อยากได้โจทย์ NT เตรียมสอบในค่าย 2 ครับ

[gnap]

ตามหัวข้อครับ

[Beatmania]

ลองดูครับข้อนี้ จงแสดงว่า

สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$ จะมีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่

$$28^n+14^n+7^n+4^n+2^n-1^n \equiv 0 (mod p)$$

[Thgx0312555]

$p \not= 7$ ด้วยหรือเปล่าครับ http://www.wolframalpha.com/input/?i...C3%2C4%2C5%2C6

[คนที่คุณก็รู้ว่าใคร]

1.จงพิสูจน์ว่า $(n,2^{2^n}+1)=1 $ สำหรับทุก n ที่เป็นจำนวนนับ
2.ให้ $m,n\in \mathbb{N} -{1}$ จงเเสดงว่าถ้า $m\phi (m)=n\phi (n)$ เเล้ว $m=n$
ปล. ขอบคุณมากๆครับ คุณ polsk133

[polsk133]

#4 ข้อ1.โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ

[Thgx0312555]

อีกสักข้อ
ให้ $S \subset \mathbb{N}$ เป็นเซตที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

1) มี $(a,b) \in S\times S$ ซึ่ง $gcd(a,b)=1$
2) ถ้า $a \in S$ และ $b \in S$ แล้ว $a+b \in S$

จงพิสูจน์ว่า $\mathbb{N} - S$ เป็นเซตจำกัด

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนที่คุณก็รู้ว่าใคร

1.จงพิสูจน์ว่า $(n,2^{2^n}+1)=1 $ สำหรับทุก n ที่เป็นจำนวนนับ

ข้อนี้พิสูจน์ว่าตัวประกอบเฉพาะที่น้อยที่สุดของ $2^{2^n}+1$ อยู่ในรูป $k\cdot 2^{n+1}+1$ แล้วจาก $k\cdot 2^{n+1}+1>n$ ก็จะได้ $(n,2^{2^n}+1)=1 $

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

อีกสักข้อ
ให้ $S \subset \mathbb{N}$ เป็นเซตที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

1) มี $(a,b) \in S\times S$ ซึ่ง $gcd(a,b)=1$
2) ถ้า $a \in S$ และ $b \in S$ แล้ว $a+b \in S$

จงพิสูจน์ว่า $\mathbb{N} - S$ เป็นเซตจำกัด

ให้ a และ b อยู่ใน $S\times S$ โดย $gcd(a,b)=1$
จะได้ว่า $am+bn\in S $ ทุก $m,n\in \mathbb{N}_0$
จากทุกจำนวนเต็มที่มากกว่า ab-a-b จะเขียนได้ในรูป am+bn โดย $m,n\in \mathbb{N}_0$
$\therefore \mathbb{N} - S$ มีสมาชิกได้มากที่สุด ab-a-b ตัว และ $\mathbb{N} - S$ เป็นเซตจำกัด

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Sirius

ข้อนี้พิสูจน์ว่าตัวประกอบเฉพาะที่น้อยที่สุดของ $2^{2^n}+1$ อยู่ในรูป $k\cdot 2^{n+1}+1$ แล้วจาก $k\cdot 2^{n+1}+1>n$ ก็จะได้ $(n,2^{2^n}+1)=1 $

ใช่หรอครับ

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

ใช่หรอครับ

ผิดตรงไหนเหรอครับ

[polsk133]

#7 ทำไงอะครับ

[Sirius]

จาก $2^{2^n}\equiv -1 (mod\ p)$
จะได้ $2^{2^{n+1}}\equiv 1 (mod\ p)$
ให้ m เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2^m\equiv 1 (mod\ p)$
จะได้ $m\mid 2^{n+1}$
$\therefore m$ อยู่ในรูป $2^m$
ถ้า $1\leqslant m\leqslant n$ จะได้ $2^{2^n}\equiv 1 (mod\ p)$ ขัดแย้ง
ดังนั้น $m=2^{n+1}$
แต่จาก Fermat's Little Theorem จะได้ $2^{p-1}\equiv 1 (mod\ p)$
$\therefore 2^{n+1}\mid p-1$
(ถ้า $2^{n+1}\nmid p-1$ จะได้ว่า $p-1=q\cdot 2^{n+1}+r$ สำหรับบาง $r$ แต่จะได้ $2^{2^r}\equiv 1 (mod\ p)$ ขัดแย้ง)
ดังนั้น $p=k\cdot 2^{n+1}+1$