โจทย์อสมการฝากเด็ก สอวน. <3>

[SolitudE]

ไม่ทราบว่าเคยทำกันมาหรือยัง เลยเอามาลงนะครับ


1. สำหรับจำนวนธรรมชาติ(จำนวนนับ?) $m , n$ ทุกจำนวน จงแสดงว่า $$\frac{1}{\sqrt[m]{n+1} }+\frac{1}{\sqrt[n]{m+1} }\geqslant 1$$

2. ให้ $a , b , c$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $abc\geqslant 1$ จงแสดงว่า

$$\frac{1}{a+b^4+c^4}+\frac{1}{a^4+b+c^4}+\frac{1}{a^4+b^4+c}\leqslant 1$$

[หยินหยาง]

ข้อ1. AM-GM ก็ออกแล้วครับ
ข้อ2. มองคร่าวๆ น่าจะใช้โคชี่ก็ออกครับ

[Jew]

ข้อแรกทำยังไงครับ
ขอแค่ hint ก็พอครับ

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อ1. AM-GM ก็ออกแล้วครับ
ข้อ2. มองคร่าวๆ น่าจะใช้โคชี่ก็ออกครับ

จากคำบอกของคุณหยินหยาง ผมก็ไม่ทราบเหมือนกันครับ - -

เลยเอามาฝากไว้

ใครคิดได้ก็โปรดด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

ข้อแรกทำยังไงครับ
ขอแค่ hint ก็พอครับ

ใช้ AM - GM ถ่วงน้ำหนัก

เริ่มให้ไว้แบบนี้นะครับ

$\sqrt[m]{n+1}=(n+1)^{1/m}\cdot 1^{1-1/m}\leq \dfrac{n+1}{m}+1-\dfrac{1}{m}$

[~king duk kong~]

AM-GM ธรรมดา กับ AM-GM ถ่วงน้ำหนัก ต่างกันยังไงอ่ะครับ

[nooonuii]

มันคือ ภาคขยายของ AM - GM ธรรมดาครับ ใช้งานได้กว้างกว่า

[God Phoenix]

ข้อสองเริ่มยังงี้ครับ


$\sum_{cyc} \dfrac{1}{a+b^4+c^4}= \sum_{cyc} \dfrac{abc}{a^2bc+abc(b^4+c^4)} \leq\sum_{cyc} \dfrac{abc}{a^2bc+b^4+c^4}$

ดีกรีข้างล่างก็จะเท่ากันแล้ว