ช่วยคิดข้อนี้หน่อยครับ[ตรีโกณมิติ]

[gnap]

(tan1)^2+(tan3)^2+...+(tan89)^2=?
Cr.Tugmos Round 2

[กิตติ]

$(tan^21^\circ )+(tan^23^\circ)+...+(tan^289^\circ)=?$
เหมือนจะเคยเห็นคุณgonเฉลยแล้วใช้เรื่องของvieta formula
ผมจำได้รางๆว่า สิ่งที่โจทย์ถามเป็นสัมประสิทธิ์ของค่า $x^{44}$ ของสมการ
$x^{45}+a_1x^{44}+a_2x^{43}+...+a_{44}x+a_{45}=0$
ให้ $a_{45}=(tan^21^\circ )(tan^23^\circ)(tan^289^\circ)=1$
ลองค้นในบอร์ดดูก่อน ผมอาจจำผิดก็ได้เรื่องวิธีทำ

[artty60]

ผมว่าข้อนี้ควรจะไปอยู่ในส่วนม.ปลายนะครับ

[cardinopolynomial]

ผมว่า excel ผิด หรือ คุณเเฟร์เเทนค่าผิดน่ะครับ ข้อนี้ตอบ $5310\frac{1}{3}$

[Form]

ข้อนี้ผมได้ $5310\frac{1}{3} $เหมือนกันครับ

เพราะว่า $(Cos\theta +iSin\theta )^{180} = (Cos180\theta +iSin180\theta ) $
จาก binomial เหมือนกระจาย $ (a+bi)^{180} $ ได้
$= (Cos\theta )^{180} + \binom{180}{1}(Cos\theta )^{179} (iSin\theta ) +... $
$ = [(Cos\theta )^{180} - \binom{180}{2}(Cos\theta )^{178} (Sin\theta )^2+... ]+ i[\binom{180}{1}(Cos\theta )^{179} Sin\theta - \binom{180}{3}(Cos\theta )^{177} +... ] $
เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $ [\binom{180}{1}(Cos\theta )^{179} Sin\theta - \binom{180}{3}(Cos\theta )^{177} +... ] = Sin180\theta $
$ เพราะว่า (Sin\theta )^{180} [180(Cot\theta )^{179} - \binom{180}{3}(Cot\theta )^{177} +... ] = 0 $ จะได้สมการมีราก $ \theta = 0,1,2,...,89,...,179 $ แต่ใช้ได้แค่ $\theta = 1,2,...,89 $
เพราะว่า $ Sin\theta \not= 0 ; Cot\theta [180(Cot\theta )^{178} - \binom{180}{3}(Cot\theta )^{176} +... =0 ] $
เพราะว่า $ Cot\theta \not= 0 ; 180(Cot^2\theta )^{89}- \binom{180}{3}(Cot^2\theta )^{88}+ ... =0 $
ให้$ x =Cot^2\theta จะได้ 180 x^{89} - \frac{180\times 179\times 178}{6} x^{88} +... =0 $
$ x= Cot^21,Cot^22,Cot^33,...,Cot^289 $
ใช้ทฤษฎีบทเดสการ์ด ผลบวกราก ได้ $ Cot^21+Cot^22+...+Cot^289 =\frac{180\times 179\times 178}{3\times 180} =5310\frac{1}{3} $
ซึ่ง $ Cot^21+Cot^22+...+Cot^289 =tan^21+tan^22+...+tan^289 = 5310\frac{1}{3} $
หากมีข้อผิดพลาดประการใดก็รบกวนด้วยนะครับ
ขอบคุณครับ

[Form]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cardinopolynomial

ผมว่า excel ผิด หรือ คุณเเฟร์เเทนค่าผิดน่ะครับ ข้อนี้ตอบ $5310\frac{1}{3}$

อ่านโจทย์ผิดครับ ผมด้วย - -'

[cardinopolynomial]

เซ้ง อ่านโจทย์ผิด ขอโทษคุณเเฟร์ครับ

[gnap]

รู้สึกว่าจะยากกว่าม ต้น เยอะเลยครับ
สมกับที่เป็น tugmos

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Form

ข้อนี้ผมได้ $5310\frac{1}{3} $เหมือนกันครับ

เพราะว่า $(Cos\theta +iSin\theta )^{180} = (Cos180\theta +iSin180\theta ) $
จาก binomial เหมือนกระจาย $ (a+bi)^{180} $ ได้
$= (Cos\theta )^{180} + \binom{180}{1}(Cos\theta )^{179} (iSin\theta ) +... $
$ = [(Cos\theta )^{180} - \binom{180}{2}(Cos\theta )^{178} (Sin\theta )^2+... ]+ i[\binom{180}{1}(Cos\theta )^{179} Sin\theta - \binom{180}{3}(Cos\theta )^{177} +... ] $
เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $ [\binom{180}{1}(Cos\theta )^{179} Sin\theta - \binom{180}{3}(Cos\theta )^{177} +... ] = Sin180\theta $
$ เพราะว่า (Sin\theta )^{180} [180(Cot\theta )^{179} - \binom{180}{3}(Cot\theta )^{177} +... ] = 0 $ จะได้สมการมีราก $ \theta = 0,1,2,...,89,...,179 $ แต่ใช้ได้แค่ $\theta = 1,2,...,89 $
เพราะว่า $ Sin\theta \not= 0 ; Cot\theta [180(Cot\theta )^{178} - \binom{180}{3}(Cot\theta )^{176} +... =0 ] $
เพราะว่า $ Cot\theta \not= 0 ; 180(Cot^2\theta )^{89}- \binom{180}{3}(Cot^2\theta )^{88}+ ... =0 $
ให้$ x =Cot^2\theta จะได้ 180 x^{89} - \frac{180\times 179\times 178}{6} x^{88} +... =0 $
$ x= Cot^21,Cot^22,Cot^33,...,Cot^289 $
ใช้ทฤษฎีบทเดสการ์ด ผลบวกราก ได้ $ Cot^21+Cot^22+...+Cot^289 =\frac{180\times 179\times 178}{3\times 180} =5310\frac{1}{3} $
ซึ่ง $ Cot^21+Cot^22+...+Cot^289 =tan^21+tan^22+...+tan^289 = 5310\frac{1}{3} $
หากมีข้อผิดพลาดประการใดก็รบกวนด้วยนะครับ
ขอบคุณครับ

มีวิธีที่ง่ายกว่านี้มั้ยครับ
พอดีผมอ่านวิธีนี้แล้วมึน

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ผมว่าข้อนี้ควรจะไปอยู่ในส่วนม.ปลายนะครับ

ขอโทษครับ
ผมเห็นว่ามันมาจากข้อสอบtugmos น่ะครับ

[Form]

วิธีอื่นผมคิดไม่ได้อะครับ รอมีคนมาเฉลยละกันครับ

[Popnapat]

อ่านโจทย์ยังไม่เข้าใจเลยคับ