Algebra Marathon

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

แปะง่ายๆอีกข้อแล้วกัันครับ

29. Solve for real number $x$

$ 2550^{x^2+x}+\log_{2550} x = 2550^{x+1} $

ขอทำตาม hint ของคุณ passer-by ละกันครับ

เห็นได้ชัดว่า $x=1$ เป็นคำตอบ

ถ้า $x>1$ จะได้ว่า $2550^{x^2+x}+\log_{2550} x > 2550^{x(x+1)} > 2550^{x+1}$

ถ้า $0<x<1$ จะได้ว่า $2550^{x^2+x}+\log_{2550} x < 2550^{x(x+1)} < 2550^{x+1}$

ถ้า $x\leq 0$ จะได้ว่า $\log_{2550} x$ ไม่นิยาม

ดังนั้น $x=1$ เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียว

[kanakon]

ขอบคุณพี่ nooonuii มากๆครับ คล้ายๆกันแต่ของพี่สั้นกว่าเยอะเลย

[passer-by]

31. ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริง พิสูจน์ว่า อย่างน้อย 1 สมการจาก $$ 2x(x+a)=bc $$ $$ 2x(x+b)=ac $$ $$ 2x(x+c)=ab $$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

(Solution ข้อนี้ สามารถอธิบายสั้นๆ จบใน 1 บรรทัดครับ)

[nongtum]

31. At least one of $ab,\ bc,\ ca$ must be nonnegative, for its equation to have nonnegative discriminant, hence the real root(s).

[kanakon]

พิจารณาจาก discriminant ของทั้ง 3 สมการ จะมีอย่างน้อย 1 สมการที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

หรือ $a^2 + b^2 + c^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \geq 0$

แหะๆ ได้ 2 บรรทัดครับ

[Punk]

ทำไมไม่มีใครทำข้อ 30 นา....

30. ให้ $x_1,\ldots,x_n$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันทั้งหมด จงพิสูจน์ว่า
\[
\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots(x_1-x_n)}+\frac{1}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots(x_2-x_n)}+\cdots
+\frac{1}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots(x_n-x_{n-1})}=0
\]

วิธีทำ ให้ $P(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n)$ เป็นพหุนามกำลัง $n$
กระจาย partial fraction
\[
\frac{1}{P(x)}=\frac{A_1}{x-x_1}+\cdots+\frac{A_n}{x-x_n}
\]
ได้ว่า
\[
A_1=\lim_{x\to x_1}\frac{x-x_1}{P(x)}=
\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots(x_1-x_n)}
\]
ทำนองเดียวกันจะไ้ด้ $A_2,A_3,\ldots,A_n$ คือพจน์ที่สอง, สาม, ..., พจน์ที่ $n$ ตามลำดับ ของเทอมซ้ายมือของเอกลักษณ์ที่เราต้องการ

คูณตลอดสมการ partial fraction ด้วย $P(x)$ จะได้ และเทียบสัมประสิทธ์ $x^n$ จะได้
\[
A_1+\cdots+A_n=0
\]

[nooonuii]

เพิ่งเห็นว่าข้อ 30 เรียบร้อยโรงเรียนพี่ Punk ไปแล้วครับ

32. ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ซึ่งผลบวกของทุกสมาชิกในหลักเดียวกันมีค่าเป็นศูนย์ จงพิสูจน์ว่า $$det(A)=0$$

33. จงแก้สมการ $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)$$

[Punk]

32. เขียน $A=[v_1,v_2,\ldots,v_n]$ โดย $v_i$ เป็นเวกเตอร์หลัก หากมอง $A$ เป็น linear operator แล้วจะเห็นว่า
\[
v_1=Ae_1,\ldots,v_n=Ae_n
\]
โดย $e_1=(1,0,\ldots,0)^T,\ldots,e_n=(0,\ldots,0,1)^T$ เงื่อนไขผลรวมของสมาชิกของ $v_i$ เป็นศูนย์สมมูลกับ
\[
(Ae_i)\cdot N=0
\]
เมื่อ $N=(1,\ldots,1)$ ดังนั้นเรนจ์ของ $A$ เป็นสับเซตของ orthogonal complement $N^\perp$ ซึ่งมี dimension $n-1$ กล่าวคือ $A$ ไม่สามารถหาอินเวร์สการคูณได้ เพราะฉะนั้น
\[
\det A=0
\]

[nooonuii]

32. จะเห็นว่า $A^Tv=0$ เมื่อ $v=(1,...,1)^T$ ดังนั้น $0$ เป็น eigenvalue ของ $A^T$ เราจึงได้ $$det(A)=0$$

[CmKaN]

คือว่ามือใหม่น่ะครับลองทำข้อ33ไม่รู้ถูกไหมชี้แนะด้วยน่ะครับ

33. $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x+5)(x+6)(x+7)(x+8)$
ได้ $(x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)=(x^{2}+13x+40)(x^{2}+13x+42)$
$(x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+4+2)=(x^{2}+13x+40)(x^{2}+13x+40+2)$
$(x^{2}+5x+4)^{2}+2x^{2}+10x+8=(x^{2}+13x+40)^{2}+2x^{2}+26x+80$
$(x^{2}+5x+4)^{2}-(x^{2}+13x+40)^{2}=16x+72$
$-2(x^{2}+9x+22)(8x+36)=16x+72$
$x^{2}+9x+22=-1$
$x^{2}+9x+23=0$

$x=\frac{-9\pm{\sqrt{81-4(23)}}}{2}$
$x=\frac{-9\pm{\sqrt{-11}}}{2}$

พอดียังไม่ได้อ่านเรื่องจำนวนเชิงซ้อนทีครับ ถูกไหมครับ

[nooonuii]

33. สองคำตอบที่ได้ถูกแล้วครับ แต่รู้สึกว่าจะตัดรากที่เป็นจำนวนจริงทิ้งไป 1 คำตอบนะครับ
ถ้าใครอ่านใจผมออกก็จะรู้ว่าโจทย์ที่ผมนำมาถามจะต้องมีเทคนิคพิเศษครับ เพราะผมเป็นคนขี้เกียจคิดเลขเยอะๆ ข้อนี้ก็เช่นกันผมใช้เอกลักษณ์นี้ครับ
$$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1=(a^2+5a+5)^2$$
คราวนี้กลับมาที่โจทย์

บวก $1$ ทั้งสองข้างแล้วใช้เอกลักษณ์ข้างบนเราจะได้

$(x^2+5x+5)^2=((x+4)^2+5(x+4)+5)^2$

จัดรูปต่อโดยใช้สูตรผลต่างกำลังสองได้

$(8x+36)(2x^2+18x+46)=0$

ดังนั้น $x=-\dfrac{9}{2},\dfrac{-9\pm\sqrt{11}i}{2}$

[nooonuii]

34. จงหาค่าของ $$\left\lfloor\, \frac{2550!+2547!}{2549!+2548!} \right\rfloor $$

[Mathophile]

34. $\displaystyle{\frac{2550!+2547!}{2549!+2548!}}$

$\displaystyle{=\frac{2548\cdot 2549\cdot 2550+1}{2548\cdot 2549+2548}}$

$\displaystyle{=\frac{2548\cdot 2549\cdot 2550+2548\cdot 2550-2548\cdot 2550+1}{2548\cdot 2549+2548}}$

$\displaystyle{=2550-\frac{2548\cdot 2550-1}{2548\cdot 2549+2548}}$

$\displaystyle{\therefore \left\lfloor\,\frac{2550!+2547!}{2549!+2548!}\right\rfloor =2549}$

วิธีนี้ดูถึก ๆ ยังไงก็ไม่รู้ คาดว่าน่าจะมีวิธีที่สวยกว่านี้(มาก) ครับ

[nooonuii]

34. วิธีคิดคล้ายๆกันครับ ขอทำในรูปทั่วไปดังนี้

ดึง $(n+1)!$ ออกทั้งเศษและส่วน จะได้

$\dfrac{(n+3)!+n!}{(n+2)!+(n+1)!} = \dfrac{(n+3)(n+2)+\frac{1}{n+1}}{(n+2)+1}$
$= (n+2) + \dfrac{1}{(n+1)(n+3)}$

ดังนั้น $\left\lfloor\, \dfrac{(n+3)!+n!}{(n+2)!+(n+1)!} \right\rfloor = n+2 $

[nooonuii]

35. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}$
จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{b^2}$$