Warm Up for POSN Camp#2

[วิหารเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วิหารเทพ

Geometry problem

Hint use power of a point and vector.

[วิหารเทพ]

Use power of a point to prove

[วิหารเทพ]

Use power of a point.

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่

$1000^n-1 | 1978^n-1$

ช่วยทีครับ

สมมติมีจำนวนเต็ม $n$ ซึ่ง $1000^n-1 | 1978^n-1$
$1000^n-1 | 1978^n-1000^n$
$1000^n-1 | 2^n(989^n-500^n)$
แต่ $\gcd (1000^n-1,2^n) = 1$

$1000^n-1 | 989^n-500^n$

แต่เห็นได้ไม่ยากว่า $1000^n-1 \ge 989^n-500^n \ge 0$ เสมอ ดังนั้นไม่มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่สอดคล้อง

[วิหารเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก n ที่

$1000^n-1 | 1978^n-1$

ช่วยทีครับ

ใช้modแล้วออกหรือเปล่าครับ ผมก็คิดไม่ออก

[Sirius]

NT 2 ข้อ
1.จงแสดงว่าทุก $n\in \mathbb{N}$ จะได้ว่า
$7\mid 3^n+n^3$ ก็ต่อเมื่อ $7\mid 3^nn^3+1$
2.จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
$7^x-3^y=4$ เมื่อ $x,y\in\mathbb{N}$

[Sirius]

Hint ข้อ 1

$n^3$ ใน mod 7

Hint ข้อ 2

แยกกรณีคู่คี่ของ x,y

[polsk133]

1.แยกกรณี $n^3$
2. ได้ว่า x,y เป็นคู่คี่เหมือนกัน กรณีคู่ไม่จริงโดยmod5 กรณีคี่(ไม่มั่นใจว่าวิธีถูกไหมอะครับใช้mod9แยกy=1,>1 )จะได้ว่าy=1เท่านั้น

[คนที่คุณก็รู้ว่าใคร]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Sirius

NT 2 ข้อ
1.จงแสดงว่าทุก $n\in \mathbb{N}$ จะได้ว่า
$7\mid 3^n+n^3$ ก็ต่อเมื่อ $7\mid 3^nn^3+1$

#87 1. ไม่ต้องเเยกเคสก็ได้ครับ
$(\Rightarrow )$ สมมติว่า $7\mid 3^n+n^3$ ได้ว่า $7$ หาร $n$ ไม่ลงตัว ( ctd! ) ซึ่งได้ $n^6\equiv 1 (mod 7)$ เเละจากโจทย์ $7\mid 3^nn^3+n^6$ จึงได้ $7\mid 3^nn^3+1$ ตามต้องการ
$(\Leftarrow )$ ให้ $7\mid 3^nn^3+1$ เเละความจากความจริงที่ว่า$(7,3^n)=1$ ได้ว่า $7\mid 3^nn^6+n^3$ เเต่ $n^6\equiv 1 (mod 7)$ เเละ $(7,3^n)=1$ ได้ว่า $7\mid 3^n+n^3$ ตามต้องการ

[คนที่คุณก็รู้ว่าใคร]

NT อีกซักข้อครับ จงพิสูจน์ว่า $(n,2^{2^n}+1)=1$ เมื่อ n เป็นจำนวนนับครับ

[Sirius]

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=18824
โพสต์ไว้แล้วครับ

[คนที่คุณก็รู้ว่าใคร]

อ่อ ครับ ข้อต่อไปละกันครับ
AL1 จงหาจำนวนคู่ลำดับ $(x,y,z)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับสมการดังนี้
$ x+y+z=3xy $
$x^2+y^2+z^2=3xz$
$x^3+y^3+z^3=3yz$
(olympiad series)

[วิหารเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนที่คุณก็รู้ว่าใคร

อ่อ ครับ ข้อต่อไปละกันครับ
AL1 จงหาจำนวนคู่ลำดับ $(x,y,z)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับสมการดังนี้
$ x+y+z=3xy $
$x^2+y^2+z^2=3xz$
$x^3+y^3+z^3=3yz$
(olympiad series)

ตอบ 8 คู่ ครับ ใช้ Viete's Theorem จะได้ 4 คู่ และ(1,1,1),(0,0,0) รวม 6 คู่ครับ

[วิหารเทพ]

Hint geometry bonus

[tonklaZolo]

1. จงหาค่า $k$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ทำให้
$$a^3+b^3+c^3+d^3+1\geqslant k(a+b+c+d) \quad สำหรับจำนวนจริง\, a,b,c,d \,\geqslant -1$$$

2. ให้ $$\Delta \,ABC$ เป็น $\Delta \,$มุมแหลม จงพิสูจน์ว่า
$\sqrt{a^2+b^2-c^2}+\sqrt{b^2+c^2-a^2}+\sqrt{c^2+a^2-b^2}\leqslant a+b+c$