ถามโจทย์จำนวนเชิงซ้อนต่อครับ

[first]

1.กำหนดให้ x เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ $x^4+6x^3+18x^2+27x+20=0$ ถ้า x1,x2,x3,x4 เป็นคำคอบของสมการ และ a,b,c,d เป็นส่วนจินตภาพของ x1,x2,x3 และ x4 ตามลำดับแล้ว $a^4+b^4+c^4+d^4$ เป็นสมาชิกของเซตในข้อใด
ก. [0,6]
ข. (6,14]
ค. (14,22]
ง. (22,30]

2.กำหนดให้ z1=4+2i และ z2=9+3i แล้วจงหาค่าของ arg(z1)+arg(z2)

แสดงวิธีทำด้วยครับ

[PP_nine]

ขอข้อสองละกัน น่าจะง่าย ประเด็นข้อนี้อยู่ที่ว่า arctan($\frac{1}{2}$)+arctan($\frac{1}{3}$) มีค่าเท่าไหร่

สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนดังกล่าวอยู่ในควอตแรนท์ที่ 1 จึงใช้ arctan ตรงๆ

และมุมที่ได้ก็ย่อมอยู่ในควอตแรนท์ที่ 1 (อันนี้เป็นเพราะอะไรน่าจะลองสังเกตแต่ละตัวดูนะครับ)

เราก็ไห้ k=arctan($\frac{1}{2}$)+arctan($\frac{1}{3}$) แล้ว take tan ทั้งสองฝั่ง จะได้ tan(k)=1

$\therefore k=\frac{\pi}{4}$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ first

1.กำหนดให้ x เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ $x^4+6x^3+18x^2+27x+20=0$ ถ้า x1,x2,x3,x4 เป็นคำคอบของสมการ และ a,b,c,d เป็นส่วนจินตภาพของ x1,x2,x3 และ x4 ตามลำดับแล้ว $a^4+b^4+c^4+d^4$ เป็นสมาชิกของเซตในข้อใด
ก. [0,6]
ข. (6,14]
ค. (14,22]
ง. (22,30]

เริ่มต้นให้แล้วกันนะครับ เพราะที่เหลือก็ตรงไปตรงมา

สังเกตว่า

$x^4+6x^3+18x^2+27x+20$

$=(x^4+6x^3+9x^2)+(9x^2+27x+20)$

$=x^2(x^2+6x+9)+(9x^2+27x)+20$

$=(x(x+3))^2+9x(x+3)+20$

ดังนั้นถ้าสมมติให้ $A = x(x+3)$ ก็จะได้สมการ

$A^2+9A+20=0$