marathon:ม.ปลาย

[tongkub]

รบกวนอนุกรมอีกข้อหนึ่งนะครับ

ถ้าผลบวกอนุกรม $a + 2a^2 + 3a^3 + .......$ เป็น $\frac{3}{4}$

แล้ว $\frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \frac{3}{a^3} + ...... + \frac{9}{a^9}$ มีค่า่เท่าใด

[Ne[S]zA]

จาก $a+2a^2+3a^3+...=\dfrac{3}{4}$______(1)
หารด้วย $a$ ตลอดจะได้ว่า $1+2a+3a^2+...=\dfrac{3}{4a}$_______(2)
$(2)-(1);$ $ 1+a+a^2+...=\dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{a}-1)$
$\dfrac{1}{1-a}=\dfrac{3}{4}(\dfrac{1-a}{a})$
$3a^2-10a+3=(3a-1)(a-3)=0$
$a=\dfrac{1}{3},3$ แต่ $|r|<1$ ดังนั้นใช้ได้ค่าเดียวคือ $a=3$
ให้ $k=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{a^2}+...+\dfrac{8}{a^8}+\dfrac{9}{a^9}$
$ak=1+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{a^2}+...+\dfrac{9}{a^8}$
$k(a-1)=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+...+\dfrac{1}{a^8}-\dfrac{9}{a^9}=-\dfrac{9}{a^9}+\dfrac{1(1-\dfrac{1}{a^9})}{1-\dfrac{1}{a}}=\dfrac{a^9-1}{a^8(a-1)}-\dfrac{a^9}{9}$
$\therefore k=(\dfrac{1}{a-1})(\dfrac{a^9-1}{a^8(a-1)}-\dfrac{9}{a^9})$

แทน $a=\dfrac{1}{3}$ จะได้ $k=\dfrac{3}{4}(2\cdot 3^{11}- 3^{9} +1)$
ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จาก $a+2a^2+3a^3+...=\dfrac{3}{4}$______(1)
หารด้วย $a$ ตลอดจะได้ว่า $1+2a+3a^2+...=\dfrac{3}{4a}$_______(2)
$(2)-(1);$ $ 1+a+a^2+...=\dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{a}-1)$
$\dfrac{1}{1-a}=\dfrac{3}{4}(\dfrac{1-a}{a})$
$3a^2-10a+3=(3a-1)(a-3)=0$
$a=\dfrac{1}{3},3$
ให้ $k=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{a^2}+...+\dfrac{8}{a^8}+\dfrac{9}{a^9}$
$ak=1+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{a^2}+...+\dfrac{9}{a^8}$
$k(a-1)=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+...+\dfrac{1}{a^8}-\dfrac{9}{a^9}=-\dfrac{9}{a^9}+\dfrac{1(1-\dfrac{1}{a^9})}{1-\dfrac{1}{a}}=\dfrac{a^9-1}{a^8(a-1)}-\dfrac{a^9}{9}$
$\therefore k=(\dfrac{1}{a-1})(\dfrac{a^9-1}{a^8(a-1)}-\dfrac{9}{a^9})$
แทน $a=3$ จะได้ $k=\dfrac{1}{4}(\dfrac{3^{10}-21}{3^9})$
แทน $a=\dfrac{1}{3}$ จะได้ $k=\dfrac{3}{4}(2\cdot 3^{11}- 3^{9} +1)$
ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ

จะมาบอกว่า $a=3$ ไม่ได้ ไม่งั้นอนุกรมนี้จะไดเวอร์เจนต์ ครับ ใช้ได้ค่าเดียวครับ

[tongkub]

ขอบคุณครับ เว็ปนี้รวมเซียนเลย เซียนแต่ละคนก็เทพๆทั้งนั้น จะผิดได้อย่างไรครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

จะมาบอกว่า $a=3$ ไม่ได้ ไม่งั้นอนุกรมนี้จะไดเวอร์เจนต์ ครับ ใช้ได้ค่าเดียวครับ

เอ่อ จริงด้วยครับ ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

[quote=poper;93696]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

มีข้อสงสัยเพิ่มครับว่า จะเป็นจริงเสมอไปมั้ยครับที่อนุกรม 2 ชั้น $a_n$ จะเป็นพหุนามกำลัง 2
แล้วอนุกรม 3 ชั้นจะเป็นพหุนามกำลัง 3 หรือไม่
ผมพยายามหาที่มาของสูตรตั้งนานแล้วแต่คิดไม่ออก ถ้ามีแนวคิดหรือวิธีพิสูจน์ก็ขอบคุณมากเลยครับ

สมมติ $a_n$ เป็นลำดับสองชั้น

ให้ $b_n=a_{n+1}-a_n$

$c_n=b_{n+1}-b_n$

เนื่องจาก $a_n$ เป็นลำดับสองชั้น

$c_n$ จะเป็นค่าคงที่

ดังนั้น $c_n=c_1=b_2-b_1=a_3-2a_2+a_1$

จึงได้

$b_{n+1}=b_n+a_3-2a_2+a_1$

$b_n=b_{n-1}+a_3-2a_2+a_1$

$\vdots$

$b_2=b_1+a_3-2a_2+a_1$

บวกทุกสมการเข้าด้วยกันแล้วตัดทอนส่วนที่เหมือนกันจะได้

$b_{n+1}=b_1+n(a_3-2a_2+a_1)$

$~~~~~=(a_2-a_1)+n(a_3-2a_2+a_1)$

$~~~~~=na_3-(2n-1)a_2+(n-1)a_1$

ดังนั้น

$a_{n+2}=a_{n+1}+na_3-(2n-1)a_2+(n-1)a_1$

$a_{n+1}=a_n+(n-1)a_3-(2n-3)a_2+(n-2)a_1$

$\vdots$

$a_{4}=a_3+2a_3-3a_2+a_1$

บวกทุกสมการเข้าด้วยกันแล้วตัดทอนส่วนที่เหมือนกันจะได้

$a_{n+2}=a_3+\Big(\dfrac{n(n+1)}{2}-1\Big)a_3+(n^2-1)a_2+\dfrac{n(n-1)}{2}a_1$

สรุปเป็นสูตรได้ว่า

$$a_{n+2}=\dfrac{n(n+1)}{2}a_3-(n-1)(n+1)a_2+\dfrac{n(n-1)}{2}a_1$$

ตัวอย่าง สมมติลำดับคือ $1,1,3,7,13,21,...$

ลำดับผลต่างชั้นแรกเป็น $0,2,4,6,8,...$

ลำดับผลต่างชั้นที่สองเป็น $2,2,2,2,...$

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับสองชั้น

จึงได้ว่า

$a_{n+2}=\dfrac{3n(n+1)}{2}-(n-1)(n+1)+\dfrac{n(n-1)}{2}$

$~~~~~~=n^2+n+1$

ดังนั้น

$a_n=n^2-3n+3$

[Siren-Of-Step]

จงหาผลบวกในรูปแบบทั่วไปจนถึง $n$
$ 3+7+14+24+37... $



โดย $a_1 = 3 , a_2 = 7 , a_3 = 14 $

เข้ารูปแบบสมการ $y=ax^2+bx+c$
$3 = a+b+c$
$7 = 4a+2b+c$
$14 = 9a+3b+c$
แล้วก็แก้สมการ หาค่า $a,b,c$
ตอบ $\sum_{x=1}^{n} (\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{1x}{2} + 2 )$

อันนี้คือ ลำดับ 2 ชั้นรึเปล่าอะ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมต้องขอบคุณแทนคุณpoperด้วยครับ
คุณnooonui
พอดีคุณpoper อยากได้บทพิสูจน์กรณีที่ n=3 ขึ้นไป
ว่าผลต่างอันดับที่ n จะเป็นค่าคงที่หรือไม่
ผมคงต้องรบกวนคุณnooonui แสดงวรยุทธ์ด้วยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงหาผลบวกในรูปแบบทั่วไปจนถึง $n$
$ 3+7+14+24+37... $

โดย $a_1 = 3 , a_2 = 7 , a_3 = 14 $

อันนี้คือ ลำดับ 2 ชั้นรึเปล่าอะ

เป็นครับ ลองเอาสองเทอมที่อยู่ติดกันมาลบกันจะได้

$4,7,10,13,...$

ถ้าทำแบบเดิมอีกรอบจะได้

$3,3,3,...$

ซึ่งคงที่ ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับสองชั้น

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ผมต้องขอบคุณแทนคุณpoperด้วยครับ
คุณnooonui
พอดีคุณpoper อยากได้บทพิสูจน์กรณีที่ n=3 ขึ้นไป
ว่าผลต่างอันดับที่ n จะเป็นค่าคงที่หรือไม่
ผมคงต้องรบกวนคุณnooonui แสดงวรยุทธ์ด้วยนะครับ

หมายถึงอะไรครับ ถ้าหมายถึงว่า

ลำดับ $k$ ชั้นจะมีสูตรในรูปพหุนามกำลัง $k$

อันนี้สามารถเลียนแบบวิธีแบบ $2$ ชั้นที่ผมแสดงให้ดูได้ครับ

แต่คงไม่แสดงให้ดูนะครับ เพราะมันยาวและยุ่งกับ index เยอะมาก

แต่เอาสูตรมาให้ดูเล่นๆก็แล้วกัน

ถ้า $a_0,a_1,a_2,...,a_k,....$ เป็นลำดับ $k$ ชั้นแล้ว

$$a_n=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k)}{k!}\Big[\sum_{j=0}^k\dfrac{(-1)^{k-j}\binom{k}{j}a_j}{n-j}\Big]$$

สำหรับบทพิสูจน์นั้นเกินม. ปลายไปแล้วล่ะครับ แต่ก็ไม่ยากถ้าอยากทำความเข้าใจ

ผมเริ่มต้นการพิสูจน์ด้วย Lagrange Interpolation Polynomial ครับ อยากรู้ว่าคืออะไรลองดูที่นี่

Lagrange Polynomial

ตัวอย่าง สมมติลำดับคือ $1,1,3,7,...$ ซึ่งเรารู้แล้วว่าเป็นลำดับสองชั้น โดยที่ $a_0=1,a_1=1,a_2=3$

ดังนั้น

$a_n=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2!}\left[\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n-1}+\dfrac{3}{n-2}\right]$

$~~~=n^2-n+1$

สูตรนี้ต่างจากสูตรเดิมเนื่องจากผมเริ่มลำดับใหม่ที่ $a_0$ แทน $a_1$ ครับ

[poper]

ขอบคุณคุณ nooonuii และคุณกระบี่ ด้วยครับหายไป 1 วันผมก็ได้วิธีพิสูจน์ง่ายๆมาครับแต่ต้องขยันกันหน่อยครับ
$a_n$ เป็นลำดับ 2 ชั้น ให้ $b_n$ เป็นลำดับของผลต่างชั้นที่ 1 และผลต่างชั้นที่ 2 เป็นค่าคงที่ d จะได้ว่า
$a_2-a_1=b_1$
$a_3-a_2=b_2$
$a_4-a_3=b_3$
$\ \ \ \ \ \bullet $
$\ \ \ \ \ \bullet $
$\ \ \ \ \ \bullet $
$a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}$
บวกสมการทั้งหมดจะได้
$$a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$
$b_k=b_1+(k-1)d$
$$a_n=a_1+\frac{n-1}{2}\bigg[2b_1+(n-2)d\bigg]$$
$$2a_n=2a_1+2(n-1)b_1+(n-1)(n-2)d$$
$$=dn^2+(2b_1-3d)n+2(a_1-b_1+d)$$
$$a_n=\frac{d}{2}n^2+\frac{2b_-3d}{2}n+(a_1-b_1+d)$$
ให้ $\frac{d}{2}=A$ ,$\frac{2b_-3d}{2}=B$ ,$(a_1-b_1+d)=C$
ดังนั้น $$a_n=An^2+Bn+c$$ จากวิธีนี้จะเห็นความสัมพันธ์ของ A กับผลต่างอันดับ 2 ด้วยครับ
ส่วน 3 ชั้น ทำแล้วก็จะได้กำลัง 3 ครับ แต่ยังไม่ไม่ได้ทำในรูปทั่วไปกำลัง n เลย คุณ nooonuii ก็ให้สูตรมาแล้ว
จะพยายามทำความเข้าใจนะครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ครับ ถ้าเราช่วยกันอย่างนี้จะได้ความรู้มากขึ้นเยอะเลยครับ
และดีกว่ามานั่งถกอะไรเพื่อให้ฮาทั้งขึ้นทั้งล่องมากมายเลยครับ
ป.ล. ถ้าเป็นลำดับที่เป็นรูปพหุนามกำลัง n การหาค่าA น่าจะต้องนำค่าผลต่างอันดับที่ n หารด้วย n!ไหมครับ คุณpoper

[poper]

ใช่แล้วล่ะครับ แต่กำลังหาวิธีที่จะแสดง
ว่าลำดับ n ชั้น จะมีพจน์ทั่วไป เป็นพหุนามดีกรี n อยู่ครับ ถ้ามีแนวคิดดีๆก็แชร์กันนะครับ
ฮาได้ครับไม่ผิดกฏครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

งั้นปัญหานี้น่าจะช่วยได้ครับ เป็นปรนัยครับ
ถ้า $10<x<100$และ$1<y<5$ ดังนั้นจงพิจารณาประโยคต่อไปนี้
1) $2<\frac{x}{y} <100$
2) $\frac{1}{10} <\frac{y^2}{x} <\frac{1}{4} $
3) $11< x+y^2 < 125$
4) $9 < x-y<95$
ข้อใดถูกต้อง
ก. ข้อ 1 )เท่านั้นที่ผิด
ข. ข้อ 4 ) เท่านั้นที่ผิด
ค. ข้อ 2) และ 3) เท่านั้นที่ถูก
ง. ข้อ 1) และ 3) เท่านั้นที่ถูก
จ. ข้อ 3) และ 4) เท่านั้นที่ถูก
ข้อนี้เป็นข้อสอบเอนทรานซ์ปี2523 เมื่อก่อนตอนที่ยังไม่ได้ฮาทั้งขึ้นทั้งล่องผมทำได้ครับ
เพราะมี 1 ตัวเลือกเท่านั้นที่ถูกต้อง
แต่หลังจากอ่านความเห็นฮาทั้งขึ้นทั้งล่องแล้ว ตอนนี้ไม่เหลือตัวเลือกแล้วครับ

[poper]

ตอบข้อ ง. ใช่มั้ยครับ
แต่ถ้าคิดแบบคุณหยินหยาง จะกลายเป็นว่ามี ข้อ 2 ถูกด้วย ใช่มั้ยครับ