โจทย์เรื่องลำดับอนุกรม ช่วยเฉลยทีครับ!!

[Mayumi]

ให้ x เป็นจำนวนจริงซึ่ง lxl < 1 ถ้า
1+(1+x)/2 + (1+x+x^2)/(2^2) + (1+x+x^2 +x^3)/(2^3) + ... = 16/7
จงหา x

[กขฃคฅฆง]

$1 + \dfrac{1+x}{2} + \dfrac{1+x+x^2}{2^2} + \dfrac{1+x+x^2+x^3}{2^3} + \ldots = \dfrac{16}{7}$

คูณด้วย $\dfrac{1-x}{2}$ ได้

$\dfrac{1-x}{2} + \dfrac{1-x^2}{2^2} + \dfrac{1-x^3}{2^3} + \ldots = (1-x)\dfrac{8}{7} $

$\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots \right) - \left[\dfrac{x}{2} + \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{x}{2} \right)^3 + \ldots \right] = (1-x)\dfrac{8}{7} $

$\left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots \right) - \left[1 + \dfrac{x}{2} + \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{x}{2} \right)^3 + \ldots \right] = (1-x)\dfrac{8}{7} $

$2 - \dfrac{1}{1 - \frac{x}{2} } = (1-x)\dfrac{8}{7} $

$\dfrac{1-x}{1 - \frac{x}{2} } = (1-x)\dfrac{8}{7} $

$1 - \dfrac{x}{2} = \dfrac{7}{8} $

$x = \dfrac{1}{4} $

[Mayumi]

ขอบคุณมากครับ

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

$2 - \dfrac{1}{1 - \frac{x}{2} } = (1-x)\dfrac{8}{7} $

บรรทัดนี้แปลกๆ นะครับ //แต่คำตอบถูก

[กขฃคฅฆง]

แปลกไงครับ

[nooonuii]

บวกอนุกรมเรขาผิดครับ

[กขฃคฅฆง]

$\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots \right) - \left[\dfrac{x}{2} + \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{x}{2} \right)^3 + \ldots \right] = (1-x)\dfrac{8}{7} $

ฝั่งซ้ายผมบวก1 แล้วลบ1 ครับ เป็น

$\left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots \right) - \left[1 +\dfrac{x}{2} + \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{x}{2} \right)^3 + \ldots \right] = (1-x)\dfrac{8}{7} $

[nooonuii]

คิดว่าใช้วิธีนี้เหมือนกันแต่การขาดบรรทัดนี้ทำให้มีคนเข้าใจผิดจริงๆนั่นแหละ

[กขฃคฅฆง]

อ่อครับ เติมแล้วครับ

[Love math]

ก็โอเคครับ แต่ความจริง มันใช้สูตร a/1-r. ได้เลยนิครับ
(r<1)