalue ของ $A$