ผิดตรงไหน???

[Free Style01]

$$กำหนดให้ \left| a \right| > \left|b\right| $$
$$จะได้ a>b เมื่อ a > 0$$
$$a<b เมื่อ a<0$$
$$a=b เมื่อ a=0 *************ลองพิจารณาดูก่อนนะครับ....ให้เป็น ทบ.1$$

$$สมมติให้ \left|x-4\right| < \left|x+1\right| จงหาค่า x$$
$$จะได้ว่า \left|x+1\right| > \left|x-4\right|$$

$$จาก ทบ.1 $$

$$ กรณีที่1 ให้ x+1 > 0$$
$$ จะได้ x+1 > x-4$$
$$ 5>0 เป็นจริง ดังนั้นจาก x+1>0 จะได้ x > -1$$

$$กรณีที่2 ให้ x+1 < 0$$
$$จะได้ x+1 < x-4$$
$$5<0 เป็นเท็จ จึงไม่พิจารณาต่อ$$

$$กรณีที่3 ให้ x+1=0 $$
$$จะได้ x=-1 แทนค่าในโจทย์จะได้ว่า เป็นเท็จจึงไม่พิจารณาต่อ$$

$$ดังนั้นคำตอบที่ได้คือ x > -1 $$
$$ลองแทนค่า x = 0 กลับได้ว่า 1>4 ซึ่งผิด..$$

ปล.โจทย์ข้อนี้ผมสนใจอยู่มากทีเดียว อันที่จริงผมรู้ว่าผิดตรงไหน แต่พัฒนาโดยใช้แนวความคิดนี้ให้ถูกต้องไม่ได้ ใครที่ พอที่จะพัฒนาเทคนิคนี้ต่อไปได้ ช่วยบอกทีนะครับ ผมว่าน่าจะเป็นประโยชน์มากทีเดียว เพราะวิธีการคิดเเบบตรงๆนั้นยุ่งยากและยาวมาก

[Free Style01]

-ขอโทษทีนะครับ อาจจะอ่านยากนิดนึง แต่ผมจัดรูปแบบไม่เป็นอะครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ผมดูแล้วผิดหลายที่เลยครับ

เช่น


$$\left|x+1\right| > \left|x-4\right|$$

$$จาก ทบ.1 $$

$$ กรณีที่1 ให้ x+1 > 0$$
$$ จะได้ x+1 > x-4$$

แบบที่คุณเขียนหมายถึง เมื่อ $x+1>0$ แล้ว $x-4>0$ ด้วย

เห็นได้ชัดเลยว่าไม่จริง เมื่อ $x=0$

เพราะฉะนั้น จึงเอา $absolute$ ออกจาก $x-4$ ไม่ได้ครับ ต้องแยกกรณีคิดเพิ่มต่อไป

[Free Style01]

อันนี้ผมอิงมาจาก ทบ.1 อะครับ
กำหนด $$ \left|a\right| > \left|b\right| $$
จะได้ a > b เมื่อ a>0
ผมจึงยกกรณีที่1 ให้ a>0 จึงได้ a>b ในบรรทัดต่อมาครับ

[share]

คุณ Free Style01 เข้าใจผิดตอน a<0 ครับ

จากที่ให้ |a| > |b|
และให้ a>0 จะได้ a>b
|5| > |4|
|5| > |-4|
คำตอบที่ได้เป็นจริง คือ 5 > 4

จากที่ให้ |a| > |b|
และให้ a<0 แล้วสรุปว่าจะได้ a<b ***ผิดครับ***
|-5| > |4|
|-5| > |-4|
คำตอบที่ได้ ก็ยังเป็น 5 > 4 นั่นคือ ทุกกรณี คำตอบที่ได้ คือ 5 > 4

จากนิยาม |a| = a , a>0 (a เป็นบวก)
|5| จึง =5
แต่ |a| = -a , a<0 (a เป็นลบ)
ดังนั้น |-5| = -(-5) (เพราะ a เป็นลบ) = 5
กรณีของคุณ: b อาจเป็น + หรือ - ก็ได้
จากนิยาม
กรณี b เป็นบวก
|4| = 4
กรณี b เป็นลบ
|-4| = -(-4) = 4

สรุป จะเห็นว่าทุกกรณี คำตอบที่ได้ คือ 5 > 4
ถ้ายังสงสัย ถามเพิ่มเติมได้ครับ

[Free Style01]

เป็นแบบนี้หรือปล่าวครับคุณ share
จาก |a| > |b| โดยกำหนดให้ a < 0 จะได้ได้ว่า a<b (กรณีนี้ a=-5 )

สมมติให้ |-5| > |4| หรือ |-5| > |-4| จะเห็นว่าค่า a=-5 , b=4 หรือ -4
ก็จะได้ว่า a<b ทั้ง2กรณีครับ

[Free Style01]

อันนี้เป็นความเห็นของผมนะครับ คือตามที่ได้แสดงวิธีทำมาตั้งแต่ต้น ตัวผมเองหาจุดผิดไม่ได้(ไม่ได้แปลว่าถูกนะครับ) แต่ที่คำตอบออกมาป็นผิดนั้น มีสิ่งที่น่าคิดอยู่ 2 ประเด็นครับ คือ

1. ตรรกศาสตร์ผิดครับ อย่างเช่น คำว่า ถ้า....แล้ว.... หรือ จาก...จะได้... จะคิดย้อนกลับไม่ได้เป็นต้นครับ...

2. คำตอบที่ออกมาคือ x ต้องมากกว่า -1 อันนี้ผมว่าเป็นจริงนะครับ เพียงแต่มันไม่ได้เป็นคำตอบ คำตอบจริงๆนั้นเป็นแค่ส่วนหนึ่งของ x>-1 เท่านั้น ซึ่งผมตีความหมายได้ว่าคงต้องมีเงื่อนไขอื่นกำกับอีก ซึ่งเงื่อนไขที่กำกับนั้นผมภาวนาให้เป็นเงื่อนไขที่ไม่ใช่ x>-1 โดยที่ |x+1|>|x-4| เพราะมันจะไม่มีประโยชน์อะไรเลยเพราะสุดท้ายเราก็ต้องกำจัดตัวเงื่อนไขออกให้ได้ซึ่งก็คือคิดโจทย์ใหม่นั่นเอง ไม่มีประโยชน์อะไร

ปล.ผมว่าข้อ 2. ถ้าเรารู้เงื่อนไขอื่นที่ง่ายกว่า |x+1|>|x-4| ก็น่าจะแก้ปัญหาโจทย์นี้ได้ครับ สำหรับใครที่มีข้อสังเกตหรือความเห็นอื่นๆเพิ่มเติมก็ช่วยกันนะครับบ

[t.B.]

ถ้าปัญหาคือ หาค่า x ที่สอดคล้องกับ |x-a|> หรือ <|x-b|
เราสามารถใช้ความหมายทางเรขาคณิตของ absolute |x-y| มาแก้ปัญหานี้ได้ครับ
ซึ่ง |x-y| ก็หมายถึง ระยะทางหรือความห่างของ x กับ y เช่น |5-4| ห่างกัน 1, |5-(-4)| ห่างกัน 9

และในกรณีของ |x-a|>|x-b| ก็ตีความได้ว่า หา x ที่ทำให้ระยะทางจาก x ถึง a มากกว่า ระยะจาก x ถึง b
สมมติ a<b ลองวาดเส้นจำนวนดู ก็จะพบว่า $x> \frac{a+b}{2} $ (จุดกึ่งกลาง นั่นเอง)
แต่ถ้า a>b ก็จะได้ $x< \frac{a+b}{2} $

ในโจทย์ที่ถาม |x+1|>|x-4| จะได้ a=-1, b=4 ดังนั้น $x> \frac{-1+4}{2} = \frac{3}{2} $

[share]

คุณ Free Style01 อย่าสับสนสิครับ
ถ้าให้ a= -5 เราจะได้ |a|=5 เพราะ |-5|= -(-5)
ดังนั้น อย่าสับสน ระหว่าง ค่าเริ่มต้นของ a, b
กับค่าที่ได้(คำตอบ) จากเรื่องหมาย ||

เริ่มต้น a, b จะเป็น บวก หรือ ลบ ไม่สำคัญ (ห้ามให้ค่าเริ่มต้น a<b นะครับ)
ค่าที่ได้จาก |a| > |b| จะได้ a>b เสมอครับ
ย้ำ อย่าสับสนระหว่าง ค่าเริ่มต้น กับ ผลลัพธ์

อาจแย้งว่า ผมไปสมมติให้ค่าเริ่มต้น a=5 b=4 จึงเป็นเช่นนั้น
ผมต้องกำหนดเช่นนั้น เพราะคุณเริ่มว่า ให้ |a| > |b| ลองดู
ถ้าคุณให้ค่าเริ่มต้น a=2 b=4 ข้อกำหนดที่คุณว่า |a| > |b| ของคุณก็ **ผิด** ทันที เพราะผลลัพธ์จะได้ 2>4
ถ้าคุณให้ค่าเริ่มต้น a=2 b=-4 ข้อกำหนดที่คุณว่า |a| > |b| ของคุณก็ **ผิด** ทันที เพราะผลลัพธ์จะได้ 2>4
ถ้าคุณให้ค่าเริ่มต้น a=-2 b=4 ข้อกำหนดที่คุณว่า |a| > |b| ของคุณก็ **ผิด** ทันที เพราะผลลัพธ์จะได้ 2>4
ถ้าคุณให้ค่าเริ่มต้น a=-2 b=-4 ข้อกำหนดที่คุณว่า |a| > |b| ของคุณก็ **ผิด** ทันที เพราะผลลัพธ์จะได้ 2>4

ดูดี ๆ นะครับ
เรียนคณิตศาสตร์ต้อง
ระวัง ลำดับก่อน-หลัง
ระวัง นิยาม
ระวัง เงื่อนไข

[Free Style01]

-- ที่คุณ share บอก ผมทำความเข้าใจอยู่นานมากเลยครับตอนเเรกทำไงก็ไม่เข้าใจ ตอนนี้เริ่มเข้าใจเเล้ว แต่พอย้อนไปดูข้อความที่ตัวเองกลับงง 555 ไปกันใหญ่ละ เดี๋ยวจะขอลองพิจารณาอีกทีนะครับ ตอนนี้มึนเเล้ว ถ้ามีข้อสงสัยอะไรเพิ่มเติมเดี๋ยวไว้ผมจะมาถามใหม่นะครับ..ขอบคุณมากนะครับ

-- ที่คุณ t.B. ว่า ผมไม่เคยเจอวิธีนี้เลย เป็นวิธีที่ง่ายมากครับ..ขอบคุณมากนะครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Free Style01

-- ที่คุณ share บอก ผมทำความเข้าใจอยู่นานมากเลยครับตอนเเรกทำไงก็ไม่เข้าใจ ตอนนี้เริ่มเข้าใจเเล้ว แต่พอย้อนไปดูข้อความที่ตัวเองกลับงง 555 ไปกันใหญ่ละ เดี๋ยวจะขอลองพิจารณาอีกทีนะครับ ตอนนี้มึนเเล้ว ถ้ามีข้อสงสัยอะไรเพิ่มเติมเดี๋ยวไว้ผมจะมาถามใหม่นะครับ..ขอบคุณมากนะครับ

-- ที่คุณ t.B. ว่า ผมไม่เคยเจอวิธีนี้เลย เป็นวิธีที่ง่ายมากครับ..ขอบคุณมากนะครับ

ผมเอา absolute ที่คำตอบออกไปนะครับ(พิมพ์เกิน) เช็กดูอีกทีนะครับ
อ้อ concept ของ (Euclidean) distance: d(x,y)=|x-y| เล็กๆตรงนี้เป็นพื้นฐานที่สำคัญมากใน mathematical analysis เลยละครับ และก็มี application อีกหลากหลาย เช่นในศาสตร์ classification data ก็มี Mahalanobis distance ที่เอา concept นี้ไปต่อยอดอีกทีหนึ่งและก็ยังมีอีกมากมาย

[Onasdi]

ที่ทำมาไม่ผิดครับ ทุกอย่างใช้ตรรกะถูกต้อง เพียงได้ว่าข้อสรุปที่ได้คือ $x$ ต้องมากกว่า $-1$ ซึ่งไม่ได้แปลว่าทุกจำนวนจริงที่มากกว่า $-1$ จะเป็นคำตอบ สิ่งที่หามาได้คือค่า $x$ ที่เป็นไปได้ครับ แต่ยังต้องตรวจคำตอบอีก

ทั้งนี้เพราะว่าขากลับของทฤษฎีไม่เป็นจริงครับ
ขาไปเป็นจริง: สมมติว่า $a>0$ ถ้า $|a|>|b|$ แล้ว $a>b$
ขากลับไม่จริง: สมมติว่า $a>0$ ถ้า $a>b$ แล้ว $|a|>|b|$

การที่จะแก้อสมการแล้วได้คำตอบไม่เกิน ต้องใช้ทฤษฎีที่ขากลับก็เป็นจริงด้วย ตามนี้ครับ

สมมติว่า $a>0$ ดังนั้น $|a|>|b|$ จึงกลายเป็น $a>|b|$
ซึ่งมีความหมายว่า $a>b>-a$
ดังนั้นทฤษฎีที่ควรจะใช้คือ สมมติว่า $a>0$ จะได้ว่า $|a|>|b|$ ก็ต่อเมื่อ $a>b>-a$

กลับไปที่กรณีที่1: $x+1>0$
$|x+1|>|x-4|$ จึงสมมูลกับ $x+1>x-4>-x-1$
นั่นคือ $x+1>x-4$ และ $x-4>-x-1$
นั่นคือ $1>-4$ และ $x>\frac{3}{2}$
เอาไปเช็คกับ $x+1>0$ ได้ว่าคำตอบในกรณีนี้คือ $x>\frac{3}{2}$ ครับ

[Free Style01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ที่ทำมาไม่ผิดครับ ทุกอย่างใช้ตรรกะถูกต้อง เพียงได้ว่าข้อสรุปที่ได้คือ $x$ ต้องมากกว่า $-1$ ซึ่งไม่ได้แปลว่าทุกจำนวนจริงที่มากกว่า $-1$ จะเป็นคำตอบ สิ่งที่หามาได้คือค่า $x$ ที่เป็นไปได้ครับ แต่ยังต้องตรวจคำตอบอีก

ทั้งนี้เพราะว่าขากลับของทฤษฎีไม่เป็นจริงครับ
ขาไปเป็นจริง: สมมติว่า $a>0$ ถ้า $|a|>|b|$ แล้ว $a>b$
ขากลับไม่จริง: สมมติว่า $a>0$ ถ้า $a>b$ แล้ว $|a|>|b|$

การที่จะแก้อสมการแล้วได้คำตอบไม่เกิน ต้องใช้ทฤษฎีที่ขากลับก็เป็นจริงด้วย ตามนี้ครับ

สมมติว่า $a>0$ ดังนั้น $|a|>|b|$ จึงกลายเป็น $a>|b|$
ซึ่งมีความหมายว่า $a>b>-a$
ดังนั้นทฤษฎีที่ควรจะใช้คือ สมมติว่า $a>0$ จะได้ว่า $|a|>|b|$ ก็ต่อเมื่อ $a>b>-a$

กลับไปที่กรณีที่1: $x+1>0$
$|x+1|>|x-4|$ จึงสมมูลกับ $x+1>x-4>-x-1$
นั่นคือ $x+1>x-4$ และ $x-4>-x-1$
นั่นคือ $1>-4$ และ $x>\frac{3}{2}$
เอาไปเช็คกับ $x+1>0$ ได้ว่าคำตอบในกรณีนี้คือ $x>\frac{3}{2}$ ครับ

ผมดีใจมากเลยหล่ะครับที่ได้ความเห็นของคุณ Onasdi เข้ามาช่วยทำให้ ทบ.นี้สมบูรณ์มากขึ้น...ขอบคุณมากครับ

[Onasdi]

ด้วยความยินดีครับ ขอเสริมให้อีกวิธีนะครับ วิธีนี้สั้นเกือบจะสู้ของคุณ t.B. ได้เลย

$|x+1|>|x-4|$
ก็ต่อเมื่อ $(x+1)^2>(x-4)^2$
ก็ต่อเมื่อ $(x+1)^2-(x-4)^2>0$
ก็ต่อเมื่อ $(x+1+x-4)(x+1-(x-4))>0$
ก็ต่อเมื่อ $(2x-3)5>0$
ก็ต่อเมื่อ $x>\frac{3}{2}$