อสมการมาฝากเด็ก สอวน.(2)

[tatari/nightmare]

$(a,b,c>0,a+b+c=3)$
$$\sum_{cyc}\sqrt{2a^2+bc}\leq \sqrt{3}(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}})$$

Hint : Just Cauchy!!!

[God Phoenix]

ใช้ cauchy กับ AM-GM ครับ
$\sum_{cyc}\sqrt{2a^2+bc}\leq \sqrt{3(2(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca))}$

แต่ $\sqrt{(2(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca))}\sqrt{3(ab+bc+ca)}\leq (a+b+c)^2=9$ (AM-GM)

ดังนั้น
$\sum_{cyc}\sqrt{2a^2+bc}\leq \dfrac{9}{\sqrt{(ab+bc+ca)}}$

ซึ่ง
$\ \ \dfrac{9}{\sqrt{ab+bc+ca}}\leq \sqrt{3}(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}})$ โดย cauchy สองรอบ