โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[Keehlzver]

ถูกอย่างว่าครับ แก้ให้แล้วครับ

ส่วน EMV ก็ที่นี่เลย http://www.4shared.com/document/MhED...g_Variabl.html

แถม SMV ให้ http://www.4shared.com/document/POY4...g_Variabl.html

ส่วนคำถามของคุณจูกัดเหลียงก็ดูนี่ครับ http://www.4shared.com/document/fPYs86JM/sos_schur.html จำๆเอกลักษณ์เอาไว้ใช้ บวกกับพยายามพิสูจน์เอกลักษณ์ให้ได้เอง

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

เพราะว่าเครื่องหมายของ a,b,c เป็นลบทำให้บางพจน์เป็นบวก สมมติโดยไม่เสียนัยว่า $a\geq b \geq c$ เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ในกรณีที่ $a,b \rightarrow 0$ $c \rightarrow \infty $

ดังนั้น

\[\begin{array}{cl}
& \Sigma ((a+b)^2+3-a-b-c)(a-b)^2 \\
& \geq ((a+b)^2+3-a-b-c)(b-c)^2+((b+c)^2+3-a-b-c)(b-c)^2+((c+a)^2+3-a-b-c)(c-a)^2 \\
& \geq ((a+b)^2+(b+c)^2+6-2(a+b+c))(b-c)^2 \geq 0

\end{array} \]


เป็นจริงจาก Assumption ของ $c$

ผมอ่านตรงนี้ไม่เข้าใจอ่ะครับ

[Keehlzver]

หรือผมอธิบายแย่ไปนะ

บรรทัดที่สองกับบรรทัดที่สาม มันรวมสปส.หน้าพจน์ $(b-c)^2$ เข้าด้วยกัน อีกก้อนมากกว่าเท่ากับศูนย์อยู่แล้ว ทีนี้เราก็ต้องมาดูว่า $(c+a)^2+(b+c)^2+6-2(a+b+c) \geq 0$ ซึ่งมัน Obvious จากการที่ $c \rightarrow \infty$ ($c$ มีค่าวิ่งเข้าหาอนันต์ ทำให้ $-c$ ติดลบแบบสุดๆ)

ส่วนกรณีอื่นๆที่เหลือ ยิ่ง $a,b$ เป็นลบข้างซ้ายมันก็ยิ่งเพิ่มเข้าไปใหญ่ เลย check กรณีที่ $a,b \rightarrow 0$ (มีค่าวิ่งเข้าหา 0 ก็พอ ส่วนกรณีจำนวนจริงบวก ก็แสดงไว้แล้วในความคิดเห็นก่อนหน้าครับ)

เข้าใจไหมครับ? (อย่าลิมโพสต์เฉลยนะครับ)

เออ... ส่วนของคุณจูกัดเหลียง Weirestrass inequality กล่าวเอาไว้แบบนี้ครับ
ถ้า $a_{1},...,a_{n} > 0$ แล้ว $(1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{n}) \geq 1+a_1+a_2+...+a_n$
ถ้า $0 < a_{1},...,a_{n} \leq 1$ แล้ว $(1-a_{1})(1-a_{2})...(1-a_{n}) \geq 1-(a_1+a_2+...+a_n)$
โดยที่ $n$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ผมยังมองไม่ออกเลยครับว่าจะประยุกเข้าไปยังไง

[LightLucifer]

$a \ge b \ge c$ แล้วทำไม $a,b \rightarrow 0,c \rightarrow \infty $ อ่ะครับ
แล้วทำไม $(a-b)^2 \ge (b-c)^2$

[Keehlzver]

จริงด้วยแฮะ ผมใช้ผิดคู่ครับ เปลี่ยนไปใช้คู่ $(c-a)^2 \geq (b-c)^2$ แทน
ทำให้ $((c+a)^2+(b+c)^2+6-2(a+b+c))(b-c)^2 \geq 0$

ลืมบอกไป...ผมแก้ความคิดเห็นก่อนหน้าเรียบร้อยแล้วครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

เพราะว่าเครื่องหมายของ a,b,c เป็นลบทำให้บางพจน์เป็นบวก เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ในกรณีที่ $a,b\rightarrow 0,c\rightarrow \infty $

ผมไม่เข้าใจตรงนี้อ่ะครับ
แล้วก็
$((c+a)^2+(b+c)^2+6-2(a+b+c))(b-c)^2 \geq 0$
ลองแทน $c=3,b=2.6,a=\frac{-23}{10}$ แล้วไม่จริงอ่ะครับ

[Keehlzver]

ก้อนๆนั้นมันได้ $5$ นะครับ $5\geq 0$ ก็ยังจริงนะครับ ลอง counter example มาใหม่ครับ

ลองดูอสมการนี้ $((a+b)^2+3-a-b-c)(a-b)^2+((b+c)^2+3-a-b-c)(b-c)^2+((c+a)^2+3-a-b-c)(c-a)^2 \geq 0$
เอาเป็นว่าสมมติโดยไม่เสียนัยว่า $c$ เป็นค่ามากสุดของ $a,b,c$ กรณีจำนวนจริงบวกพิสูจน์ไปแล้ว ถ้า $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงลบอสมการจริงอย่างเห็นได้ชัด เพราะเครื่องลบมันกลับเป็นบวกส่วนพจน์บวกติดกำลังสองหมด

ส่วนกรณีที่เหลืออื่นๆที่มันไม่ Obvious คือกรณีที่ $a,b \rightarrow 0$ $c\rightarrow \infty$

$((a+b)^2+3-a-b-c)(a-b)^2+((b+c)^2+3-a-b-c)(b-c)^2+((c+a)^2+3-a-b-c)(c-a)^2 \geq 0$ จริงๆแล้วผมว่าอสมการนี้ Obvious นะครับ ท่านใดว่าไม่ Obvious บ้าง?

[จูกัดเหลียง]

ผมว่า Obvious นะครับ เเต่คุณหามายังไงอ่ะครับ

ปล.ยังพูดถึงอสมการนั้นอยู่รึเปล่า(ถ้ายังพูดถึงอยู่ ช่วยชี้จุดที่ไม่เข้าใจใน Soln ของผมหน่อยครับ)

[LightLucifer]

ขอโทษทีครับ พิมพ์ผิด
$a=3,b=2.6,c=\frac{-23}{10}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

มั่วนิดๆครับอย่าถือสา 555+
$$\Leftrightarrow 2\sum_{cyc} x^2y^2+3\sum_{cyc} xy^2 \geqslant 3\sum_{cyc} x^2y$$

ตรงนี้ $\sum_{cyc} x^2y^2$ มี $a^3b,a^3c,a^2bc$ อยู่อ่ะครับซึ่งไม่มีใน original inequality

[Keehlzver]

$c$ เป็น max ครับ ที่ counter มา $c$ มันไม่ max และอสมการ $((a+b)^2+3-a-b-c)(a-b)^2+((b+c)^2+3-a-b-c)(b-c)^2+((c+a)^2+3-a-b-c)(c-a)^2 \geq 0$ ก็ยังจริงครับ เอาเป็นว่ามัน Obvious ไปเลยละกัน เดี๋ยวจะเสียอรรถรส+เวลากันไปมากกว่านี้

คุณจูกัดเหลียงถามว่ามาได้ยังไง มาแบบนี้ครับ มันคือเอกลักษณ์

$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2=(a+b)^2(a-b)^2+(b+c)^2(b-c)^2+(c+a)^2(c-a)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2$

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a-b)^2+(a+b+c)(b-c)^2+(a+b+c)(c-a)^2$

สมการบนลบสมการล่างก็ได้มาล่ะครับ

[LightLucifer]

ไม่ได้เสียอรรถรสเลยนิครับ แค่อยากให้ solution มันเคลียร์

แล้วกรณีอื่นนอกจาก $a,b\rightarrow 0,c\rightarrow \infty $ ทำไมมันถึง Obvious อ่ะครับ (ไม่ได้แกล้ง ไม่เข้าใจจริงๆ)
เวลาจะบอกว่า Obvious ก็ควรจะแสดงหน่อยนะครับว่าทำไม
ถ้าไม่อย่างนั้นเวลาสอบก็อาจจะถูกตัดแต้มได้นะครับ

[Amankris]

อาจารย์ที่เคยสอนผม เค้าบอกว่า

ไม่ว่าจะเขียน Solution อะไรก็ตาม ห้ามบอกว่า Obvious เด็ดขาด

เหตุผลก็คือ มันอาจจะ Obvious ของเรา แต่ อาจจะไม่ Obvious คนตรวจ

[LightLucifer]

ผมพลาดจุดสำคัญไปซะแล้ว ทำให้กระทู้มันยืดยาว ต้องขอโทษด้วยนะครับ
จุดที่ผมพลาดไปคือ Entirely Mixing Variable Method จะต้องมี $a,b,c \ge0$ ครับ

แต่โจทย์ข้อนี้ไม่ได้ผิดนะครับ
Solution ของผม ใช้ Cauchy-Schwarz

ปล.คุณ nooonuii ของ hint ข้อ 19 หน่อยครับ ผมทำแบบนี้ไม่ค่อบเป็น

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ขอโทษทีครับ พิมพ์ผิด
$a=3,b=2.6,c=\frac{-23}{10}$


ตรงนี้ $\sum_{cyc} x^2y^2$ มี $a^3b,a^3c,a^2bc$ อยู่อ่ะครับซึ่งไม่มีใน original inequality

ขอโทษทีครับ เเก้เเล้ว

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ขอโทษทีครับ เเก้เเล้ว

ผมต้องขอโทษอีกทีหนึ่งที่ไม่ดู solution ให้ละเอียดก่อนนะครับ
คือ $x\ge y \ge z\leftrightarrow b \ge a \ge c$
ซึ่งใช้ WLOG ไม่ได้เพราะ RHS สลับ $a,b$ แล้วค่าเปลี่ยนครับ