สอวน. มน. ค่าย2

[จูกัดเหลียง]

1.

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} -{3}$
$f(x)f(x+5)-f(x)=3f(x+5)-5$
ถ้า $f(1011)=2554 $จงหา $f(2011)$

2.

$p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะ พิสูจน์ $ql2^p-1$ $\rightarrow$ $q>p$

[BLACK-Dragon]

คอมบินาทอริก

1. จงหาจำนวนคำตอบของ

$$x_1+x_2+x_3=40$$

โดยที่ $6\leqslant x_1\leqslant 15,5\leqslant x_2\leqslant 20$ และ $10\leqslant x_3\leqslant 25$

ไม่แน่ใจ

answer

135 หรือเปล่าครับ

2.จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{n+r}$

$$(1+x)^{2n}+x(1+x)^{2n-1}+x^2(1+x)^{2n-2}+...+x^n(1+x)^n$$

เมื่อ$1\leqslant r\leqslant n$

ไม่แน่ใจ

answer

$\binom{2n+1}{n-r+1}-\binom{n}{n-r+1}$

3.จงหาคู่อันดับ$(x,y,z)$ เมื่อ $x^2+y^2+z^2=11264$ เมื่อ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก

[LightLucifer]

คอมบิข้อ 1 ไม่ใช่ 125 เหรอครับ (แอบรั่ว ^^)
ข้อ NT #1
ให้ $r= ord_q2$
จะได้ว่า $r | q-1$ และ $r |p$ จะได้ $r=p$ หรือ $1$ แต่ $r=1$ ชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น $r=p$
จะได้ว่า $p|q-1\rightarrow q-1 \geq p \rightarrow q \geq p+1\rightarrow q>p$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

คอมบิข้อ 1 ไม่ใช่ 125 เหรอครับ
ข้อ NT #1
ให้ $r= ord_q2$
จะได้ว่า $r | q-1$ และ $r |p$ จะได้ $r=p$ หรือ $1$ แต่ $r=1$ ชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น $r=p$
จะได้ว่า $p|q-1\rightarrow q-1 \geq p \rightarrow q \geq p+1\rightarrow q>p$

มันได้ $\binom{21}{2}-\binom{11}{2}-\binom{5}{2}-\binom{5}{2}+0+0+0+0$

ไม่ใช่หรอครับ

[LightLucifer]

อ่อ ถูกแล้วครับ คิดเลขผิด
^^(แอบรั่ว 55+)

ปล สอบเร็วจังครับ

[Keehlzver]

ค่าย 2 เรียนเรื่้อง Order ด้วยเหรอครับ??

[LightLucifer]

กทม ไม่สอนในค่าย 2
ปีที่แล้วสอนในรอบ 30 คน
ความจริง Order เป็นเรื่องที่อยากจะใช้จริงๆก็พิสูจน์เพิ่มนิดเดียวเอง ไม่กี่บรรทัดนี่ครับ
เหมือนที่บางคน(ผมด้วย)แอบใช้คอนกรูเอน ในค่ายหนึ่ง โดยเขียนในรูปของทวินาม

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

อ่อ ถูกแล้วครับ คิดเลขผิด
^^(แอบรั่ว 55+)

ปล สอบเร็วจังครับ

เปล่าหรอกครับ พึ่ง part แรกครับ

ซึ่งจุกพอดู(ถึงมากที่สุด)

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

3.จงหาคู่อันดับ$(x,y,z)$ เมื่อ $x^2+y^2+z^2=11264$ เมื่อ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก

มีคน PM มาถาม Sol ข้อนี้ ผมก็ไม่ค่อยมั่นใจนะครับ
แต่จะลองโพสดู
พิจรณาะจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ จะได้ $n^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$
นั่นคือ $a^2+b^2+c^2 \equiv 0,1,2,3 \pmod{4}$
แต่ $a^2+b^2+c^2 \equiv 11264 \equiv 0 \pmod{4}$ จะได้ว่า $a,b,c$ ต้องเป็นเลขคู่เท่านั้น
เราก็เอา $4$ หารลงไปทั้งสองข้าง
จะได้ $(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2+(\frac{c}{2})^2 =2,816$
ทีนี้ก็ใช้เหตุผลเดิม เอา 4 หารลงไป เรื่อยๆ สุดท้ายจะได้
$(\frac{a}{32})^2+(\frac{b}{32})^2+(\frac{c}{32})^2 =11$ ทีนี้ก็ไม่ยากแล้ว

แต่มันยังดูแปลกๆยังไงไม่รู้ ช่วยเช็คหน่อยนะครับ

[กิตติ]

คอมบิข้อแรก ผมลองคิดก็ได้เท่ากับที่คุณ $BLACK-DRAGON$ คิดไว้
ส่วนข้อ3.....กำลังมึน.....$11264=2^{10}\times 11$....แยกกรณีแล้วยังมึนๆอยู่
วิธีของคุณ $LightLucifer$ ที่พิสูจน์ให้ว่า$a,b,c$ ต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้นน่าสนใจ
เพราะผมลองให้
$x\geqslant y\geqslant z$....และให้$x=mz,y=nz$ โดยที่$m,n>0$
$x^2+y^2+z^2=(1+m^2+n^2)z^2=2^{10}\times 11$
ทำให้$z$ เหลือขอบเขตเป็น$z=2,4,8,16,32$ นำค่าของ$z$ไปแทนกลับในสมการจะได้ว่า
$x^2+y^2=2^{10}\times 11-z^2$
$=2^2(2^8\times 11-1)$
$=2^4(2^6\times 11-1)$
$=2^6(2^4\times 11-1)$
$=2^8(2^2\times 11-1)$
$=2^{10}(11-1)$

.....ผมหาค่าได้แค่ว่า$z$ เป็นจำนวนคู่

....จาก$x^2+y^2=2^{10}\times 11-z^2$ จริงๆก็สรุปได้แค่ว่า ผลบวกของ$x^2$ กับ$y^2$ ต้องเป็นจำนวนคู่

ขอบคุณมากครับคุณLightLucifer.....แก้ตัวเลขแล้วครับ

[LightLucifer]

$11264=2^{10}(11)$ ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

$11264=2^{10}(11)$ ครับ

ทำไมเราถึงต้อง $(mod4)$ ด้วยอ่ะครับ

หรือเป็นเพราะ $11264$ มี$2,4,8...$ เป็นตัวประกอบ

[LightLucifer]

ถ้าตอบตามความจริง(เราไม่fakeกันอยู่แล้ว)
คือผมไม่ได้คิดอะไรมากเลย แค่เห็นว่ามันเป็นกำลังสอง
ก็เลยลองๆเช็ค mod 4 ดู แล้วฟลุ๊คออกมาเป็นอย่างนี้อ่ะครับ