โจทย์หัดเเต่งเองครับ

[AnDroMeDa]

ประมาณว่าทุกพจน์ของอสมการมีกำลังเท่ากันอ่ะครับ

[~ArT_Ty~]

tangent line คืออะไรอ่ะครับ ใช้ยังไงครับ

[LightLucifer]

็#105
คือเรากำหนดให้ $a+b+c$ เป็นค่าคงที่อ่ะครับ ซึ่งจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อเป็นอสมการที่ ถ้าแทน $a$ ด้วย $ka$ แล้วอสมการสมมูลกับอสมการเดิม
#107
ดูได้ที่ #69,#70 ครับ

[จูกัดเหลียง]

งั้นเราก็กำหนด $abc$ เป็นค่าคงที่ก็ได้เหรอครับ อย่างที่คุณ Andromeda ทำใน#103

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $4(xyz)^4=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+1$
จงพิสูน์ว่า
$$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}+\frac{1}{5z^3+z} \ge \frac{1}{2}$$

ข้อนี้ไม่มีใครทำเลย
จากHintคุณ LightLucifer ได้ว่า
$$\sum_{cyc}(\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y})\geqslant\sum_{cyc}\frac{1}{2(xy)^2+1}$$$$
\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{1}{5x^3+x}\geqslant \frac{1}{2} \sum_{cyc}\frac{1}{2(xy)^2+1}=\frac{1}{2} (\frac{4(xyz)^2(x^2+y^2+z^2)+4((xy)^2+(yz)^2+(xz)^2)+3}{8(xyz)^4+4(xyz)^2(x^2+y^2+z^2)+2((xy)^2+(yz)^2+(xz)^2)+1} ) $$
$$=\frac{1}{2} (\frac{4(xyz)^2(x^2+y^2+z^2)+4((xy)^2+(yz)^2+(xz)^2)+3}{4(xyz)^2(x^2+y^2+z^2)+4((xy)^2+(yz)^2+(xz)^2)+3} )=\frac{1}{2} (\because 8(xyz)^4=2((xy)^2+(yz)^2+(zx)^2)+2)$$

[LightLucifer]

#109
ได้ครับ เพราะถ้า พิสูจน์กรณีนั้นจริงแล้ว กรณีที่ $a+b+c$,$abc$ เท่ากับค่้าอื่นก็แค่คูณค่าคงตัวเข้าไปก็จะจริงโดยทันที
#110
ลองพิสูจน์ HINT ดูนะครับ ^^

[PP_nine]

กระทู้นี้เกินร้อยแล้ว ท่าจะฮอทแล้วสิ

มาต่อโจทย์ที่จะทำให้เห็นกำลังของ Tangent line และอนุพันธ์ครับ

1. $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=k$ เมื่อ $k>0$ เป็นค่าคงที่ หาค่าต่ำสุดของ
$$\frac{e^x}{y+z}+\frac{e^y}{z+x}+\frac{e^z}{x+y}$$

2. โจทย์ผิดครับ $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=k$ เมื่อ $k>0$ เป็นค่าคงที่ หาค่าต่ำสุดของ
$$\frac{\ln x}{y+z}+\frac{\ln y}{z+x}+\frac{\ln z}{x+y}$$
และพิจารณาว่าค่า $k$ ควรมีเงื่อนไขอย่างไรจึงจะทำให้อสมการถูกต้อง (หรือก็คือ ทำต่อได้)

3. $x,y,z>1$ และ $x+y+z=3e$ หาค่าต่ำสุดของ
$$\frac{x^{(x^2+e^2)/x}}{y^{(y+1)/y}+z^{(z+1)/z}}+\frac{y^{(y^2+e^2)/y}}{z^{(z+1)/z}+x^{(x+1)/x}}+\frac{z^{(z^2+e^2)/z}}{x^{(x+1)/x}+y^{(y+1)/y}}$$
ลองพิจารณาดูเล่นๆว่าทำไมต้องกำหนด $x,y,z>1$

[AnDroMeDa]

จะพิสูจน์(HINTของคุณLightLucifer)ว่า $x,y>0 \Rightarrow \frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y} \ge \frac{1}{2(xy)^2+1}$

แบบคุณPP_nine โดยอสมการโคชีและA.M.-G.M.
$$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}=\frac{(\frac{1}{x})^2 }{5x+\frac{1}{x} }+\frac{(\frac{1}{y})^2 }{5y+\frac{1}{y} }\geqslant \frac{(\frac{1}{x} +\frac{1}{y})^2 }{5x+5y+\frac{1}{y} +\frac{1}{y} }=\frac{x+y}{xy(5xy+1)} \geqslant \frac{2}{\sqrt{xy}(5xy+1) }\geqslant \frac{1}{2(xy)^2+1} $$
ซึ่งอสมการสุดท้ายเป็นจริงเพราะสมมูลกับ$$(\sqrt{xy}-1)^2(4xy+3\sqrt{xy}+2 )\geqslant 0 $$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

1. $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=k$ เมื่อ $k>0$ เป็นค่าคงที่ หาค่าต่ำสุดของ
$$\frac{e^x}{y+z}+\frac{e^y}{z+x}+\frac{e^z}{x+y}$$

พิจารณา$$f(x)=\frac{e^x}{k-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{e^x(k-x+1)}{(k-x)^2}\Rightarrow f''(x)=\frac{e^x((k-x+1)^2+1)}{(k-x)^3}>0 (\because k>x) $$
ดังนั้น$f(x)=\frac{e^x}{k-x}$เว้าในช่วง$(0,\infty )$โดยอสมการJensenได้ว่า
$$\frac{e^x}{y+z}+\frac{e^y}{z+x}+\frac{e^z}{x+y}\geqslant 3(\frac{e^\frac{k}{3} }{k-\frac{k}{3} } )=\frac{9e^\frac{k}{3} }{2k} $$
ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ$\frac{9e^\frac{k}{3} }{2k}$
ปล.HINTข้อ2,3ให้ทีครับ

[PP_nine]

ขอโทษครับ ข้อสองอสมการกลับข้าง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

3. $x,y,z>1$ และ $x+y+z=3e$ หาค่าต่ำสุดของ
$$\frac{x^{(x^2+e^2)/x}}{y^{(y+1)/y}+z^{(z+1)/z}}+\frac{y^{(y^2+e^2)/y}}{z^{(z+1)/z}+x^{(x+1)/x}}+\frac{z^{(z^2+e^2)/z}}{x^{(x+1)/x}+y^{(y+1)/y}}$$
ลองพิจารณาดูเล่นๆว่าทำไมต้องกำหนด $x,y,z>1$

hint

AM-GM จะมีประโยชน์มากถ้า $x,y,z>1$
และใช้การหาค่ามากสุดของ $f(x)=x^{1/x}$ มาช่วยครับ (ช่วยลดทอนความยุ่งเหยิงออกไป)

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

3. ให้$a,b,c>0$จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geqslant \dfrac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c} $$

โดยอสมการ Schur ดีกรี 2 จะได้ว่า จากนั้นจัดรูปดีๆ
$$a^4+b^4+c^4 \ge \sum_{sym} ab^3 -3abc(a+b+c)$$
$$\left(\,a^2+b^2+c^2\right)^2 \ge (a+b+c)(\sum_{sym} ab^2-3abc)$$
จะได้ว่า
$$\dfrac{\left(\,a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum_{sym} ab^2-3abc} \ge a+b+c$$

จากนั้น คูณ a ทั้งเศษและส่วน
$$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{a^4}{ab^2-abc+ac^2} \ge \dfrac{\left(\,a^2+b^2+c^2\right)^2}{ \sum_{sym} ab^2-3abc} \ge a+b+c \ge\dfrac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c} $$

[จูกัดเหลียง]

ได้เเค่ว่า $f(x)\le \sqrt{2}$ เองอ่ะครับ เเบบนี้ก็ไม่ชาร์ปอ่ะดิครับ
หรือทำอย่างไรได้อีกครับ = =

[LightLucifer]

#113 LIKE ครับ ^^

[PP_nine]

#117 มันเป็นเรื่องของแคลคูลัสครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

3. $x,y,z>1$ และ $x+y+z=3e$ หาค่าต่ำสุดของ
$$\frac{x^{(x^2+e^2)/x}}{y^{(y+1)/y}+z^{(z+1)/z}}+\frac{y^{(y^2+e^2)/y}}{z^{(z+1)/z}+x^{(x+1)/x}}+\frac{z^{(z^2+e^2)/z}}{x^{(x+1)/x}+y^{(y+1)/y}}$$
ลองพิจารณาดูเล่นๆว่าทำไมต้องกำหนด $x,y,z>1$

ให้ $y=x^{1/x}$ ได้ $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$

take derivative,
$$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1- \ln x}{x^2}$$
$$\therefore \frac{dy}{dx}=x^{1/x} \Big( \frac{1-\ln x}{x^2} \Big)$$
ค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $\frac{dy}{dx}=0$ หรือก็คือ $x=e$ ซึ่งสอดคล้องกับการที่สมการควรจะเกิดเมื่อ $x=y=z=e$

ดังนั้น $x^{1/x},y^{1/y},z^{1/z} \le e^{1/e}$ ตัวนี้เก็บไว้ก่อน

มาดูตัวบนที่น่าจะยุ่งเหยิง เราคาดการณ์แล้วว่าสมการน่าจะเกิดเมื่อ $x=y=z=e$

ฉะนั้น โดย AM-GM ก็จะได้ $\frac{x^2+e^2}{x} \ge \frac{2ex}{x} = 2e$

แต่ $x>1$ ทำให้ฟังก์ชัน $f(\xi )=x^{\xi}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม การที่จะยกกำลังจึงไม่ทำให้อสมการกลับข้าง

ดังนั้น จาก $\frac{x^2+e^2}{x} \ge 2e$ ก็จะได้
$$x^{(x^2+e^2)/x} \ge x^{2e}$$
นอกจากนี้ยังมีที่เราเก็บไว้คือ $y^{1/y},z^{1/z} \le e^{1/e}$ ดังนั้น
$$\sum_{cyc} \frac{x^{(x^2+e^2)/x}}{y^{(y+1)/y}+z^{(z+1)/z}} \ge \sum_{cyc} \frac{x^{2e}}{e^{1/e}(y+z)}$$
โดย Cauchy-Schwarz กับ RHS
$$\sum_{cyc} \frac{x^{(x^2+e^2)/x}}{y^{(y+1)/y}+z^{(z+1)/z}} \ge \frac{(x^e+y^e+z^e)^2}{2e^{1/e}(x+y+z)}$$
และใส่ Power mean กับตัวบนเป็น $x^e+y^e+z^e \ge 3e^e$
$$\therefore \sum_{cyc} \frac{x^{(x^2+e^2)/x}}{y^{(y+1)/y}+z^{(z+1)/z}} \ge \frac{9e^{2e}}{2e^{1/e}(3e)}=\frac{3}{2} \cdot e^{2e-1-1/e}$$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ฉะนั้น โดย AM-GM ก็จะได้ $\frac{x^2+e^2}{x} \ge \frac{2ex}{x} = 2e$

ผมลืมไปสนิทเลยย ก็ว่าอยู่ทำไมทำไม่ออก