Warm Up for POSN Camp#2

[TU Gifted Math#10]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

2. ให้ $$\Delta \,ABC$ เป็น $\Delta \,$มุมแหลม จงพิสูจน์ว่า
$\sqrt{a^2+b^2-c^2}+\sqrt{b^2+c^2-a^2}+\sqrt{c^2+a^2-b^2}\leqslant a+b+c$

2. $f(x)=\sqrt x$ is concave on $\left(0,\infty\right)$ since $f''(x)=-\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{2}}$
WLOG $a^2\ge b^2\ge c^2\ge 0$ so $a^2+b^2-c^2\ge a^2+c^2-b^2\ge b^2+c^2-a^2\ge 0$ we get two sequence $\left(a^2;b^2;c^2\right)$ and $\left(a^2+b^2-c^2;a^2+c^2-b^2;b^2+c^2-a^2\right)$
easy to prove that $\left(a^2;b^2;c^2\right) \succ \left(a^2+b^2-c^2;a^2+c^2-b^2;b^2+c^2-a^2\right)$
By Majorize Theory $f(a^2)+f(b^2)+f(c^2)\ge f(a^2+b^2-c^2)+f(a^2+c^2-b^2)+f(b^2+c^2-a^2)$ which imply the statement

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

2. ให้ $$\Delta \,ABC$ เป็น $\Delta \,$มุมแหลม จงพิสูจน์ว่า
$\sqrt{a^2+b^2-c^2}+\sqrt{b^2+c^2-a^2}+\sqrt{c^2+a^2-b^2}\leqslant a+b+c$

$\sqrt{a^2+b^2-c^2}+\sqrt{b^2+c^2-a^2}+\sqrt{c^2+a^2-b^2}$

$\displaystyle = \sum_{cyc} \sqrt{\dfrac{a}{2}}\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}}+\sqrt{\dfrac{b}{2}}\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2b}}$

ซึ่งโดยอสมการโคชี

$\displaystyle \sum_{cyc} \sqrt{\dfrac{a}{2}}\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}}+\sqrt{\dfrac{b}{2}}\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2b}} \le \sqrt{a+b+c}\sqrt{a+b+c} = a+b+c$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

1. จงหาค่า $k$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ทำให้
$$a^3+b^3+c^3+d^3+1\geqslant k(a+b+c+d) \quad สำหรับจำนวนจริง\, a,b,c,d \,\geqslant -1$$$

จะแสดงว่า $k=\dfrac{3}{4}$ เป็นค่าเดียวที่เป็นไปได้

แทนค่า $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$ ลงในอสมการ
$\dfrac{3}{2}\geqslant 2k$
$k \le \dfrac{3}{4}$

แทนค่า $a=b=c=d=-1$ ลงในอสมการ
$-3\geqslant -4k$
$k \ge \dfrac{3}{4}$

$k = \dfrac{3}{4}$

It remains to prove that $4x^3-3x+1 \ge 0$ เสมอเมื่อ $x \ge -1$

[Thgx0312555]

Combi สักข้อ
ให้ $a_1,a_2,...,a_m$ เป็นสมาชิกที่แตกต่างกันของ $\left\{ 1,2,...,n \right\}$ ซึ่งมีคุณสมบัติคือ
สำหรับ $1\le i,j \le m$ ถ้า $a_i+a_j \le n$ จะมี $1 \le k \le m$ ซึ่ง $a_k=a_i+a_j$

จงพิสูจน์ว่า
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{m} \ge \dfrac{n+1}{2}$

[Arsene Lupin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

Combi สักข้อ
ให้ $a_1,a_2,...,a_m$ เป็นสมาชิกที่แตกต่างกันของ $\left\{ 1,2,...,n \right\}$ ซึ่งมีคุณสมบัติคือ
สำหรับ $1\le i,j \le m$ ถ้า $a_i+a_j \le n$ จะมี $1 \le k \le m$ ซึ่ง $a_k=a_i+a_j$

จงพิสูจน์ว่า
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{m} \ge \dfrac{n+1}{2}$

ช่วย hint หน่อยครับ
คอมบิต่ออีกข้อครับ : จงพิสูจน์ว่า จุดบนรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความยาวด้านหน้าจั่ว 1 หน่วย ไม่สามารถทาสี 4 สี โดยไม่มี 2 จุดใดๆ ซึ่งห่างกันอย่างน้อย $2-\sqrt{2} $ ที่เป็นสีเดียวกัน

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Arsene Lupin

คอมบิต่ออีกข้อครับ : จงพิสูจน์ว่า จุดบนรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความยาวด้านหน้าจั่ว 1 หน่วย ไม่สามารถทาสี 4 สี โดยไม่มี 2 จุดใดๆ ซึ่งห่างกันอย่างน้อย $2-\sqrt{2} $ ที่เป็นสีเดียวกัน

โจทย์ผิดหรือเปล่า? ถ้ามันเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า (ซึ่งเป็น special case ของหน้าจั่ว) จะได้ว่าสามารถทาสี 4 สี
โดยแต่ละจุดของแต่ละสีอยู่ห่างกันไม่เกิน $\frac{1}{2}\le 2-\sqrt{2}$
(ตามรูป ส่วน A,B,C,D แต่ละส่วนให้ทาสีเดียวและแต่ละส่วนทาสีต่างกัน)
หรือว่าผมเข้าใจผิดครับ

[Arsene Lupin]

อ่อ ขอโทษครับคือผมลืมเเปลไปส่วนนึงครับ ผมเอาภาพภาษาอังกฤษให้ดูเลยละกันครับ (ผมเเปลภาษาอังกฤษไม่ค่อยถนัดครับ)

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Arsene Lupin

ช่วย hint หน่อยครับ
คอมบิต่ออีกข้อครับ : จงพิสูจน์ว่า จุดบนรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความยาวด้านหน้าจั่ว 1 หน่วย ไม่สามารถทาสี 4 สี โดยไม่มี 2 จุดใดๆ ซึ่งห่างกันอย่างน้อย $2-\sqrt{2} $ ที่เป็นสีเดียวกัน

Hint

use induction

Hint2

$a_1<a_2<\cdots < a_n$; ถ้า $\left\{ a_1,a_2,...,a_m \right\}$ สอดคล้อง $\left\{ a_1,a_2,...,a_m \right\}-\left\{ a_1,2a_1 \right\}$ จะสอดคล้องด้วย

[tonklaZolo]

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกคี่แล้ว $$1+2+3+...+n\mid 1^k+2^k+3^k+...+n^k$$

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

Combi สักข้อ
ให้ $a_1,a_2,...,a_m$ เป็นสมาชิกที่แตกต่างกันของ $\left\{ 1,2,...,n \right\}$ ซึ่งมีคุณสมบัติคือ
สำหรับ $1\le i,j \le m$ ถ้า $a_i+a_j \le n$ จะมี $1 \le k \le m$ ซึ่ง $a_k=a_i+a_j$

จงพิสูจน์ว่า
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{m} \ge \dfrac{n+1}{2}$

ข้อ1 วันแรก IMO 1994

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกคี่แล้ว $$1+2+3+...+n\mid 1^k+2^k+3^k+...+n^k$$

k is odd so $x^k+y^k = (x+y)(x^{k-1}-x^{k-2}y+....-xy^{k-2}+y^{k-1})$
then partition n is odd or even

[Beatmania]

คลายร้อนกับโจทย์กันครับ

1.ให้ $ABC$ มีจุด $P$ อยู่ในสามเหลี่ยม $ABC$ และ $I$ เป็น incenter ของสามเหลี่ยม $ABC$ ที่

$$P\hat B A+P\hat C A=P\hat B C+P\hat C B$$

จงแสดงว่า $AP \geqslant AI$

2.สุ่มระบายสีจุดในระนาบด้วยสี $3$ สีคือ สีแดง สีดำ และสีฟ้า

จงแสดงว่า จะมีจุด $3$ จุดที่มีสีเดียวกันและประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่

$$\frac{2013^{2013}\times 2556^{2556}}{2} $$ ตารางเดคาเมตร

3.มีจำนวนนับ $n$ หรือไม่ที่

$1.)$ $n|2^n+1$

$2.)$ $n$ มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะ ทั้งหมด 25 ตัวพอดี

4.จงแสดงว่ามี$f:R\rightarrow R$ เป็นอนันต์ที่

$1.)$ $f$ เป็นฟังก์ชั่นไม่ต่อเนี่อง

$2.)$ สมการดังต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ $$f(f(x)+f(y)+f(x+y))=2[f(f(x))+f(f(y))+f(f(x+y))]^2$$

5.ให้ $P[x]$ เป็นพหุนามบนจำนวนจริงที่รากทุกตัวเป็นจำนวนจริง

จงพิสูจน์ว่า

$$P(x)P''(x)\leqslant [P'(x)]^2$$

สำหับทุกจำนวนจริง $x$ โดยนิยาม $P'(x)$ คืออนุพันธ์ของพหุนาม $P(x)$

6.Prove or disprove that

$$\frac{x_1}{x_2+x_3} +\frac{x_2}{x_3+x_4} +...+\frac{x_{2554}}{x_{2555}+x_{2556}} +\frac{x_{2555}}{x_{2556}+x_1}+\frac{x_{2556}}{x_1+x_2}\geqslant \frac{2556}{2} $$

hold for all non-negative numbers $x_1,x_2,...,x_{2556}$

ปล.วิชาไหนยาก/ง่ายไปก็ขอโทษด้วยครับ ผมจัดโจทย์ไม่ค่อยดีเท่าไหร่ครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

เรขาข้อแรก $P,B,I,C$ concyclic ครับแล้วไล่มุม

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อสามนัมเบอร์ทำไงอ่ะครับ มาติดตรง 25 ตัวอ่ะครับ

ปล.ไมโจทย์โหดจังครับบ

[polsk133]

#110 IMO2000/5