ช่วยคิดข้อนี้ด้วยครับ คิดมาหลายวันแล้วยังไม่ออกเลยครับ

[Psychoror]

1.) กำหนดให้ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ

$$x^3-3xy^2=1999$$
$$y^3-3x^2y=1998$$

จงหาค่าของ $$\frac{1}{(1 - \frac{x_1}{y_1})(1 - \frac{x_2}{y_2})(1 - \frac{x_3}{y_3})}$$

**โจทย์ไม่ได้ผิดนะครับ นี่เป็นโจทย์ IMC รอบประเทศปี 2550 ครับ

2.) ถ้ากำหนดระบบสมการ
$$10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0$$
$$3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0$$
แล้วจงหาค่าของ $$x^3+y^3$$

3.) ถ้ากำหนดระบบสมการ
$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=96$$
$$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2=144$$
$$a_1^3+a_2^3+a_3^3+\cdots+a_n^3=216$$
เมื่อ $a_i$เป็นจำนวนจริงบวกสำหรับทุก $i=1, 2, 3,\cdots$ แล้วจงหาค่าของ$$a_1^4+a_2^4+a_3^4+\cdots+a_n^4$$

[Psychoror]

ทำไมไม่มีคนมาช่วยตอบเลยอ่ะครับ คนเก่งๆในบอร์ดนี้ไม่อยู่เลยเหรอเนี่ยครับ

[gon]

เล่นเว็บบอร์ดต้องใจเย็นๆนะครับ ทุกคนก็มีงานส่วนตัวกันทั้งนั้น อย่างที่ผมเคยเขียนไว้ในกระทู้คำแนะนำในการใช้เว็บบอร์ด ว่าถ้าเรามีเวลาก็ควรจะทำตัวเป็นนายแพทย์บ้าง เพราะถ้าทุกคนถามเป็นอย่างเดียว แต่ไม่ใคร่จะตอบคำถามอื่น ก็จะไม่มีแรงกระตุ้นให้คนอื่นอยากคิดหรือตอบ เพราะการคิดหรือพิมพ์คำตอบนี่ต้องใช้เวลาทั้งนั้น นี่ไม่ได้เจาะจงใครคนใดคนหนึ่งนะครับ

กลับมาที่คำถาม
ข้อ 1 : ผมลองคิดให้อย่างคร่าวๆที่สุด ยังไม่ได้ตรวจคำตอบ คุณ Psychoror หรือท่านใดที่คิดแล้วฝากตรวจสอบให้ด้วยละกันครับ

จับสมการแรกหารด้วยสมการที่สองจะได้ $$\frac{x}{y}(\frac{\frac{x^2}{y^2} - 3}{1 - 3\frac{x^2}{y^2}}) = \frac{1999}{1998} = r \quad (*) $$
สมมติให้ $$z = 1 - \frac{x}{y} \iff \frac{x}{y} = 1 - z$$
แทนลงใน (*) แล้วจัดรูปจะได้ $$z^3 - (3+3r)z^2 + 6rz - 2r + 2 =0$$
ดังนั้นโดย Vieta's Relation จะได้ $$z_1z_2z_3 = 2r - 2 = \frac{2}{1998}$$
ดังนั้นที่ต้องการคือ $\frac{1998}{2} = 999$

[Psychoror]

ขอบคุณท่าน Gon มากๆๆๆครับ แล้วกรุณาช่วย ข้อ 2 กับ 3 ด้วยครับขอบคุณมากๆครับ

[Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ผมก็ได้ 999 เหมือนกัน แต่วิธีผมคือเอา 2 สมการมาลบกันแล้วจัดรูปเป็นกำลังสามสมบูรณ์

ตลกครับ เอามาลบกันมันก็ได้ $$x^3+3x^2-3xy^2-y^3=1$$ สิครับ

[Tinyo Dragonn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Psychoror

2.) ถ้ากำหนดระบบสมการ
$$10x^3+5y^2-2xy-38x-6y+41=0$$
$$3x^2-2y^2+5xy-17x-6y+20=0$$
แล้วจงหาค่าของ $$x^3+y^3$$

เท่าที่เคยเห็นคิดว่าโจทย์ข้อ 2 ควรเป็น
$$10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0$$

[Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tinyo Dragonn

เท่าที่เคยเห็นคิดว่าโจทย์ข้อ 2 ควรเป็น
$$10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0$$

ขอโทษทีครับ พิมพ์ผิด แก้ให้แล้วครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Psychoror

ตลกครับ เอามาลบกันมันก็ได้ $$x^3+3x^2-3xy^2-y^3=1$$ สิครับ

โทดทีครับ สงสัยทดผิดไปครับ (แต่ดันฟลุ๊คได้คำตอบตรงกันอีก)

[Mathophile]

หลังจากหมดสติไปช่วงหนึ่งที่เห็นสมการกำลังสามสองตัวแปรในข้อ 2 เมื่อแก้โจทย์แล้วก็ค่อยยังชั่วครับ

ข้อ 2. กำจัดพจน์ $xy$ โดยคูณสมการแรกด้วย 5 และคูณสมการหลังด้วย 2 แล้วบวกกันจะได้สมการที่สมมูลกับ
$$0=8x^2+3y^2-32x-6y+35=8(x-2)^2+3(y-1)^2$$พิจารณาในระบบจำนวนจริง จะได้ว่าสมการเป็นจริง เมื่อ $x-2=0$ และ $y-1=0$
นั่นคือ $x=2,y=1$ จึงได้ $x^3+y^3=9$
(ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ผมก็ไปไม่ถูกล่ะครับ )

ข้อนี้วัดกันที่ความกล้าที่จะคิดเลขเยอะๆ ครับ