ถามลิมิตของlogครับ

[Wasabiman]

อยากรู้ว่า $\lim_{x \to \infty} \frac{log\frac{1}{x}}{log (x+1)}$ เหมือนกับ $\lim_{x \to \infty}{log(\frac{1}{x(x+1)})}$ มั้ยอะครับ

[Wasabiman]

แล้วอย่างข้อนี้อะคับทำไง?
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)log n-nlog(n+1)}{logn}$

[Wasabiman]

ทำไม log(n+1) ถึงตัดกับ log(n) ได้อะครับ

[Wasabiman]

อ่อ ขอบคุณครับ

[Amankris]

ระวังจะเข้าใจกันแบบผิดๆไปนะครับ

[Wasabiman]

รบกวนคุณAmankrisช่วยอธิบายแบบที่ถูกต้องให้กระจ่างได้มั้ยอ่าครับ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wasabiman

แล้วอย่างข้อนี้อะคับทำไง?
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)log n-nlog(n+1)}{logn}$

ขอแก้เป็นแบบนี้

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)log n-nlog(n+1)}{logn}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{nlogn+logn-nlog(n+1)}{logn}$

เมื่อ $n\to \infty$ แล้ว $logn=log(n+1)$

ดังนั้น $\lim_{n \to \infty} \frac{nlogn+logn-nlog(n+1)}{logn}=1$

[Amankris]

#10

take limit $n$ ไปแล้ว ทำไมยังออกมาเป็น $n$ ได้ครับ

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wasabiman

แล้วอย่างข้อนี้อะคับทำไง?
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)log n-nlog(n+1)}{logn}$

ผมว่า แบบนี้ ป๊ะ
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)log n-nlog(n+1)}{logn}=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)\ln n-n\ln(n+1)}{\ln n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\ln n(\frac{n}{n+1})^n}{\ln n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\ln (\frac{n}{n+1})^n + \ln n}{\ln n}=\lim_{n \to \infty} \frac{-1+ \ln n}{\ln n}=1$

[tonklaZolo]

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{8n})^n=?$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{8n})^n=?$

ข้อนี้รอผู้รู้ช่วยแนะวิธีคิด

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{8n})^n=?$

Let $L = (1-\frac{1}{8n})^n$
Take $ln$ into both sides
$ln(L) = ln(1-\frac{1}{8n})^n = n (ln(1-\frac{1}{8n})) = \frac{ln(1-\frac{1}{8n})}{\frac{1}{n}}$
Take Limit $n \rightarrow \infty$
$\lim_{n \to \infty}(ln(L)) = \lim_{n \to \infty}(\frac{ln(1-\frac{1}{8n})}{\frac{1}{n}})$ $ (I.F. \frac{0}{0})$
Use L'Hospital's rule, we have
$ln(\lim_{n \to \infty}(L)) = \lim_{n \to \infty}(\frac{\frac{1}{1-\frac{1}{8n}}\cdot \frac{1}{8n^2}}{\frac{-1}{n^2}}) = \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{8(\frac{1}{8n}-1)}) = \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{\frac{1}{n}-8}) = \frac{-1}{8}$
$\lim_{n \to \infty}(L) = e^{\frac{-1}{8}} \approx 0.8825$
Hence $\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{8n})^n = 0.8825 $

[Canegie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{8n})^n=?$

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$ (จากการแทน $x=-x$)
ดังนั้น ให้ $x=8n$
$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^{\frac{x}{8}}=(\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^{x})^{\frac{1}{8}}=e^{\frac{-1}{8}}$

ทำอย่างงี้ ได้ปะครับ?? ชี้แนะด้วยครับ

[นกกะเต็นปักหลัก]

L,hospital rule คืออะไรครับ

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Canegie

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$ (จากการแทน $x=-x$)
ดังนั้น ให้ $x=8n$
$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^{\frac{x}{8}}=(\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^{x})^{\frac{1}{8}}=e^{\frac{-1}{8}}$

ทำอย่างงี้ ได้ปะครับ?? ชี้แนะด้วยครับ

If you claim that $\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$
By Limit theorem, we know $\lim_{x \to c}[f(x)]^\frac{1}{n} = [\lim_{x \to c} f(x)]^\frac{1}{n}$
It's true that $\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^{\frac{x}{8}}=(\lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^{x})^{\frac{1}{8}}=e^{\frac{-1}{8}}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

L,hospital rule คืออะไรครับ

see http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
or http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule