FFTMO9

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$$f(x-f(x))=f(x)+xf(-1)-kx...(1)$$
$$f(x)=f(x-f(x))+xf(1)-f(1)f(x)-kx...(2)$$

$(1)+(2)$ ครับ เเล้วยัดตัวค่าคงที่ทั้งหมด ให้อยู่ในรูป $c$ เเล้วเอาไปเเทนในโจทย์จะได้ว่า $f(x)=0,x$
ส่วน โจทย์ที่ว่า $$(f(a))^3+(f(b))^3+(f(c))^3=f(a^3+b^3+c^3)$$ ผมว่ามันมีคำตอบเป็น $f(x)=-x,x^n,n^x$ เมื่อ $n\in\mathbb{R}$ อ่ะครับ
โดยตอนนี้ได้เเค่ว่า
สมการสมมูลกับ $$f(a^3)+f(b^3)+f(c^3)=f(a^3+b^3+c^3)$$
เพราะ $f(a^3)=(f(a))^3\leftrightarrow f(0)=0$ ซึ่งหา $f(0)$ ได้ไม่ยาก
ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันพหุนามจะได้ว่าให้ $$f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$
เเทน $x=a^3,y=b^3,z=c^3$เเละโดยที่สมมุติไว้เลยได้ต่อว่า
$$a_{n}(x^n+y^n+z^n)+a_{n-1}(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})+...+a_1(x+y+z)+3a_0$$ $$=a_{n}(x+y+z)^n+a_{n-1}(x+y+z)^{n-1}+...+a_1(x+y+z)+a_0$$
ก็เทียบส.ป.ส ทำให้รู้ว่า $f(x)=\alpha x$ กลับไปเเทนใน $f(a^3)=(f(a))^3$ ก็ได้ $\alpha=-1,0,1$
นั่นคือ ตอนนี้ผมได้เเค่ว่า $f(a)=0,\pm a$ ส่วนที่เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็หยวนๆหน่อยเหอะ


ลองอสมการข้อนี้ครับ(ผมเเต่งเอง เเต่สวยดี 555+)
Let $x,y,z>0$
Prove $$2x\sqrt{y+z}+2y\sqrt{y+z}+2z\sqrt{z+x} \le 3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$$
ปล.อยากเติมเต็มเรขากับคอมบิอ่ะครับ TT

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Let $x,y,z>0$
Prove $$2x\sqrt{y+z}+2y\sqrt{y+z}+2z\sqrt{z+x} \leq 3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

$LHS. \leq \sqrt{8(x+y+z)(xy+yz+zx)} \leq \sqrt{9(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz} =3\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$
-----------------------------------------------------------------
ไหนๆ ก็มาอสมการแล้ว เอาอสมการ+เรขาอีกนิดนึงนะครับ

ให้ $P,Q,R$ เป็นจุดสัมผัสของวงกลมแนบใน $\bigtriangleup ABC$ สัมผัส $AB,BC,CA$ ตามลำดับ

จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{BC}{PQ}+\dfrac{CA}{QR}+\dfrac{AB}{RP} \geq 6$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

1. หาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} $ ที่สอดคล้องกับ

$$f(a)^3+f(b)^3+f(c)^3=f(a^3+b^3+c^3)$$

เมื่อ $a,b,c\in \mathbb{Z} $

ไม่ได้เล่นนานเลยครับ มาเก็บFEดีกว่าา
ให้ $$P(a,b,c):f(a)^3+f(b)^3+f(c)^3=f(a^3+b^3+c^3)$$
$$P(0,0,0):3f(0)^3=f(0) \Rightarrow f(0)=0$$
$$P(x,0,0):f(x^3)=f(x)^3$$
$$P(x,x,0):f(x^3+y^3)=f(x)^3+f(y)^3=f(x^3)+f(y^3) \Rightarrow f(a+b)=f(a)+f(b) \exists a,b \in \mathbb{Z} $$
$$\Rightarrow f(x)=f(1)+f(x-1)=2f(1)+f(x-2)=...=xf(1) , ให้ f(1)=k \Rightarrow f(x)=kx$$
แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x)=0,x,-x \forall x\in \mathbb{Z} $

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

ไม่ได้เล่นนานเลยครับ มาเก็บFEดีกว่าา
ให้ $$P(a,b,c):f(a)^3+f(b)^3+f(c)^3=f(a^3+b^3+c^3)$$
$$P(0,0,0):3f(0)^3=f(0) \Rightarrow f(0)=0$$
$$P(x,0,0):f(x^3)=f(x)^3$$
$$P(x,x,0):f(x^3+y^3)=f(x)^3+f(y)^3=f(x^3)+f(y^3) \Rightarrow f(a+b)=f(a)+f(b) \exists a,b \in \mathbb{Z} $$
$$\Rightarrow f(x)=f(1)+f(x-1)=2f(1)+f(x-2)=...=xf(1) , ให้ f(1)=k \Rightarrow f(x)=kx$$
แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x)=0,x,-x \forall x\in \mathbb{Z} $

เอาสมการโคชีมาอ้างก็ได้ครับ คือ ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนจริงที่สองคล้องกับ $f(a)+f(b)=f(a+b)$

แล้ว $f(x)=cx$ ทุก $x$ ในจำนวนจริงครับ

[จูกัดเหลียง]

#107 Hint โลด ( ผมว่าท่านเทพที่เหลือคงทำได้หันหมดอยู่เเล้วเหลือเเต่ผม )
#108 $f(x)=x^n$ ก็ได้ไม่ใช่อ่ครับ หรือผมงงไรอยู่ 555
#109 เเล้วต้องพิสูจน์ว่าต่อเนื่องอะไรเเบบนี้ป่าวครับ

[~ArT_Ty~]

มันยกกำลังทั้งฟังก์ชันนะครับ

[จูกัดเหลียง]

เเหะๆ ลืมไปเลย ยังไงช่วยเช็คที่ผมทำหน่อยครับ ^^

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

$$P(x,x,0):f(x^3+y^3)=f(x)^3+f(y)^3=f(x^3)+f(y^3) \Rightarrow f(a+b)=f(a)+f(b) \exists a,b \in \mathbb{Z} $$
$$\Rightarrow f(x)=f(1)+f(x-1)=2f(1)+f(x-2)=...=xf(1) , ให้ f(1)=k \Rightarrow f(x)=kx$$

สงสัยตรงบรรทัดล่างครับ

เงื่อนไข $f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$ บอกว่าสมการโคชีเป็นจริงเฉพาะจำนวนที่เป็นกำลังสามสมบูรณ์

คงต้องทำอะไรต่อนะ

[BLACK-Dragon]

เอาไฟล์ ภาพลงแล้วมันไม่ได้อ่ะครับ

มันขึ้นว่า ไฟล์คนละนามสกุล แปลงนามสกุลไฟล์ไงอ่ะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ให้ $P,Q,R$ เป็นจุดสัมผัสของวงกลมแนบใน $\bigtriangleup ABC$ สัมผัส $AB,BC,CA$ ตามลำดับ

จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{BC}{PQ}+\dfrac{CA}{QR}+\dfrac{AB}{RP} \geq 6$

Credit: passed-by

ต้องวาดรูปประกอบนะครับ เริ่มแรกก็ไล่ด้านเลย $BP=BQ= s-b$ จากนั้นโดย law of sine

$\dfrac{PQ}{\sin B}= \dfrac{s-b}{\sin \left(\,\dfrac{180-B}{2}\right)} $

$\therefore PQ = 2(\sin \dfrac{B}{2})(s-b)$

$\displaystyle \dfrac{BC}{PQ}+\dfrac{CA}{QR}+\dfrac{AB}{RP}= \dfrac{1}{2} \sum_{cyc} \dfrac{a}{(s-b)(\sin \dfrac{B}{2})}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq \dfrac{3}{2} \sqrt[3]{\dfrac{abc}{(\prod_{cyc} \sin \dfrac{A}{2})(\prod_{cyc} s-a)}}$

$\dfrac{abc}{(\prod_{cyc} \sin \dfrac{A}{2})(\prod_{cyc} s-a)}= \dfrac{4R\bigtriangleup }{(\dfrac{r}{4R})(\dfrac{\bigtriangleup ^2}{s})}=\dfrac{16R^2 \cdot \bigtriangleup \cdot s}{r \cdot \bigtriangleup ^2}=(\dfrac{4R}{r})^2$

$\therefore \sqrt[3]{\dfrac{abc}{(\prod_{cyc} \sin \dfrac{A}{2})(\prod_{cyc} s-a)}}=2\sqrt[3]{\dfrac{2R^2}{r^2}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq 2\sqrt[3]{\dfrac{2(2r)^2}{r^2}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \geq 4$

$\therefore \dfrac{BC}{PQ}+\dfrac{CA}{QR}+\dfrac{AB}{RP} \geq 6$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

hint ลากเส้น 2-3 เส้นแล้วหาด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้เจอ

จะเทพไปไหมครับ มองไม่ออกแต่ไปดูใน TMO 7 แล้วทึ่งมาก

ผมลูกทุ่งมากอ่ะครับ ทำได้เส้นที่ตัดมันขนานกัน แล้วก็อัด law of sine ไป แต่มันยืดยาวไปหน่อย

ปล. รูปภาพเอาลงไม่ได้่อ่ะครับไฟล์มันเกิน อ่ะครับ

[BLACK-Dragon]

กระทู้เริ่มเงียบต่อด้วย NT นะครับ

1.จงหาเลขสามหลักท้ายของ $2003^{2002^{2001}}$

2. พิสูจน์ว่า $1981^{1981}|1980^{1981^{1982}}+1982^{1981^{1980}}$

ปล. ใครที่รู้เรื่อง order ช่วยสอนหน่อยได้ไหมครับ ผมอยากรู้มาก (No Wiki นะครับ)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

กระทู้เริ่มเงียบต่อด้วย NT นะครับ

1.จงหาเลขสามหลักท้ายของ $2003^{2002^{2001}}$

วิธีของพี่ PP-nine+Cal(culator )
จากกวารสังเกต $$2002^{2001}\equiv 176\pmod {125}$$
$\therefore 2002^{2001}=400k+176$ เเละจาก $1000|(2003^{400}-1)$
พิจารณา $$2003^{2002^{2001}}\equiv 2003^{400k+176}\equiv 2003^{176}\equiv 921\pmod {1000}$$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

กระทู้เริ่มเงียบต่อด้วย NT นะครับ

1.จงหาเลขสามหลักท้ายของ $2003^{2002^{2001}}$

2. พิสูจน์ว่า $1981^{1981}|1980^{1981^{1982}}+1982^{1981^{1980}}$

ปล. ใครที่รู้เรื่อง order ช่วยสอนหน่อยได้ไหมครับ ผมอยากรู้มาก (No Wiki นะครับ)

ข้อ 1.$$2003^{2002^{2001}}\equiv 3^{2002^{2001}} (mod 1000) พิจารณา 3^{\phi (1000)}=3^{400}\equiv 1 (mod 1000) \rightarrow 3^{400k+j}\equiv 3^j(mod 1000) ,\exists k,j \in \mathbb{Z} $$
แต่$$2002^{2001}\equiv 2^{2001} (mod 400) ใช้ mod 25,16 แล้วใช้เศษเหลือจีนจะได้ว่า 2^{2001}\equiv 352 (mod 400) $$
ทำให้ได้ว่า$$3^{2002^{2001}} \equiv 3^{352}(mod 1000) ใช้ mod 125,8 แล้วใช้เศษเหลือจีนจะได้ว่า3^{352}\equiv 241 (mod 1000) \Rightarrow \therefore 2003^{2002^{2001}}\equiv 241 (mod 1000)$$

ข้อ 2.ใช้ Lemma (proof เองนะครับ)สำหรับ$a$ที่เป็นจำนวนคี่ที่$\geqslant 3$ และ$ n\in \mathbb{Z} ,n\geqslant 0$แล้วจะได้ว่า $$a^{n+1}||(a+1)^{a^n}-1 และ a^{n+1}||(a-1)^{a^n}+1$$ จะได้ว่า$$1981^{1981}||1982^{1981^{1980}}-1 และ 1981^{1983}||1980^{1981^{1982}}+1$$ทำให้ได้ว่า$$1981^{1981}|1980^{1981^{1982}}+1982^{1981^{1980}}$$

[passer-by]

มาเติมโจทย์ให้เป็นของขวัญปีใหม่ครับ (ไม่แน่ใจว่าของขวัญชิ้นนี้ จะเป็นยาขม หรือ ขนมหวาน นะครับ)

Inequalities

1. a,b,c > 0 และ a+b+c =1 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc} \leq \frac {3}{2} $$

2. a,b,c > 0 และ $a^2+b^2+c^2 =3$ พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1 $$

Number theory
3. หาจำนวนเต็มบวก a,b,c,d ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ (2^a+1)^b = (2^c-1)^d$

Plane Geometry

4. (Copied from สสวท. OCT 2011) สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ABC มีวงกลมแนบใน(จุด ศก. I) สัมผัส AB ที่ Q ,ลาก IT ขนานกับ CQ โดย T อยู่บน AB , TK สัมผัสวงกลมแนบในดังกล่าวที่ K (คนละจุดกับ Q) และตัด AC,BC ที่ L,N ตามลำดับ พิสูจน์ TL =TN

Functional Equation

5. หาฟังก์ชัน $ f: (1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ

$ f(x)-f(y) = (y-x)f(xy) \,\, \forall x,y >1 \,\, ,x \neq y $

Algebra

6. หา พหุนาม nonconstant P(x) ทั้งหมด ที่มี สปส. เป็นจำนวนจริง ซึ่ง ถ้า $a^2-b^2 \in \mathbb{Q}$ แล้ว $ P(a)-P(b) \in \mathbb {Q}$ ( กำหนด a,b เป็นจำนวนจริง)

Combinatorics
7. p(n) แทนจำนวน partition ของ n (เช่น 4 แบ่งเป็น 4, 1+3 , 2+2 ,1+1+2 ,1+1+1+1 แสดงว่า p(4)=5)
พิสูจน์ว่า มีจำนวนจริง c>0 ที่ $$ p(n) \geq c \cdot 2^{\left\lfloor\ \sqrt{n}\right\rfloor}$$

8. $S = (s_1 ,s_2,...,s_n)$ เป็น การเรียงสับเปลี่ยน (permutation) ของ 1,2,...,n และจะเรียก x ว่า local minimum ของ S ถ้า x มีค่าน้อยกว่าทุกสมาชิกที่ติดกับ x เช่น ถ้า S= (8,4,1,2,9,5,7,6,3) แสดงว่า 1,5,3 เป็น local minimum ของ S

หาจำนวน permutation $(s_1 ,s_2,...,s_n)$ ที่มีเฉพาะ 1,2 เท่านั้น เป็น local mininum
------------------------------------------------------------------------------------------------------

p.s. ขอให้ชาว mathcenter ทุกท่าน ผ่านเรื่องยากๆในปี 2012 ไปได้อย่างน่าอัศจรรย์ครับ