ผลบวกของอนุกรมสนุกๆ

[Puriwatt]

จงหาค่าผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
ข้อ 1. $$51+53+55+57++59+...+199$$
ข้อ 2. $$\frac {3}{1\times2^2} +\frac{5}{2^2\times3^2}+\frac{7}{3^2\times4^2}+\frac{9}{4^2\times5^2}+...+\frac{199}{99^2\times100^2}$$
ข้อ 3. $$\frac {1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{9999}+\sqrt{10000}}$$
ข้อ 4. $$\frac {1}{2+\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} + \frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+\frac{1}{5\sqrt{4}+4\sqrt{5}}+...+\frac{1}{10000\sqrt{9999}+9999\sqrt{10000}}$$

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

นั่งดูเล่นๆ มีง่าย 2 ข้อครับ
ข้อ 1 ตอบ 9,375 ถ้าจำไม่ผิด
ข้อ 3 ตอบ 99 ใช่ไหมครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

จงหาค่าผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
ข้อ 1. $$51+53+55+57++59+...+199$$
ข้อ 2. $$\frac {3}{1\times 2^2} +\frac{5}{2^2\times 3^2}+\frac{7}{3^2\times 4^2}+\frac{9}{4^2\times 5^2}+...+\frac{199}{99^2\times 100^2}$$
ข้อ 3. $$\frac {1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{9999}+\sqrt{10000}}$$
ข้อ 4. $$\frac {1}{2+\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} + \frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+\frac{1}{5\sqrt{4}+4\sqrt{5}}+...+\frac{1}{10000\sqrt{9999}+9999\sqrt{10000}}$$

ข้อ 1 ใช้ผลรวมเลขคี่จาก 1 - 199 ลบด้วย ผลรวมเลขคี่ 1- 49
ข้อ 2 ใช้ Telescopic เทคนิค จัดรูปเป็น $1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{99^2}-\frac{1}{100^2} $
ข้อ 3,4 คูณด้วยสังยุคของมันแล้วจัดรูปก็จะได้แล้วครับ

ps. คุณ Puriwatt ควรใช้ \times แทน x ในการคูณนะครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ข้อ 1 ผมทำงี้นะครับ จากสูตรผลบวกจำนวนคี่ $=\frac{(ต้น+ปลาย)}{2}\times(a)$
PS.เมือ $a=\frac{ปลาย-ต้น}{2}+1$ อ่ะครับ

งั้นข้อ 2 ก็คงตอบ 10,001 ใช่ไหมครับ

[Puriwatt]

ข้อ 1. ถ้าใช้วิธีของคุณ Kanakon จะง่ายกว่าครับ (ได้$100^2-25^2$ = 10,000-625 = 9,375)
ข้อ 2. คำตอบไม่ถูกครับ(ถ้าคิดต่อจากคุณ Kanakon แล้วจะได้คำตอบที่ถูกครับ)
ข้อ 3. ตอบ 99 ถูกต้องครับ (แนวเดียวกับ ข้อสอบสพฐ.ข้อ 30 ครับ )

[นนท์]

ข้อ 2.

ได้$\frac{9999}{10000}$ รึเปล่า 55

ข้อ 4.

ได้$\frac{99}{100}$ รึเปล่า 55

เพิ่มเติมคับจงหาผลบวกของอนุกรม
$ \frac{1}{11} -\frac{1}{1100}+\frac{1}{111}-\frac{1}{111000}+\frac{1}{1111}-\frac{1}{11110000}+...$
ใครมีอีกก็ลงมาได้นะคับจะได้สนุกสนานกัน..

[narokpoom]

\frac{1}{11}-\frac{1}{1100}+\frac{1}{111}-\frac{1}{111000}+\frac{1}{1111}-\frac{1}{11110000}+...
=\frac{100-1}{1100}+\frac{1000-1}{111000}+\frac{10000-1}{11110000}+...
=\frac{99}{1100}+\frac{999}{111000}+\frac{9999}{11110000}+...
=\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...

จากสูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้ผลบวกคือ 9(\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{10}})
ซึ่งเท่ากับ 9(\frac{\frac{1}{100}}{\frac{9}{10}}) = 9\frac{1\times10}{100\times9}
= \frac{1}{10}

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ narokpoom

$\frac{1}{11}-\frac{1}{1100}+\frac{1}{111}-\frac{1}{111000}+\frac{1}{1111}-\frac{1}{11110000}+...$
=$\frac{100-1}{1100}+\frac{1000-1}{111000}+\frac{10000-1}{11110000}+... $
=$\frac{99}{1100}+\frac{999}{111000}+\frac{9999}{11110000}+...$
=$\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+...$

จากสูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้ผลบวกคือ $9(\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{10}}) $
ซึ่งเท่ากับ $9(\frac{\frac{1}{100}}{\frac{9}{10}}) = 9\frac{1\times10}{100\times9}$
$= 1\times10$

อย่าลืมเติม $ ด้วยนะครับ

[Psychoror]

ง่ายๆครับ ข้อ 1 กับ 2 อนุกรมธรรมดาครับ
ข้อ 3 Conjugate ลูกเดียวครับ
ข้อ 4 Conjugate เช่นเดียวกันและหาความสัมพันธ์ของตัวส่วนครับ 2 6 12 .....

[kanakon]

มาเติมโจทย์ให้ครับมีทั้งง่ายและยากปนกันไป เผื่อใครว่างๆ และเบื่อๆ อยากทำแต่ไม่รู้จะสนุกเหมือนหัวข้อหรือเปล่า
โจทย์ทั้งหมดมาจากหนังสือ Mathematical Olympiad Challenge นะครับ

Evaluate หรือ จงหาค่านิพจน์ต่อไปนี้
1. $$\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} $$
2. $$\prod_{n = 2}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n^2} \,\right) $$
3. $$\sum_{k = 1}^{n}k!(k^2+k+1)$$
4. $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$
5. Let $F_n$ is Fibonacci sequence $$a)~~~~\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}F_{n+1}}$$ $$b)~~~~\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}}$$
6. ข้อนี้เคยโพสท์ไว้แล้วนะครับแต่ผมเห็นมันสวยดีเลยอยากให้หลายๆคนลองทำดู$$\sqrt{1+\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} } +\sqrt{1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} }+...+\sqrt{1+\frac{1}{1999^2} +\frac{1}{2000^2} }$$
7. $$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{F_{2^n}}$$
หวังว่าทุกคนคงสนุกนะครับ

[Lekkoksung]

จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้

ข้อ 1
$$51+53+55+57+59+...+199$$

ให้ $A_{1}=51+53+55+57+59+...+199$ และ
$~~~A_{2}=199+...+59+57+55+53+51$ และเนื่องจาก $A_{1}=A_{2}=K$ จะได้
$~~2K=250+250+250+250+250+...+250$ จากนั้นเราจะหาว่า $A_{1}$ หรือ $A_{2}$ มีกี่พจน์ จาก
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$
$199=51+(n-1)2$ แก้สมการจะได้ $n=75$ ฉะนั้นจาก $2K=250+250+250+250+250+...+250$ จะได้ว่า
$2K=75(250)$ แก้สมการได้ $K=A_{1}=A_{2}=9375$

$\diamond$

[kanakon]

Very Big Hint

Telescopic technique

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

มาเติมโจทย์ให้ครับมีทั้งง่ายและยากปนกันไป เผื่อใครว่างๆ และเบื่อๆ อยากทำแต่ไม่รู้จะสนุกเหมือนหัวข้อหรือเปล่า
โจทย์ทั้งหมดมาจากหนังสือ Mathematical Olympiad Challenge นะครับ

Evaluate หรือ จงหาค่านิพจน์ต่อไปนี้
1. $$\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} $$
2. $$\prod_{n = 2}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n^2} \,\right) $$
3. $$\sum_{k = 1}^{n}k!(k^2+k+1)$$
4. $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})} $$
5. Let $F_n$ is Fibonacci sequence $$a)~~~~\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}F_{n+1}}$$ $$b)~~~~\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}}$$
6. ข้อนี้เคยโพสท์ไว้แล้วนะครับแต่ผมเห็นมันสวยดีเลยอยากให้หลายๆคนลองทำดู$$\sqrt{1+\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} } +\sqrt{1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} }+...+\sqrt{1+\frac{1}{1999^2} +\frac{1}{2000^2} }$$
7. $$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{F_{2^n}}$$
หวังว่าทุกคนคงสนุกนะครับ

1. $1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ (พิจารณา $\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}}$)
2. $\frac{1}{2} \because lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{x+1}{2x}) = \frac{1}{2}$
3. $(n+1)!(n+1)-1$ (พิจารณา $(k+1)(k+1)!-k(k)!$)
4. $2$ (พิจารณา $\frac{3^k}{3^k-2^k}-\frac{3^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}$)
6. $2000-\frac{1}{2000}$

[kanakon]

ข้อ 5

Hint

$$a)~~\frac{F_n}{F_{n-1}F_{n+1}}=\frac{1}{F_{n-1}}-\frac{1}{F_{n+1}} $$
$$b)~~\frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}}=\frac{1}{F_{n-1}F_n}-\frac{1}{F_nF_{n+1}}$$

[Puriwatt]

สงสัยจะไม่ค่อยสนุกแล้วละครับ (แต่คงสะใจพวกชอบความโหดไม่น้อย)