ช่วยคิดหน่อยน่ะครับ (โจทย์รวมๆของม.ต้น)

[titletam]

1. ถ้า p เเละ q เป็นจำนวนที่มีสองหลัก โดยที่เเต่ละหลักต่างกัน ซึ่งประกอบด้วยเลขโดด 3,5,7,9 เเล้วผลคูณที่มากที่สุดของ p กับ q เป็นเท่าใด

2. จงหาค่าประมาณของ $\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} +\cdots+ \frac{1}{100^2}$ ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำเเหน่ง

3. จงหาจำนวนนับ $n$ มาสักตัวที่ทำให้ $d(n^2)/d(n) = 7$

4. กำหนด N เป็นเลขหกหลัก ซึ่งเมื่อสลับสามหลักเเรกกับสามหลักหลังท้ายเเล้ว ค่าที่ได้เป็น 6 เท่าของค่าเดิม จงหาค่า N ดังกล่าว

5. จงหาเศษที่เกิดจากการนำ $\displaystyle{(1!+2!+3!+\cdots+100!)^{(0!+1!+2!+\cdots+99!)^{(1!+3!+5!+\cdots+97!)}}}$ หารด้วย 10

6. จงหาเศษที่เกิดจากการนำ $(1!)^3 + (2!)^3 + \cdots + (2008!)^3$ หารด้วย 1000

7.ให้ $0 < a,b$ จงพิสูจน์ว่า $a^3b + ab^3 \le a^4 + b^4$

8. กำหนด $x^2 + y^2 + z^2 + 2004w^2 = 4w(x+y+z)$ จงหาค่าของ $(x+2)(y+3)(z+4)(w+5)$

9. ให้ $a = 1996^{2549} + 1995 ,\ b = 1996^{2549} + 1996 ,\ c = 1996^{2549} + 1997$ จงหา $a^2 + b^2 + c^2 -ab -bc -ca$

10. ให้ $a,b,c \ne 0$ ซึ่ง $a+b+c = 0$ เเละ $a^3 + b^3 + c^3 = a^5 + b^5 +c^5$ เเล้ว จงหาค่าของ $a^2 + b^2 + c^2$

[nongtum]

ไม่มีใครตอบเลยเหรอ ผมตอบและแนะนำเป็นบางข้อละกัน...

1. 73 x 59 = 4307
2. พิจารณาถึงทศนิยมตำแหน่งที่สามก่อนปัดครับ หากทราบว่า $\sum\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ อาจช่วยได้ครับ
3. d(n) นิยามว่าอย่างไรครับ
4. 142857 x 6 = 857142
5. เราดูแค่เลขท้าย ดังนั้นกำจัดเทอมที่หารด้วยสิบทิ้งไปให้หมด สังเกตแบบแผนและเลขชี้กำลัง
6. คล้่ายข้อ 5 สังเกตว่า $10^3=1000$
7. รบกวนกลับมาเช็คโจทย์ด้วยครับ มีตัวอย่างค้าน เช่น a=b=0.5 use Cauchy Schwarz inequality
8. ในโจทย์ลืมเทอม $z^2$ หรือเปล่าครับ ถ้่าลืม ข้อนี้ย้ายเทอมไปทางซ้ายให้หมดแล้วใช้กำลังสองสมบูรณ์เพื่อหา $x,y,z,w$ ได้ง่ายๆครับ
9. แทน $a=b-1,\,c=b+1$ ในเทอมที่ต้องการหาสิครับ
10. พิจารณา $(a+b+c)^2,\,(a+b+c)^3,\,(a+b+c)^2(a+b+c)^3=(a+b+c)^5-p(x)$ แล้วแก้สมการหา $a^2+b^2+c^2$ จะได้คำตอบคือ 1.2 ครับ

[titletam]

ขอบคุณมากครับ

ต้องขอโทษสำหรับบางข้อด้วยครับ เพราะบางข้อผมจดโจทย์มาไม่ละเอียดครับ

เเก้โจทย์ข้อ7
ให้ 0<a,b จงพิสูจน์ว่า a^3 b + a b^3 น้อยกว่าหรือเท่ากับ a^4 + b^4

ข้อ 8 ลืม z^2 จริงๆครับ