|
|
#1
04 พฤศจิกายน 2008, 23:15
|
||||
|
||||
น่าดู
ให้ $x,y,z > 0$ ที่ $x+y+z=3$ จงแสดงว่า
$$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}} \geq 3^{7/6}\cdot \sqrt[6]{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{3}} $$ 
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก  (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ 
|
|
#2
09 พฤศจิกายน 2008, 11:11
|
||||
|
||||
|
อ่า... ช่วยเช็ควิธีของผมด้วยครับ
***เราสามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายว่า $\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}\geq 3$*** โดยอสมการ Cauchy-Schwarz $\sum_{cyc}\sqrt {2(x^2+\frac {1}{x^2})} \geq \sum_{cyc} x+\frac {1}{x}$ $\sqrt {2}LS \geq (3+\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z})$ $\geq (3+\frac {3}{8}(\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z})+\frac {5}{8}(3))$...........................(Because $\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}\geq 3$) $= 3+\frac {15}{8}+\frac {3}{8}(\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z})$ $=5+\frac {3}{8}(\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}-\frac {1}{3})$ โดย AM-GM $5(1)+\frac {3}{8}(\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}-\frac {1}{3}) \geq 6\sqrt[6] {\frac {3}{8}(\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}-\frac {1}{3}) }$ $\sqrt {2}LS \geq \frac {6}{\sqrt {2}}\sqrt[6] {3(\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}-\frac {1}{3}) } $ $LS \geq 3^{\frac {7}{6}}\sqrt[6] {(\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}-\frac {1}{3}) }$ 
__________________
PHOENIX
NEVER DIE
|
  |
|
|
