FFTMO10th

[จูกัดเหลียง]

Number
2.Lemma $gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$

Prove of Lemma

Let $d=gcd(m,n)$ so $m=dx_0,n=dy_0$ with $gcd(x_0,y_0)=1$
By Euclidean algorithm
\[x_0= a_0y_0+b_0,0<b_0<y_0\]
\[y_0=a_1b_0+b_1,0<b_1<b_0\]
\[\cdots\]
\[b_{k-2}=a_kb_{k-1}+b_k,0<b_k<b_{k-1}\]
and $b_k=1=gcd(x_0,y_0)$
Consider the fact $(a,bc)\wedge (a,c)=1\rightarrow (a,bc)=(a,b)$ and $(a,b)=(a\pm nb,b)$ $$L=(a^m-1,a^n-1)=(a^d-1)\Big(\frac{a^x_0-1}{a-1},\frac{a^y_0-1}{a-1}\Big)$$
\[=(a^d-1)\Big(\frac{(a^{x_0}-1)-(a^{y_0}-1)}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)=(a^d-1)\Big(\frac{a^{y_0}(a^{x_0-y_0}-1)}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)\]
but $(a^n,a^n-1)=1$ so \[L=(a^d-1)\Big(\frac{a^{x_0-y_0}-1}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)=...=(a^d-1)\Big(\frac{a^{x_0-a_0y_0}-1}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)\]
\[=(a^d-1)\Big(\frac{a^{b_0}-1}{a-1},\frac{a^{y_0}-1}{a-1}\Big)=...(a^d-1)\Big(\frac{a^{b_{k-1}}-1}{a-1},\frac{a^{b_k}-1}{a-1}\Big)\]
but $b_k=1$ so $L=a^d-1$ as desired

Let $n=2^\alpha t$ such that $(t,2)=1$
We have $3^{2^\alpha t} \equiv3^n\equiv 1\pmod {2^n}$ and from $(2^n,3)=1$ so $3^{2^{n-1}}\equiv 3^{\phi(2^n)}\equiv 1\pmod {2^n}$
by using Lemma and the fact $n-1=2^\alpha t-1\ge 2^\alpha-1\ge \alpha$ we get $$3^{2^\alpha}=3^{(2^{n-1},2^\alpha t)}\equiv 1\pmod {2^n}\rightarrow 2^n|(3^{2^\alpha}-1)$$
Thus, $2^n=2^{2^\alpha t}\le 3^{2^\alpha}-1$ assume that $t\ge 3$ we get $8^{2^\alpha}=2^{3\cdot 2^\alpha}\le 2^{2^\alpha t}\le 3^{2^\alpha}-1$ contradiction so $t=1$ gives $n=2^\alpha$
Consider $$3^{2^\alpha}-1=2\cdot 4(3^{2^1}+1)(3^{2^2}+1)...(3^{2^{\alpha-1}}+1)$$
and assume $4|3^{2^k}+1$ when $k\ge 1$ so $2=(-1)^{2^k}+1\equiv 3^{2^k}+1\equiv 0\pmod 4$ ctd so it have only $2$ with divides $3^{2^k}+1$ but $2^{2^\alpha}|3^{2^\alpha}-1$ so $2^{2^\alpha}|2^{\alpha+2}\rightarrow 2^\alpha\le \alpha+2\rightarrow \alpha=0,1,2$
so $n=1,2,4$
ผมคิดเรขาตั้งเเต่ข้อ 2 ไม่ได้เลยอ่ะครับ โง่มากๆๆ TT

[polsk133]

คอมบิ 1

เทียบแแบบคนต่อคน

ถ้า A อยู่หน้า B และ A สูงกว่า B

A จะได้บอลน้ำเงิน B จะได้บอลแดง

ถ้า A อยู่หน้า B และ A เตี้ยกว่า B จะไม่ได้บอลทั้งคู่

ให้ $x_i$ แทนจำนวนบอลสีแดงที่คนที่ i ได้รับ

ให้ $y_i$ แทนจำนวนบอลสีน้ำเงินตั้งแต่คนที่ 1 ถึงคนที่ i-1 ที่ได้รับเมื่อเทียบความสูงกับคนที่ i

จะได้ $x_i=y_i$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

1.หาจำนวนเต็มบวก m,n ที่ $mn-1|n^3-1$

2.หาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R^{+}} \rightarrow \mathbf{R^{+}}$ ซึ่งสอดคล้องกับ $f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(2552y))$

3.จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม x,y ที่ $y^2=x^3+7$

4.ตารางขนาด 12 แถว 12 คอลัมน์ มีเลข 1 อยู่ 50 ตัวจงแสดงว่า จะมีเลข 4 ตัวที่ทำให้เกิดมุมฉาก

1.$mn-1|n^2-m$
3. ใช้ lemma ที่ well-known กัน $p \equiv 1 \pmod{4}$ ก็ต่อเมื่อ $p|n^2+1$
4. จำนวนวิธีจับคู่ของเลข 1 ในแต่ละแถวทั้งเป็นไปได้อย่างมาก 66 แบบ แล้วที่เหลือก็หานกจากที่โจทย์ให้

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

3.ระบายสีทุกด้านและเส้นทะแยงมุมของรูป 12 เหลี่ยมด้วยสีที่มีอยู่ทั้งหมด 12 สี เป็นไปได้หรือไม่ที่ทุก 3 สีใดๆจะมีสามเหลี่ยมที่เชื่อมด้วยสีดังกล่าว 3 รูป

หมุนสามเหลี่ยมรูปนี้รอบ 12 เหลี่ยม ให้เป็นคนละสีกันหมด จะได้ตรงตามโจทย์ครับ

[~ArT_Ty~]

เติมโจทย์ให้ครับ เรขาคณิตจากคาซัคสถาน ถ้ารู้ทฤษฎีบทอันนึงก็จะง่ายมากๆเลยครับ

(KSA National MO 2013 Grade 9)

สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $I,O$ เป็น incenter และ circumcenter ตามลำดับ จุด $P,Q$ อยู่บนวงกลม $O$

โดยที่มีเงื่อนไขว่า $ \angle API=\angle CPI $ และ $ \angle BQI=\angle CQI $

จงแสดงว่า $BP,AQ,OI$ ตัดกันที่จุดเดียว


แถมอีกข้อ เผื่อยากเกิน

สามเหลี่ยม $ABC$ แนบในวงกลมที่มี $O$ เป็นจุดศูนย์กลาง มี $E,G$ เป็นจุกึ่งกลางด้าน $AB,AC$ ตามลำดับ

และมีจุด $H$ เป็นจุดบน $BC$ ที่ทำให้ $AH\bot BC$

$CO,HE$ ตัดกันที่ $F$ และ $BO,HG$ ตัดกันที่ $D$

จงแสดงว่า $E,F,D,G$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

เรขายากจริงอะไรจริง ผมขอโจทย์เพิ่มหน่อยครับ รู้สึก 2 ข้อข้างบนทำไม่ได้เลย

[polsk133]

คอมบิของ#16ทำไงหรอครับข้อ2 อ่านhintในอีกกระทู้แล้วยังงงๆ

[~ArT_Ty~]

เติมโจทย์

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกและ $abc=\frac{1}{8}$ จงแสดงว่า

$$\sqrt{\frac{1}{a+1}}+\sqrt{\frac{1}{b+1}}+\sqrt{\frac{1}{c+1}} \leqslant \sqrt{6}$$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

แทน x=2a,y=2b,z=2c ดังนั้น xyz=1 กลายเป็นเราต้องพิสูจน์

$\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{x+2}} \leq \sqrt{ 3}$

จาก CS จะได้

$\sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{x+2}} \leq \sqrt{3} \sqrt{\sum_{cyc} \dfrac{1}{x+2}}$

ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า $\sum_{cyc} \dfrac{1}{x+2} \leq 1$ ก็จบ ซึ่งอสมการดังกล่าวสมมูลกับ $xy+yz+zx \geq 3$

เราคูณกระจายออกจะได้ สิ่งที่เราต้องพิสูจน์คือ

$xy+yz+zx+4(x+y+z)+12 \leq 8+4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)+xyz$

ซึ่งก็จริงตาม AM-GM

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

เรขาข้อแรกใช้ radical axis สินะครับ (radical axis ทั้งสามเส้นจะ concurrent กันที่จุดๆหนึ่ง)

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

เรขาข้อแรกใช้ radical axis สินะครับ (radical axis ทั้งสามเส้นจะ concurrent กันที่จุดๆหนึ่ง)

ช่วยอธิบายแนวคิดด้วยครับ

เติมโจทย์ครับ

1. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า

$$\left(\,\frac{a}{a+b+c}\right)^2+\left(\,\frac{b}{b+c+d}\right)^2+
\left(\,\frac{c}{c+d+a}\right)^2+\left(\,\frac{d}{d+a+b}\right)^2 \geqslant \frac{4}{9}$$

2. หาจำนวนจริง $x,y$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการ

$$ \begin{array}{rcl} 33x^3-56x^2y+33xy^2-56y^3 & = & x \\ 56x^3+33x^2y+56xy^2+33y^3 & = & -y \end{array} $$

3. ให้ $a,b,c>0$ และ $k$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงแสดงว่า

$$\left(\,\frac{a}{b+c}\right)^k+\left(\,\frac{b}{c+a}\right)^k+\left(\,\frac{c}{a+b}\right)^k \geqslant \frac{3}{2^k}$$

4. (เรขาซักข้อ) ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มี $I$ เป็นจุด incenter $AI$ ตัด $BC$ ที่จุด $D$

จงแสดงว่า $AI+CD=AC$ ก็ต่อเมื่อ $\angle B=60^{\circ}+\frac{1}{3}\angle C$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#27 ผมขอเวลาคิดแปปนะครับเหมือนจะทดผิด ถึงว่าทำไมมันออกง่ายจัง

[Thgx0312555]

2. ตอบ $(0,0),(\dfrac{7}{65},-\dfrac{4}{65}),(-\dfrac{7}{65},\dfrac{4}{65})$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อสองเรขามันจริงหรอครับ ?? ผมทำแล้วมันเป็นกรณีเฉพาะอ่ะครับ

ผมอาจจะทำผิดก็"ด้ครับ ลองช่วยอธิบายหน่อยครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ข้อสองเรขามันจริงหรอครับ ?? ผมทำแล้วมันเป็นกรณีเฉพาะอ่ะครับ

ผมอาจจะทำผิดก็"ด้ครับ ลองช่วยอธิบายหน่อยครับ

โจทย์ถูกแล้วครับ นี่ครับต้นฉบับจาก AOPs

Triangle $ ABC $ is inscribed in a circle $ (O) $ and let $H$ be the feet of altitude from $A$.
Let $E$,$G$ be midpoints of $AB$,$AC$ respectively. Let $F,D$ are intersections points of
$CO,HE$ and $BO,HG$. Prove that four points $E,F,D,G$ are concyclic.