ข้อสอบคัดเลือกตัวแทนเขตพื้นที่ ช่วงชั้น 3 ปี 2551(สพฐ.)

[หยินหยาง]

ผมเพิ่งได้ข้อสอบมา และเห็นว่ามีคนโพสต์ข้อสอบเพียงบางข้อเท่านั้น เพื่อให้เกิดความสมบูรณ์ของข้อสอบผมจึงเอามาลงให้ทั้งฉบับพร้อมเฉลยคำตอบ
หากใครสนใจจะแสดงวิธีทำเพื่อเป็นวิทยาทานก็ยินดีด้วยครับ

[Psychoror]

1.) ให่รัศมีและส่วนสูงเท่ากับ $x$ และ $2x$ ตามลำดับ
ใส่น้ำ $92\pi $ แล้วใส่ลูกแล้วผิวข้าง $36\pi$ จะได้ลูกแก้วรัศมี $4\pi r_{ลูกแก้ว}=36\pi$
ได้ว่า $r_{ลูกแก้ว}=3$
$\therefore$ ปริมาตรลูกแก้วเท่ากับ $\frac{4}{3}\pi {r_{ลูกแก้ว}^3}=36\pi$
จะได้ว่าทรงกระบอกนี้มีความจุเท่ากับ $92\pi+36\pi=128\pi$
จะได้ $\pi(x^2)(2x)=128\pi$
$x=4$
พื้นที่ผิวข้างเท่ากับ $2(4)\pi\times 2(4)=64\pi$
$\therefore k=64$

2.) ให้ทรงกลมทั้งสามมีรัศมีเป็น $3r,2r,r$
นำมาปั้นรวมกันได้
$\frac{4}{3}(27r^3+8r^3+r^3)$
$=\frac{4}{3}(36r^3)$
$\therefore r_{ใหม่}=\sqrt[3]{36} $
$\therefore a=36$

3.)$a=3^{60}=81^{15}$
$b=5^{45}=125^{15}$
$c=6^{45}=216^{15}$
$d=7^{30}=49^{15}$
$\therefore c>b>a>d$

4.)จากการหารสังเคราะห์หรือหารยาวจะได้ว่า $A=11$
และจะได้ว่า $B=1,C=-1,D=2$
$\therefore B^2+C^2+D^2=6$

5.)ใน 1 นาทีวิ่งได้ $\dfrac{k}{60}$ กิโลเมตร
$m$ นาที วิ่งได้ $\dfrac{mk}{60}$ กิโลเมตร
แต่ 1 กิโลเมตร ใช้น้ำมัน $\dfrac{n}{100}$ ลิตร
$\therefore m$นาที ใช้น้ำมัน $\dfrac{mnk}{6000}$ ลิตร

[Psychoror]

6.) ให้จำนวนนั้นคือ $10x+y$
ตั้งสมการได้ว่า $\dfrac{10y+x}{10x+y}=\dfrac{120}{100}=\frac{6}{5}$
$6(10x+y)=5(10y+x)$
$55x=44y$
$x=\dfrac{4}{5}y$
แต่ $x,y$ เป็นเลขโดด
$\therefore y=5 และ x=4$ เท่านั้น
$\therefore$ จำนวนวนนี้คือ 45

7.)จำนวน $1-1990$ หาร $3$ ลงตัว มีทั้งหมด $\dfrac{1989-3}{3}+1=663$ จำนวน
จำนวน $1-1990$ หาร $5$ ลงตัว มีทั้งหมด $\dfrac{1990-5}{5}+1= 398$ จำนวน
จำนวน $1-1990$ หาร $15$ ลงตัว มีทั้งหมด $\dfrac{1980-15}{15}+1= 132$ จำนวน
$\therefore$ ตั้งแต่ $1-1990$ มีจำนวนที่ $3$ หรือ $5$ หารไม่ลงตัวทั้งหมด $1990-663-398+132$ จำนวน
เท่ากับ $1061$ จำนวน

8.)จำนวนเฉพาะคือ 2 3 5 7 11 ...
โอกาศทั้งหมด $(S)$ คือ 36
โอกาสที่ได้จำนวนเฉพาะ มี 3+3+4+3+2+2 = 17
$\therefore$ โอกาสที่จะได้ลูกเต๋าเลข 0-5 รวมเป็นจำนวนเฉพาะคือ $\dfrac{17}{36}$

9.)$\dfrac{1}{7000}=\dfrac{22}{7000}-\dfrac{21}{7000}$
$\qquad= \dfrac{1}{1000}(\dfrac{22}{7}-\dfrac{21}{7})$
$\qquad= 0.000\dot14285\dot7$
$\therefore$ ทศนิยมตำแหน้งที่ 7000 คือตำแหน่งที่ เศษของ $\dfrac{7000}{6}$จะได้เป้นตำแหน่งที่ 4 ก็คือ 1
$\therefore$ ทศนิยมตำแหน่งที่ 7000 ของ $\dfrac{1}{7000}$ คือ 1

10.)$x_1=4$
$x_2=3-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$
$x_3=3-\dfrac{3}{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{15}{9}$
$x_4=3-\dfrac{3}{\dfrac{15}{9}}=\dfrac{18}{15}$
$x_5=3-\dfrac{3}{\dfrac{18}{15}}=\dfrac{1}{2}$
$x_6=3-\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}}=-3$
$x_7=3-\dfrac{3}{-3}=4$
$\therefore x_{46}=x$ตัวที่เศษของ $\dfrac{46}{7}$ คือ $x_4=\dfrac{6}{5}=1+\dfrac{1}{5}$

เหนื่อยครับ... เด๊่ยวหลังๆผมว่างๆค่อยมาเฉลยครับ ให้คนเก่งๆมาเฉลยต่อจากผมก่อนก็ได้ครับ

[YOYO123]

ขอวิธีคิดข้อ 27-30 หน่อยครับ คิดไม่ออกจิงๆๆๆ

[sompobtham]

,มีคนเฉลยว่า 64 แต่ว่าที่โจทย์ถามมันถามพื้นที่ผิวไม่ไช่หรอครับ ไม่ใช่พื้นที่ผิวข้างไม่ใช่หรอ

[sompobtham]

ข้อ 15 ตอบ 8ไม่ได้หรอครับถ้าเอาสลับที่กันอะครับ เพราะผมทำได้2คำตอบคือ 7.5 กับ 8 ครับ

[nooonuii]

27. $x+1=\sqrt{2}\Rightarrow x^2+2x-1=0$

$x^{10}+2x^9-2x^8-2x^7+x^6+3x^2+6x+1=(x^8-x^6+3)(x^2+2x-1)+4= 4$

ถ้าจัดรูปไม่ได้ลองจับมาหารยาวกันก็ได้ครับ เอา $x^{10}+2x^9-2x^8-2x^7+x^6+3x^2+6x+1$ มาหารด้วย $x^2+2x-1$

[nooonuii]

29. ข้อนี้คิดเลขเยอะมาก เลยใช้สัญลักษณ์แทน

ให้ $a=108,u=x+54$

$x^2-2916=(x-54)(x+54)=u(u-a)$

$x-378=u-4a$

แทนในสมการ

$\dfrac{a}{\sqrt{u(u-a)}}=\dfrac{4a-u-\sqrt{u(u-a)}}{u}$

$au=(4a-u)\sqrt{u(u-a)}-u(u-a)$

$u^2=(4a-u)\sqrt{u(u-a)}$

$u^4=(4a-u)^2u(u-a)$

$u^3=(4a-u)^2(u-a)$ เำพราะ $u\neq 0$

$a(3u-4a)^2=0$

$u=144$

$x=90$

[jabza]

ใครก็ได้ ช่วยเฉลยข้อ 28หน่อย คับ Hintก็ได้ ไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นตรงไหน งงมากๆ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ใครก็ได้ ช่วยเฉลยข้อ 28หน่อย คับ Hintก็ได้ ไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นตรงไหน งงมากๆ

็
HINT

พจน์ที่มี $x^{88}$ เกิดจาก x คูณกัน 88 ตัว คูณกับค่าคงที่อีก 2 ตัวจากทั้งหมด 90 วงเล็บ ดังนั้นจึงต้องหาผลบวกของผลคูณของค่าคงที่ 2 วงเล็บจาก 90 วงเล็บ
แต่สิ่งที่ยากคือจะหาผลบวกอย่างไร แนะให้อีกนิดครับ 1+2-3+4+5-6+.....-90 = ? ตัวเลขนี้เอามาใช้ด้วย

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

็
HINT

พจน์ที่มี $x^{88}$ เกิดจาก x คูณกัน 88 ตัว คูณกับค่าคงที่อีก 2 ตัวจากทั้งหมด 90 วงเล็บ ดังนั้นจึงต้องหาผลบวกของผลคูณของค่าคงที่ 2 วงเล็บจาก 90 วงเล็บ
แต่สิ่งที่ยากคือจะหาผลบวกอย่างไร

ตรงนี้ ผมก็ยังไม่เข้าใจว่า มันจะทำได้อย่างไร อยู่ดี แต่ช่วงหลังผมทำได้แล้วคับ ได้ 1305 ใช่มะคับ ช่วยHintอีกซักหน่อยครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ตรงนี้ ผมก็ยังไม่เข้าใจว่า มันจะทำได้อย่างไร อยู่ดี แต่ช่วงหลังผมทำได้แล้วคับ ได้ 1305 ใช่มะคับ ช่วยHintอีกซักหน่อยครับ

HINT ละเอียด

1. ลองนึกถึง ตาราง 90*90 โดยนอกตารางทั้งแนวตั้งและแนวนอนลงเลข 1,2,-3,...,-90 ส่วนสมาชิกในตารางแต่ละตัวเกิดจากการนำเลขในแนวตั้งและแนวนอนมาคูณกัน (เสมือนทำตารางคูณเลขน่ะครับ)

2. ดูว่า สัมประสิทธิ์ที่ต้องการ คือค่าตรงไหนในตาราง บวกกันบ้าง

3. ถ้าทำมาถูกทาง จะพบว่า สัมประสิทธิ์ที่ต้องการ หาได้จาก ผลบวกเลขในตารางทั้งหมด ลบออกจากสมาชิกบนเส้นทแยงมุม แล้วหารสอง
4. อาจจะต้องใช้ (1+2-3+4+5-6...-90)(1+2-3+4+5-6...-90)

[bell18]

ความเห็น #8 ขอชมว่าคุณ nooonuii แสดงได้เยี่ยมมากจริงๆครับ โจทย์ข้อนี้มองยากมาก

ข้อ13.นำสองสมการหารกันได้ $x^2-xy+y^2=270$...(3)
จากสมการแรกได้ $x^2+2xy+y^2=900$
นำสองสมการนี้ลบกันได้ $3xy=630$ ซึ่งจะได้ $xy=210$
นำค่าของ xy ไปแทนในสมการ(3)จะได้ $x^2+y^2=480$

[jabza]

รบกวน ท่านทั้งหลาย ที่มีความสามารถ ช่วยอธิบายข้อ 28 อีกทีครับ
ผมยังไม่เข้าใจตรง ตารางที่คุณpasser-by 90*90คือยังไงหรอครับ
ช่วยทำมาให้ดูได้ไหมครับ

และ ใครก็ได้ช่วยHint ข้อ 25 อีกข้อครับ ยังทำไม่ได้ ในตอนนี้ ข้อนั้นตอบ 40 องศา

[Psychoror]

งั้นกระผมขออนุญาตเฉลยข้อ 25 ก่อนนะครับ
** วิธีผมถึกมากๆครับ ถ้าใครมีวิธีดีกว่านี้ก็กรุณาช่วยเฉลยด้วยครับ ขอบคุณครับ

$AB=x, AD=y,BD=z, CD=x+y, AC=x+z$
กางวงเวียนรัศมี $AB$ ที่ $A$ ตัด $AC$ ที่ $E$ ลาก $DE$ จะได้ $\triangle BAD \cong \triangle EAD$
$BD=DE=z$
จาก $\hat a = 20^\circ$
ต่อ $CA$ พอประมาณ กางวงเวียนรัศมี $AD$ ตัด $CA$ ที่ $F$ ลาก $BF$
จะได้ $CB=CF=x+y+z$
จะได้ $C \hat BF=C \hat FB=\frac{180-20}{2}=80^\circ$
พิจารณา $\triangle ADF , AD=AF$
$\therefore A \hat DF = A \hat FD$
ทำให้ $B \hat DF = B \hat FD$
$BD=BF$
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle ABD$
$\therefore A \hat DB = A \hat DE = 80^\circ$
$\therefore C \hat DE = 20^\circ , A \hat ED = A \hat BC = 40^\circ$